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16.1二次根式
一．相信你的选择！（共10小题）
1．已知为n正整数，也是正整数，那么满足条件的n的最小值是（ ）
A．3 B．12 C．2 D．192
【点拨】先化简，然后依据也是正整数可得到问题的答案．
【详解】解：＝，
∵也是正整数，
∴3n为完全平方数，
∴n的最小值是3．
故选：A．
【反思】本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
2．在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解：A、，是二次根式，故此选项错误；
B、，是二次根式，故此选项错误；
C、，是二次根式，故此选项错误；
D、，不是二次根式，故此选项正确；
故选：D．
【反思】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
3．在式子中，二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【点拨】根据二次根式的定义对各数分析判断即可得解．
【详解】解：根据二次根式的定义，y＝﹣2时，y+1＝﹣2+1＝﹣1，
所以二次根式有（x＞0），，（x＜0），，共4个．
故选：C．
【反思】本题考查了二次根式的定义，比较简单，要注意被开方数是非负数，熟记概念是解题的关键．
4．下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可．
【详解】解：A、当x＝0时，﹣x﹣2＜0，无意义，故本选项错误；
B、当x＝﹣1时，无意义；故本选项错误；
C、∵x2+2≥2，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、当x＝±1时，x2﹣2＝﹣1＜0，无意义；故本选项错误；
故选：C．
【反思】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
5．函数，则xy的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
【点拨】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
解得：x＝2，
故y＝2，
则xy＝4．
故选：C．
【反思】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
6．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥1且x≠2 C．x＞l且x≠2 D．x≥1
【点拨】直接利用二次根式的定义结合分式的性质得出答案．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴x﹣1≥0，且x﹣2≠0，
解得：x≥1且x≠2．
故选：B．
【反思】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
7．二次根式的值等于（ ）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．4
【点拨】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】解：原式＝|﹣2|＝2．
故选：C．
【反思】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
8．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＝|b|，则下列各式有意义的为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：由数轴可得：a＜0，b＞0，
故﹣a＞0，则一定有意义，故选项A符合题意；
ab＜0，则无意义；
a﹣b＜0，无意义；
a+b＝0，故无意义．
故选：A．
【反思】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
9．在式子中，x可以同时取1和2的是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】直接利用二次根式的定义以及分式的性质分析得出答案．
【详解】解：在式子中x≠1，中x≠2，中x可以为1和2，中x≠1，
故x可以同时取1和2的是：．
故选：C．
【反思】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
10．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≥2 C．x＝2 D．x＜﹣2
【点拨】直接利用二次根式的性质分析得出答案．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴2﹣x≥0，x﹣2≥0，
解得：x＝2．
故选：C．
【反思】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
二．试试你的身手！（共8小题）
11．如果有意义，那么x可以取的最小整数为 2 ．
【点拨】根据二次根式的被开方数的非负数列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得，x≥2，
∴x可以取的最小整数为2，
故答案为：2．
【反思】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数的非负数是解题的关键．
12．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是 3 ．
【点拨】先化简二次根式，然后依据化简结果为整数可确定出n的值
【详解】解：＝．
∵n是一个正整数，是整数，
