2023版高考数学一轮复习单元评估检测五苏教版.doc

单元评估检测(五)(第九章)
一、单项选择题(本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)
1.直线ax+y+7=0与4x+ay-3=0平行,那么a为 (　　)
A.2 B.2或-2
C.-2 D.-
【解析】选B.由直线ax+y+7=0与4x+ay-3=0平行,可得=≠,解得a=±2.
2.假设直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,那么过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.0或1
【解析】选C.因为直线mx+ny=4与圆O:
x2+y2=4没有交点,所以>2,
所以m2+n2<4,
所以+<1,所以点P(m,n)在椭圆内,那么过点P的直线与椭圆有2个交点.
3.(2023·南通模拟)唐代诗人李颀的诗?古参军行?开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.〞诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马〞问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤1,假设将军从点A(2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=3,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,那么“将军饮马〞的最短总路程为 (　　)
A.-1 B.2-1
C.2 D.
【解析】选A.设点A关于直线x+y=3的对称点A′(a,b),AA′的中点为,kAA′=,
故 解得
要使从点A到军营总路程最短,
即为点A′到军营最短的距离,“将军饮马〞的最短总路程为-1=-1.
4.设双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+2相切,那么该双曲线的离心率等于(　　)
A. B.2 C. D.3
【解析】选D.双曲线-=1的一条渐近线方程为y=x,由方程组,消去y,
得x2-x+2=0有唯一解,
所以Δ=-8=0,
所以=2,e===3.
5.椭圆+=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,假设|AF2|+|BF2|的最大值为5,那么b的值是 (　　)
A.1 B. C. D.
【解析】选C.由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的定义可知,|AF2|+|BF2|+|AB|
=4a=8,
所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,由椭圆的性质可知,过椭圆焦点的弦中通径最短,且=3,
所以b2=3,b=.
6.如下图,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题:曲线C的方程为x2+4y2=4,其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C切于点P,且|PF1|=1,过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M,那么|F1M|∶|F2M|=
(　　)
A.∶ B.1∶
C.1∶3 D.1∶
【解析】选C.由椭圆的光学性质得到直线l′平分∠F1PF2,
因为=
==,
由|PF1|=1,|PF1|+|PF2|=4得到|PF2|=3,
故|F1M|∶|F2M|=1∶3.
7.A,B为抛物线C:y2=4x上的不同两点,F为抛物线C的焦点,假设+4=0,那么直线AB的斜率为 (　　)
A.± B.±
C.± D.±
【解析】选C.因为+4=0,
所以=-4,
所以||=4||,设||=t,那么||=4t,
设点A,B在抛物线C准线上的射影分别为A1,B1,过A作BB1的垂线,交线段B1B的延长线于点M,
那么|BM|=|AA1|-|BB1|=|AF|-|BF|=3t,|AB|=|AF|+|BF|=5t,
所以|AM|=4t,所以tan ∠ABM=,
由对称性可得直线AB的斜率为±.
8.双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2,P为双曲线右支上的点,△PF1F2的内切圆与x轴相切于点A,那么圆心I到y轴的距离为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.根据圆外一点到圆的切线长相等得|AF1|-|AF2|=2a=8,
又|AF1|+|AF2|=2c=10,
所以|AF1|=a+c=9,所以A(4,0).
因为AI⊥x轴,所以AI∥y轴,所以圆心I到y轴的距离为4.
二、多项选择题(此题共4小题,每题5分,共20分,多项选择题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
9.点A是直线l:x+y-10=0上一定点,点P,Q是圆C:(x-4)2+(y-2)2=4上的动点,假设∠PAQ为60°,那么点A的坐标可以是 (　　)
A.(4,6) B.(2,8)
C.(6,4) D.(8,2)
【解析】选AD.点A是直线l:x+y-10=0上一定点,点P,Q是圆C:(x-4)2+(y-2)2=4上的动点,如图:圆的半径为2,
由题意可知直线上的点A到圆心的距离为4,
结合图形,可知A的坐标(4,6)与(8,2)满足题意.
10.平面内与两定点A1(0,-a),A2(0,a)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1,A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线,以下四个结论中正确的结论为 (　　)
A.当m=-1时,曲线C是一个圆
B.当m=-2时,曲线C的离心率为
C.当m=2时,曲线C的渐近线方程为y=±x
D.当m∈(-∞,-1)∪(0,+∞)时,曲线C的焦点坐标分别为和

【解析】选ABD.设动点为M(x,y),
当x≠0时,由条件可得·=·=m,即y2-mx2=a2(x≠0),又A1(0,-a),A2(0,a)的坐标满足y2-mx2=a2.
所以当m=-1时,曲线C的方程为y2+x2=a2,C是圆心在原点的圆,故A正确;
当m=-2时,曲线C的方程为+=1,C是焦点在y轴上的椭圆,c==a,离心率为,故B正确;
当m=2时,曲线C的方程为-=1,表示焦点在y轴上的双曲线,其渐近线方程为y=
±x=±x,故C错误;
当m∈(-∞,-1)时,曲线C的方程为+=1,表示焦点在y轴上的椭圆,由c==a,
可知焦点坐标分别为和
;
当m∈(0,+∞)时,C是焦点在y轴上的双曲线,方程为-=1,由c==a,
可知焦点坐标分别为和,故D正确.
