2022-2022学年高中数学第2章数列阶段质量检测含解析新人教A版必修5.doc

阶段质量检测(二)　数列
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)
1．数列1，，，，3，，…，，…，那么是这个数列的(　　)
A．第10项 B．第11项
C．第12项 D．第21项
解析：观察可知该数列的通项公式为an＝(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n－1，解得n＝11，应选B.
答案：B
2．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，那么数列{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，
∴d＝a4－a3＝7－5＝2.
答案：B
3．在等比数列{an}中，an>0，a1＝1，a2，a4是方程2x2＋9x＋8＝0的两根，那么公比q是(　　)
A．2 B.
C. D．3
解析：由题意知，a2×a4＝＝4，∴a＝4，又∵a1＝1，an>0，∴a3＝2＝q2，
∴q＝.
答案：C
4．等差数列{an}中，a3＋a9＝10，那么该数列的前11项和S11＝(　　)
A．58 B．55
C．44 D．33
解析：由题意得S11＝＝＝＝55.
答案：B
5．Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，那么S6等于(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：由条件知q3＝＝＝－8，
所以q＝－2.又a5＝a1q4，所以a1＝＝＝－.
所以S6＝＝＝.应选A.
答案：A
6．等差数列{an}的前n项和为Sn，假设S17为一确定常数，那么以下各式也为确定常数的是(　　)
A．a2＋a15 B．a2·a15
C．a2＋a9＋a16 D．a2·a9·a16
解析：因为S17＝＝17a9为常数，所以a2＋a9＋a16＝3a9也为常数．应选C.
答案：C
7．?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？〞其意思为：“现有甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，要使甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？〞根据题意，乙得(　　)
A.钱 B．1钱
C.钱 D.钱
解析：依题意设甲、乙、丙、丁、戊五人所得分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，
那么由题意可知，a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d.
又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，
∴a＝1，d＝－＝－，
那么a－d＝1－＝.
故乙得钱．
答案：A
8．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为(　　)
A．9 B．10
C．19 D．29
解析：1＋2＋3＋…＋n<200，即<200.
显然n＝19时，剩余钢管最少，此时最多用去＝190根，剩余10根．应选B.
答案：B
9．等差数列{an}公差不为零，首项a1＝1，a1，a2，a5成等比数列，那么数列{an}的前10项和是(　　)
A．90 B．100
C．145 D．190
解析：设等差数列{an}的公差为d，那么d≠0，
因为a1，a2，a5成等比数列，
所以a＝a1a5，
又因为首项a1＝1，
所以(1＋d)2＝1×(1＋4d)，即d(d－2)＝0，
因为d≠0，所以d＝2，
所以S10＝10×1＋×2＝100.应选B.
答案：B
10．设数列{an}满足an＋1＝－2an，a1＝1，数列{|an|}的前n项和为Sn，那么S2 015＝(　　)
A．22 015－1 B．22 016－2
C．22 014－1 D．1－22 015
解析：方法一：由an＋1＝－2an，可得＝－2，又a1＝1，所以an＝(－2)n－1，所以|an|＝|(－2)n－1|＝2n－1，所以S2 015＝＝22 015－1.应选A.
方法二：由an＋1＝－2an，可得＝－2，又a1＝1，所以an＝(－2)n－1，所以S2 015＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 015|＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)－(a2＋a4＋a6＋…＋a2 014)＝－＝×(22 016－1＋2×22 014－2)＝22 015－1.应选A.
答案：A
11．等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，那么＝(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：∵等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，
∴a1＝S1＝a＋b，a2＝S2－S1＝3a＋b－a－b＝2a，
a3＝S3－S2＝9a＋b－3a－b＝6a，∵等比数列{an}中，a＝a1a3，
∴(2a)2＝(a＋b)×6a，解得＝－3.应选A.
答案：A
12．设等差数列{an}满足a1＝1，an>0(n∈N*)，其前n项和为Sn，假设数列{}也为等差数列，那么的最大值是(　　)
A．310 B．212
C．180 D．121
解析：设数列{an}的公差为d，依题意得2＝＋，因为a1＝1，所以2＝1＋，化简可得d＝2，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，Sn＝n＋×2＝n2，所以＝＝2＝2＝2≤121.即的最大值为121.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点了381盏灯，那么底层所点灯的盏数是________．
解析：设底层点了x盏灯，那么x＋＋＋…＋＝381，
∴x＝192.
答案：192
14．数列{an}的前n项和为Sn，假设a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，那么a6＝________.
解析：由an＋1＝3Sn，得Sn＋1－Sn＝3Sn，即Sn＋1＝4Sn，所以数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，所以Sn＝4n－1，所以a6＝S6－S5＝45－44＝3×44＝768.
答案：768
15．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，那么a1＋a2＋…＋a51＝________.
