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第2讲 排列与组合
课时作业
1．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．48
C．60 D．72
答案 D
解析 因为1,2,3,4,5中共有3个奇数，所以先排个位，有C种排法，再将剩下4个数字进行全排列，有A种排法，故共有CA＝3×24＝72种排法．
2．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，假设要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，那么有________种坐法( )
A．10 B．16
C．20 D．24
答案 C
解析 一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A＝20种坐法．应选C.
3．(2022·陕西宝鸡质检)将2名教师、4名学生分成2个小组分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
答案 A
解析 安排人员去甲地可分为两步：第一步安排教师，有C种方案；第二步安排学生，有C种方案．其余的教师和学生去乙地，所以不同的安排方案共有CC＝12种．应选A.
4．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，那么不同的分配方案有( )
A．16种 B．18种
C．37种 D．48种
答案 C
解析 自由选择去四个工厂有43种方案，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方案，故不同的分配方案有43－33＝37种．
5．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，不同的放法有( )
A．92种 B．112种
C．82种 D．132种
答案 B
解析 设有A，B两个笔筒，笔放入A笔筒有四种情况，分别为2支，3支，4支，5支，一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法也随之确定，且对同一笔筒的笔没有顺序要求，故总的放法为C＋C＋C＋C＝112种．应选B.
6．(2022·合肥调研)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有( )
A．250个 B．249个
C．48个 D．24个
答案 C
解析 ①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A＝24个；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A＝24个．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48个．应选C.
7．某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，那么共需要进行比赛的场数为( )
A．CCC B．C＋C＋C
C．AAA D．C
答案 B
解析 依题意，高一比赛有C场，高二比赛有C场，高三比赛有C场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为C＋C＋C.应选B.
8．(2022·东北三省三校第一次模拟)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的桔祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个桔祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，那么选法有( )
A．30种 B．50种
C．60种 D．90种
答案 B
解析 假设甲同学选牛，那么乙同学只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有CC＝20种，假设甲同学选马，那么乙同学能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有CC＝30种，所以共有20＋30＝50种，应选B.
9．(2022·黑龙江哈尔滨六中第二次模拟)2022年东京夏季奥运会将设置4×100米男女混合泳接力这一新的比赛工程，比赛的规那么是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运发动参加比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运发动完成，且每名运发动都要出场，假设中国队确定了备战该工程的4名运发动名单，其中女运发动甲只能承当仰泳或者自由泳，男运发动乙只能承当蝶泳或者自由泳，剩下的2名运发动四种泳姿都可以承当，那么中国队的排兵布阵的方式共有( )
A．144种 B．24种
C．12种 D．6种
答案 D
解析 由题意，假设甲承当仰泳，那么乙运发动有A＝2种安排方法，其他两名运发动有A＝2种安排方法，共计2×2＝4种方法，假设甲承当自由泳，那么乙运发动只能安排蝶泳，其他两名运发动有A＝2种安排方法，共计2种方法，所以中国队共有4＋2＝6种不同的安排方法，应选D.
10．(2022·甘肃兰州第一次诊断)?数术记遗?是?算经十书?中的一部，相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，那么不同的分配方法有( )
A. B.
C. D．CCC
答案 A
解析 先将14种计算器械分为三组，方法数有种，再排给3个人，方法数有×A种，应选A.
11．(2022·西安市长安一中二模)将数字“124467”重新排列后得到不同偶数的个数为( )
A．72 B．120
C．192 D．240
答案 D
解析 由题意，末尾是2或6，不同偶数的个数为CA＝120；末尾是4，不同偶数的个数为A＝120，故共有120＋120＝240个．应选D.
12．一个盒子里有3个标号分别为1,2,3的小球，每次取出1个，记下它的标号后再放回盒子里，共取三次，那么取到的所有小球中，标号的最大值是3的取法有( )
A．12种 B．15种
C．17种 D．19种
答案 D
解析 解法一：分三类：第一类，有一次取到3号球，其取法种数为CCC＝12；第二类，有两次取到3号球，其取法种数为CC＝6；第三类，三次都取到3号球，其取法种数为C＝1.故满足条件的取法共有12＋6＋1＝19种．应选D.
解法二：所有的取法种数为CCC＝27，三次均未取到3号球的取法种数为CCC＝8，故满足条件的取法种数为27－8＝19.应选D.
13．(2022·北京西城摸底)把4件不同的产品摆成一排．假设其中的产品A与产品B都摆在产品C的左侧，那么不同的摆法有________种(用数字作答)．
答案 8
解析 ①产品C排在第三个位置时有A＝2种摆法；②产品C排在第四个位置时有A＝6种摆法．所以不同的摆法有8种．
14．在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语2个，日语2个，西班牙语1个，日语和俄语都要求有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5名推荐对象，那么不同的推荐方法共有________种．
答案 24
解析 每个语种各推荐1名男生，共有AA＝12种，3名男生都不参加西班牙语考试，共有CCA＝12种，故不同的推荐方法共有24种．
15．(2022·河北衡水四月大联考)现有一圆桌，周边有标号为1,2,3,4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，那么所有选座方法有________种．(用数字作答)
答案 8
解析 先按排甲，其选座方法有C种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有A种，所以共有选座种数为CA＝4×2＝8.
16．(2022·广州市天河区高三一模)如果一个三位数abc同时满足a>b且b<c，那么称该三位数为“凹数〞，那么所有不同的三位“凹数〞的个数是________．
答案 285
解析 根据题意，按十位数字分类讨论：
①十位数字是9时不存在，此时三位“凹数〞的个数为0.
②十位数字是8，只有989，此时三位“凹数〞的个数为1.
③十位数字是7，那么百位与个位都有2种可能，所以此时三位“凹数〞的个数为2×2＝4.
④十位数字是6，那么百位与个位都有3种可能，所以此时三位“凹数〞的个数为3×3＝9.
⑤十位数字是5，那么百位与个位都有4种可能，所以此时三位“凹数〞的个数为4×4＝16.
⑥十位数字是4时，那么百位与个位都有5种可能，所以此时三位“凹数〞的个数为5×5＝25.
⑦十位数字是3时，那么百位与个位都有6种可能，所以此时三位“凹数〞的个数为6×6＝36.
⑧十位数字是2时，那么百位与个位都有7种可能，所以此时三位“凹数〞的个数为7×7＝49.
⑨十位数字是1时，那么百位与个位都有8种可能，所以此时三位“凹数〞的个数为8×8＝64.
⑩十位数字是0时，那么百位与个位都有9种可能，所以此时三位“凹数〞的个数为9×9＝81，
所以所有不同的三位“凹数〞的个数是1＋4＋…＋81＝285.
17．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)共有多少种放法？
(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
(3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？
(4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？
解 (1)一个球一个球的放到盒子里去，每只球都有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，知放法共有44＝256种．
(2)为保证“恰有一个盒子不放球〞，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2,1,1的三组，有C种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计数原理知，共有放法CCCA＝144种．
(3)“恰有一个盒子内放2个球〞，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此，“恰有一个盒子放2球〞与“恰有一个盒子不放球〞是一回事．故也有144种放法．
(4)先从四个盒子中任取两个有C种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？〞从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有CC种放法；第二类：有C种放法．因此共有CC＋C＝14种．由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球〞的放法有C·14＝84种．
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