11.点P是双曲线E:-=1的右支上一点,F1,F2为双曲线E的左、右焦点,△PF1F2的面积为20,那么以下说法正确的为 (　　)
A.点P的横坐标为
B.△PF1F2的周长为
C.∠F1PF2小于
D.△PF1F2的内切圆半径为
【解析】选ABCD.设△F1PF2的内心为I,连接IP,IF1,IF2,双曲线E:-=1中a=4,b=3,c=5,
不妨设P(m,n),m>0,n>0,
由△PF1F2的面积为20,可得|F1F2|n=cn=5n=20,即n=4,
由-=1,可得m=,故A正确;
由P,且F1(-5,0),F2(5,0),
可得=,=,那么tan∠F1PF2==∈(0,),那么∠F1PF2<,故C正确;
由|PF1|+|PF2|=+=+=,那么△PF1F2的周长为+10=,故B正确;
设△PF1F2的内切圆半径为r,可得r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=·|F1F2|·4,
可得r=40,解得r=,故D正确.
12.椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1,椭圆C1的上顶点为M,且·=0.双曲线C2和椭圆C1有相同焦点,且双曲线C2的离心率为e2,P为曲线C1与C2的一个公共点,假设∠F1PF2=,那么正确的选项是 (　　)
A.=2 B.e1·e2=
C.+= D.-=1
【解析】选BD.如下图,设双曲线的标准方程为-=1(a1,b1>0),半焦距为c.
因为椭圆C1的上顶点为M,且·=0.所以∠F1MF2=,
所以b=c,所以a2=2c2.所以e1==.
不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n.所以m+n=2a,m-n=2a1.
所以mn==a2-.
在△PF1F2中,由余弦定理可得4c2=m2+n2-2mncos=(m+n)2-3mn=4a2-3(a2-).所以4c2=a2+3.
两边同除以c2,得4=+,解得e2=.
所以e1·e2=·=,-=1,=,+=2.
三、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=6,P为C的准线上一点,那么△ABP的面积为________. 
【解析】设抛物线C的方程为y2=2px,
那么|AB|=2p=6,
所以p=3,所以S△ABP=|AB|×p=9.
答案:9
14.圆C经过坐标原点和点(4,0),假设直线y=1与圆C相切,那么圆C的方程是________. 
【解析】设圆的圆心坐标为(a,b),半径为r,
因为圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,所以
解得a=2,b=-,r=,
所求圆的方程为:(x-2)2+=.
答案:(x-2)2+=
15.焦点在x轴上的椭圆+=1,点P在椭圆上,过点P作两条直线与椭圆分别交于A,B两点,假设椭圆的右焦点F恰是△PAB的重心,那么直线AB的方程为____________.  
【解析】将点P代入椭圆的方程可得b2=16,
所以椭圆的方程为+=1,c2=25-16=9,F(3,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,
由⇒
由A,B在椭圆上可得
⇒+×k=0⇒k=,
又AB的中点坐标为,
所求的直线方程为20x-15y-68=0.
答案:20x-15y-68=0
16.(2023·山东新高考模拟)直线l过抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,那么p=________,+
=__________.(此题第一空2分,第二空3分.) 
【解析】由题意知=1,从而p=2,所以抛物线方程为y2=4x.
方法一:将x=1代入,解得|AF|=|BF|=2,从而+=1.
方法二:设AB的方程为y=k(x-1),联立整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),那么
从而+=+===1.
方法三:利用书中结论:+==1,即可得出结果.
答案:2　1
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)直线l:y=x+m(m∈R)与直线l′关于x轴对称.
(1)假设直线l与圆(x-2)2+y2=8相切于点P,求m的值和P点的坐标.
(2)直线l′过抛物线C:x2=4y的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,求|AB|的值.
【解析】(1)由点到直线的距离公式得:d==2,解得m=2或m=-6,
当m=2时P(0,2),当m=-6时P(4,-2).
(2)因为直线的方程为y=x+m,所以l′的方程为y=-x-m,焦点(0,1),m=-1,
将直线y=-x+1代入抛物线x2=4y,整理得x2+4x-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),那么
x1+x2=-4,y1+y2=-(x1+x2)+2=6,
|AB|=y1+y2+2=8.
18.(12分)圆G:x2+y2-2x-y=0经过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(m>a)作倾斜角为的直线l交椭圆于C,D两点.
(1)求椭圆的方程.
(2)假设右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求m的取值范围.
【解析】(1)因为圆G:
x2+y2-2x-y=0经过点F,B,
所以F(2,0),B(0,),
所以c=2,b=,
所以a2=b2+c2=6,椭圆的方程为+=1.
(2)由题意知直线l的方程为y=-(x-m),m>,
由
消去y,整理得2x2-2mx+m2-6=0.
由Δ=4m2-8(m2-6)>0,
解得-2<m<2,
因为m>,所以<m<2.
设C(x1,y1),D(x2,y2),那么x1+x2=m,x1x2=,
所以y1y2=·
=x1x2-(x1+x2)+.