解析：当n为偶数时，an＋2－an＝2，
an＝2＋×2＝n；
当n为奇数时，an＋2－an＝0，所以an＝1，
所以a1＋a2＋…＋a51＝26×1＋(2＋4＋6＋…＋50)＝26×1＋×25×(2＋50)＝676.
答案：676
16．数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝假设a6＝1，那么m所有可能的取值为________．
解析：假设a6＝3a5＋1，即1＝3a5＋1，那么a5＝0，不合题意；那么a6＝，即1＝，所以a5＝2.同理，可求得a4＝4；a3＝1或a3＝8；当a3＝1时，可求得a2＝2；当a3＝8时，可求得a2＝16.当a2＝2时，假设a2＝3a1＋1，那么a1＝.不合题意；假设a2＝，那么a1＝4；当a2＝16时，假设a2＝3a1＋1，那么a1＝5；假设a2＝，那么a1＝32.故m的值可能为4,5,32.
答案：4,5,32
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)等差数列{an}的公差d为2，且a1，a3，a4成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{an}的前n项和为Sn，求S20的值．
解析：(1)∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1a4，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，
∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，
解得a1＝－8.
∴{an}的通项公式为an＝2n－10.
(2)∵S20＝＝10(a1＋a1＋19d)
＝10(－16＋19×2)＝220，
∴S20的值为220.
18．(12分)Sn为数列{an}的前n项和，且2Sn＝3an－2(n∈N*)．
(1)求an和Sn；
(2)假设bn＝log3(Sn＋1)，求数列{b2n}的前n项和Tn.
解析：(1)∵2Sn＝3an－2，
∴n＝1时，2S1＝3a1－2，解得a1＝2；
当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－2，
∴2Sn－2Sn－1＝3an－3an－1，
∴2an＝3an－3an－1，∴an＝3an－1，
∴数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an＝2·3n－1，Sn＝＝3n－1.
(2)由(1)知Sn＝3n－1，
∴bn＝log3(Sn＋1)＝log33n＝n，
∴b2n＝2n，
∴Tn＝2＋4＋6＋…＋2n＝＝n2＋n.
19．(12分)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．
解析：(1)设数列{an}的公比为q，由a＝9a2a6得a＝9a，
所以q2＝.
由条件可知q>0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
故＝－＝－2.
＋＋…＋＝
－2＝
－.
所以数列的前n项和为－.
20．(12分)[山东卷]{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.
解析：此题考查等比数列与数列求和．
(1)设{an}的公比为q，
由题意知：a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2，
又an>0，解得a1＝2，q＝2，所以an＝2n.
(2)由题意知：S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，
又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.
令cn＝，那么cn＝.
因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，
又Tn＝＋＋＋…＋＋，
两式相减得Tn＝＋－，
所以Tn＝5－.
21．(12分)在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22，
(1)数列{an}前多少项和最大？
(2)求{|an|}前n项和．
解析：(1)由得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53，令an>0，得：n<，
∴当n≤17，n∈N＋时，an>0；当n≥18，n∈N＋时，an<0，
∴{an}前17项和最大．
(2)当n≤17，n∈N＋时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n，
当n≥18，n∈N＋时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)＝n2－n＋884，
∴当n≤17时，n∈N＋时，
{|an|}前n项和为－n2＋n，
当n≥18，n∈N＋时，
{|an|}前n项和为n2－n＋884.
22．(12分)数列{an}中，an>0，其前n项和为Sn，且对任意n∈N*，都有(an＋1)2＝4Sn.等比数列{bn}中，b1＋b3＝30，b4＋b6＝810.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)求数列{(－1)nan＋bn}的前n项和Tn.
解析：(1)由(an＋1)2＝4Sn得Sn＝(1＋an)2①，
当n≥2时，Sn－1＝(1＋an－1)2②，
①－②得，Sn－Sn－1＝(1＋an)2－(1＋an－1)2，即4an＝a－a＋2(an－an－1)，整理得a－a＝2(an＋an－1)，
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝2(n≥2)．
由得，当n＝1时，S1＝(1＋a1)2，即a1＝(1＋a1)2，解得a1＝1，
∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N*)．
设等比数列{bn}的公比为q，那么q3＝＝＝27，∴q＝3.
∴b1＋b3＝b1＋b1q2＝30，即10b1＝30，解得b1＝3.∴bn＝b1qn－1＝3n.
(2)设数列{(－1)nan}的前n项和为An，数列{bn}的前n项和为Bn，
那么Bn＝＝(3n＋1－3)．
当n为偶数时，{an}的奇数项与偶数项各有项，
那么An＝－a1＋a2－a3＋…－an－1＋an＝－(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)
＝－＋＝n；
当n为奇数时，{an}的奇数项有项，偶数项有项，那么An＝－a1＋a2－a3＋…＋an－1－an＝－(a1＋a3＋…＋an)＋(a2＋a4＋…＋an－1)
＝－＋＝－n.
所以Tn＝An＋Bn＝
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