∴n的最小值是3．
故答案为：3．
【反思】本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
13．当x ≥﹣ 时，代数式是二次根式．
【点拨】一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
【详解】解：由题可得，2x+1≥0，
解得x≥﹣，
故答案为：≥﹣．
【反思】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
14．在实数范围内式子有意义，则x的范围是 x＞5 ．
【点拨】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：x﹣5＞0，
解得，x＞5．
故答案是：x＞5．
【反思】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，分式有意义分母不等于0．
15．若实数a，b满足，则a﹣b的平方根是 ±3 ．
【点拨】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【详解】解：∵和有意义，则a＝5，
故b＝﹣4，
则，
∴a﹣b的平方根是：±3．
故答案为：±3．
【反思】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及平方根，正确得出a，b的值是解题关键．
16．当x＝ 2 时，的值最小．
【点拨】根据二次根式的“双重非负性”即“根式内的数或式大于等于零”和“根式的计算结果大于等于零”解答．
【详解】解：由题意可知2x﹣4≥0，当x＝2时，取得最小值0
故答案是：2．
【反思】考查了二次根式的定义，理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
17．当时，二次根式的值为 ．
【点拨】把代入二次根式进行计算化简即可．
【详解】解：当时，＝，
故答案为：．
【反思】本题主要考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式化简的方法是解决问题的关键．
18．若x，y为有理数，且，则xy的值为 2 ．
【点拨】直接利用二次根式的定义分析得出x，y的值，即可得出答案．
【详解】解：∵x，y为有理数，且，
∴2x﹣1＝0，y＝4，
则x＝，
故xy＝4×＝2．
故答案为：2．
【反思】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
三．挑战你的技能！（共7小题）
19．求使下列各式有意义的字母的取值范围：
（1）
（2）
（3）
（4）
【点拨】根据二次根式的被开方数是非负数，得不等式，求解不等式即可．
【详解】解：（1）x+5≥0，
∴x≥﹣5；
（2）3﹣a≥0，
﹣a≥﹣3，
∴a≤3；
（3）2a+1≥0，
2a≥﹣1，
∴a≥﹣；
（4）8x≥0，
∴x≥0．
【反思】本题考查了二次根式有意义的条件，当被开方数是非负数时，二次根式才有意义．
20．如果有意义，求代数式的值．
【点拨】首先得出x的取值范围，再利用绝对值以及二次根式的性质化简求出即可．
【详解】解：∵有意有意义，
∴x﹣1≥0，9﹣x≥0，
解得：1≤x≤9，
∴＝x﹣1+12﹣x＝11
【反思】此题主要考查了二次根式与绝对值的性质，正确化简二次根式是解题关键．
21．如果是二次根式，且值为5，试求mn的算术平方根．
【点拨】根据二次根式的定义得出n，m的值，进而求出答案．
【详解】解：∵是二次根式，且值为5，
∴n＝2，m﹣n＝25，
解得：m＝27，
故mn的算术平方根为：＝27．
【反思】此题主要考查了二次根式的定义以及算术平方根的定义，正确得出m，n的值是解题关键．
22．已知，，且x、y均为整数，求x+y的值．
【点拨】先求出x的取值范围，再根据x，y均为整数，可得x的值，再分情况得到x+y的值．
【详解】解：由题意知：20≤x≤30，
又因为x，y均为整数，
所以x﹣20，30﹣x均需是一个整数的平方，
所以x﹣20＝1，30﹣x＝1，
故x只能取21或29，
当x＝21时，y＝4，x+y的值为25；
当x＝29时，y＝4，x+y的值为33．
故x+y的值为25或33．
【反思】此题考查了二次根式的定义，解题的难点是根据x、y均为整数，得到x﹣20，30﹣x均需是一个整数的平方．
23．已知，求m﹣20182的值．
【点拨】直接利用二次根式有意义的条件分别分析得出答案．
【详解】解：∵m﹣2019≥0，
∴m≥2019，
∴2018﹣m≤0，
∴原方程可化为：m﹣2018+＝m，
∴＝2018，
∴m﹣2019＝20182，
∴m﹣20182＝2019．
【反思】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出m的取值范围是解题关键．
24．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
【点拨】根据≥0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．
【详解】解：∵≥0，
∴当a＝﹣时，有最小值，是0．
则的最小值是1．
【反思】本题考查了二次根式的性质，任何非负数的算术平方根是非负数．
25．已知，计算x﹣y2的值．
【点拨】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x的值，进而可求出y的值，然后代入x﹣y2求值即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：x＝，
把x＝代入y＝﹣4，得y＝﹣4，
当x＝，y＝﹣4时x﹣y2＝﹣16＝﹣14．
【反思】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
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