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课时分层作业(八) 数列的通项与递推公式
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是( )
A.an＋1＝an＋n，n∈N*
B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2
D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
B [由题可知an－an－1＝n(n≥2).]
2．已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，此数列的第3项是( )
A.1 B．
C. D．
C [a1＝1，a2＝a1＋＝1，
a3＝a2＋＝.]
3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为( )
A.an＝n B．an＝n＋1
C.an＝2n D．an＝2n－1
D [由题知a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，选D.]
4．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )
A.103 B．108
C.103 D．108
D [根据题意结合二次函数的性质可得，
an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－2＋3＋.
所以n＝7时，an＝108为最大值．]
5．已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，设Sn＝x1＋x2＋…＋xn，则下列结论正确的是( )
A.x100＝－a，S100＝2b－a
B.x100＝－b，S100＝2b－a
C.x100＝－b，S100＝b－a
D.x100＝－a，S100＝b－a
A [x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b，x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2，
∴{xn}是周期数列，周期为6，
∴x100＝x4＝－a，
∵x1＋x2＋…＋x6＝0，
∴S100＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a.]
二、填空题
6．数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，则x2 018等于 ．
－ [∵x1＝1，∴x2＝－，∴x3＝1，∴数列{xn}的周期为2，∴x2 018＝x2＝－.]
7．数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是 ．
255 [因为an＝4an－1＋3，所以a2＝4×0＋3＝3，
a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255.]
8．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝ ．
[由an＋1＝，得an＝1－，
∵a8＝2，∴a7＝1－＝，
a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，…，
∴{an}是以3为周期的数列，
∴a1＝a7＝.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．
[解] ∵f(x)＝x－，∴f(an)＝an－，
∵f(an)＝－2n，∴an－＝－2n，即a＋2nan－1＝0.
∴an＝－n±.
∵an>0，∴an＝－n.
10．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，试求数列{an}的最大项．
[解] 假设第n项an为最大项，则
即
解得即4≤n≤5，
所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.
1．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)，则当an取得最大值时，n等于( )
A.5 B．6
C.6或7 D．5或6
D [由题意知
所以
解得所以n＝5或6.]
2．已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N*，则a2 014＋a2 015等于( )
A.4 B． C． D．
B [a2＝f＝－1＝；
a3＝f＝－1＝；
a4＝f＝＋＝；
a5＝f＝2×－1＝；
a6＝f＝2×－1＝；
…
∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，
∴a2 014＋a2 015＝a4＋a5＝.故选B.]
3．数列{an}中，a1＝7，a9＝8，且(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)，则a2等于 ．
9 [由(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)，
得nan＋1＝a1＋a2＋…＋an，
两式相减，得
nan＋1－(n－1)an＝an.
∴n≥3时，nan＋1＝nan，即
an＋1＝an.
又a9＝8，∴a3＝8.
又2a3＝a1＋a2，a1＝7，∴a2＝2a3－a1＝9.]
4．我们可以利用数列{an}的递推公式an＝(n∈N*)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第 项．
640 [由题意可知，a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640＝…＝5.故第8个5是该数列的第640项．]
5．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．
[解] 存在最大项．理由：a1＝，a2＝＝1，a3＝＝，a4＝＝1，a5＝＝，….
∵当n≥3时，＝×＝＝<1，
∴an＋1<an，即a≥3时，{an}是递减数列．
又∵a1<a3，a2<a3，∴an≤a3＝.
∴当n＝3时，a3＝为这个数列的最大项．
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