所以·=(x1-2,y1)·(x2-2,y2)
=(x1-2)·(x2-2)+y1y2
=x1x2-(x1+x2)++4
=.
因为点F在圆E内部,所以·<0,
即<0,解得0<m<3.
又<m<2,所以<m<3,
故m的取值范围是(,3).
19.(12分)(2023·银川模拟)点P(0,2),点A,B分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左右顶点,直线BP交C于点Q,△ABP是等腰直角三角形,且=.
(1)求C的方程.
(2)设过点P的动直线l与C相交于M,N两点,O为坐标原点.当∠MON为直角时,求直线l的斜率.
【解析】(1)由题意知,a=2,B(2,0),
设Q(x0,y0),由=,得x0=,y0=,
代入椭圆方程,解得b2=1.
所以椭圆方程为+y2=1.
(2)由题意可知,直线l的斜率存在,
设l的方程为y=kx+2,M(x1,y1),N(x2,y2),
那么整理得:(1+4k2)x2+16kx+12=0,
由直线l与C有两个不同的交点,那么Δ>0,
即(16k)2-4×12×(1+4k2)>0,解得k2>.
由根与系数的关系可知:
x1+x2=-,x1x2=.
当∠MON为直角时,kOM·kON=-1,
即x1x2+y1y2=0,
那么x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)
=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=(1+k2)+2k+4
=0,解得k2=4,即k=±2.
综上可知直线l的斜率k=±2时,∠MON为直角.
20.(12分)抛物线y2=ax的焦点为F(1,0)(如图),A(x1,y1)、B(1,y2)、C(x3,y3)(0≤y1<y2<y3)为抛物线上的三个点,且|AF|+|CF|=2|BF|.
(1)求该抛物线的标准方程.
(2)证明线段AC的中点在直线x=1上.
(3)当x1取最小值时,设线段AC的垂直平分线为l,求直线l被该抛物线截得的线段的长.
【解析】(1)因为抛物线y2=ax的焦点为F(1,0),所以a=4,
即抛物线的标准方程为y2=4x.
(2)由抛物线的定义可知|AF|=x1+1,|BF|=1+1=2,|CF|=x3+1,
因为|AF|+|CF|=2|BF|,所以x1+1+x3+1=2×2,
所以x1+x3=2,
线段AC的中点横坐标为=1,即线段AC的中点在直线x=1上.
(3)当x1取最小值时,x1=0,x3=2.y1=0,y3=2,线段AC的中点为(1,).
kAC=,所以线段AC的垂直平分线为x+y-3=0,
由得y2+4y-12=0,
y1+y2=-4,y1y2=-12,
所以线段AC的垂直平分线被该抛物线截得的线段的长为·=4.
21.(12分)(2023·成都模拟)椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为4,离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)设椭圆C的左,右焦点分别为F1,F2左,右顶点分别为A,B,点M,N为椭圆C上位于x轴上方的两点,且F1M∥F2N,记直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,假设3k1+2k2=0,求直线F1M的方程.
【解析】(1)由题意,得2b=4,=.
又a2-c2=b2,所以a=3,b=2,c=1.
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)由(1),可知A(-3,0),B(3,0),F1(-1,0),F2(1,0).
据题意,设直线F1M的方程为x=my-1,
记直线F1M与椭圆的另一交点为M′,
设M(x1,y1)(y1>0),M′(x2,y2).
因为F1M∥F2N,根据对称性,得N(-x2,-y2).
联立
消去x,得(8m2+9)y2-16my-64=0,其判别式Δ>0,
所以y1+y2=,y1y2=-,①
由3k1+2k2=0,得+=0,
即5my1y2+6y1+4y2=0.　②
由①②,解得y1=,y2=,
因为y1>0,所以m>0.
所以y1y2==.
所以m=.
所以直线F1M的方程为x=y-1,
即2x-y+2=0.
22.(12分)椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距是8,长轴长是短轴长的3倍,任作斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点(如下图),且点P(3,)在直线l的左上方.
(1)求椭圆C的方程.
(2)假设|AB|=2,求△PAB的面积.
(3)证明:△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上.
【解析】(1)由题意可得2c=8,即c=4,又a=3b,a2-b2=c2=32,
所以a=6,b=2,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设直线l的方程为y=x+t,代入椭圆方程可得2x2+6tx+9t2-36=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1+x2=-3t,x1x2=,
所以|AB|==2,解得t=2或-2.
由题意可知t<0,故直线AB的方程为y=x-2,即x-3y-6=0,所以P(3,)到直线AB的距离d==.
所以△PAB的面积为S=|AB|·d=×2×=6.
(3)设直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程可得2x2+6mx+9m2-36=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1+x2=-3m,x1x2=,
所以kPA+kPB=+=,
因为(y1-)(x2-3)+(y2-)(x1-3)=(x2-3)+
(x1-3)
=x1x2+(m-2)(x1+x2)-6m+12
=·-(m-2)·3m-6m+12
=0,
所以kPA+kPB=0,
所以∠APB的平分线平行于y轴,
所以△PAB的内切圆圆心在定直线x=3上.
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