2023版高考数学一轮复习第十章平面解析几何10.10.3圆锥曲线与其他知识的交汇问题练习理北师大版.doc

10.10.3 圆锥曲线与其他知识的交汇问题
核心考点·精准研析
考点一　 圆锥曲线与数列交汇 
【典例】(2023·重庆模拟)椭圆+=1的离心率为,以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切.
(1)求椭圆的方程.
(2)过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A,B,过F与l1垂直的直线l2与椭圆交于C,D,与l3:x=4交于P,求证:直线PA,PF,PB的斜率kPA,kPF,kPB成等差数列.
【解题导思】
序号
题目拆解
(1)
求椭圆方程
根据离心率以及直线与圆的位置关系列出a,b的方程组求解
(2)
①求A、B两点坐标关系
研究直线和圆锥曲线的根本过程——联立方程组,根与系数的关系
②求点P的坐标
联立两直线方程求解
③求直线斜率,验证所证
利用两点坐标表示斜率,化所证为等式关系进行验证
【解析】(1)由题意知e==,所以=,
即a2=b2,
又因为以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆x2+y2=b2与直线x-y+=0相切,所以圆心到直线的距离d==b=,所以a2=4,b2=3,
故椭圆的方程为+=1.
(2)当直线l1的斜率不存在时,
A(1,),B(1,-),C(2,0),D(-2,0),F(1,0),
P(4,0).所以kPA=-,kPB=,kPF=0,
所以2kPF=kPA+kPB.
当直线l1的斜率存在时,
设直线l1的方程为y=k,由
得x2-8k2x+4k2-12=0.
设点A(x1,y1),B,
利用根与系数的关系得x1+x2=,
x1x2=,
由题意知直线l2的斜率为-,
那么直线l2的方程为y=-,
令x=4,得P点的坐标,
kPA+kPB=+
=++
=k×+×

=k×
+×
=k×+×=-=2kPF,
即kPA+kPB=2kPF,综上得,kPA,kPF,kPB成等差数列.
　圆锥曲线与数列的结合
圆锥曲线与数列的结合点比拟多,如圆锥曲线中的相关线段长度或参数成等差、等比数列等,解决此类问题的关键是利用数列的知识,将条件等价转化为相关数量之间的关系即可,其实质就是相关的数量之间的等式关系的一种外在表现.
(2023·成都模拟)设圆x2+y2-4x-60=0的圆心为F2,直线l过点F1(-2,0)且与x轴不重合,交圆F2于C,D两点,过点F1作CF2的平行线交DF2于点E.
(1)求+的值.
(2)设点E的轨迹为曲线E1,直线l与曲线E1相交于A,B两点,与直线x=-8相交于M点,试问在椭圆E1上是否存在一定点N,使得k1,k3,k2成等差数列(其中k1,k2,k3分别指直线AN,BN,MN的斜率).假设存在,求出N点的坐标;假设不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为圆x2+y2-4x-60=0的圆心为F2,所以=且F1E∥CF2,
所以∠F2DC=∠F2CD=∠EF1D,
所以=,
所以+=|ED|+=,
又因为圆F2的半径为8,即=8,
所以+=8.
(2)由(1)知,曲线E1是以F1,F2为焦点的椭圆,且长轴长为8,所以曲线E1的方程为+=1(y≠0),
由题意,设直线l的方程为y=k(x+2),
代入椭圆方程化简得x2+16k2x+16k2-48=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),
那么x1+x2=-,x1x2=,
所以k1+k2=+
=
=,
因为k1,k3,k2成等差数列,所以2k3=k1+k2,
因为k3=,所以2×
=,
化简得24k3-24k2y0
+24k-24y0=0,
对任意的k该等式恒成立,所以x0=-2,此时y0=±3.
所以存在点N(-2,±3)使得k1,k3,k2成等差数列.
考点二　圆锥曲线与向量交汇 
【典例】(2023·福州模拟)椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,A,B是椭圆上关于原点O对称的两个动点,当点A的坐标为时,△ABF的周长恰为7.
(1)求椭圆的方程.
(2)过点F作直线l交椭圆于C,D两点,且=λ(λ∈R),求△ACD面积的取值范围.
【解题导思】
序号
题目拆解
(1)
利用椭圆的定义 和对称性以及点A的坐标求a,b
(2)
①求|CD|
将直线方程与椭圆方程联立,建立C、D两点坐标之间的关系,利用弦长公式求解
②求△ACD
面积
求出点A到CD的距离,根据三角形面积计算公式建立目标函数
③求范围
根据目标函数解析式的特征,采用相应的方法,转化为函数的值域问题
【解析】(1)当点A的坐标为时,
==,所以|AB|=3.
由对称性,+=2a,
所以2a=7-3=4,得a=2,
将点代入椭圆方程+=1中,解得b2=4,
所以椭圆方程为+=1.
(2)当直线AB的斜率不存在时,=2,
此时S△ACD=×2×2=2.
当直线AB的斜率存在时,
设直线CD的方程为y=k(x+2)(k≠0).
由 消去y整理得:
(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0. 显然Δ>0,
设C,D,那么
故=·
=·
=·=.
因为=λ(λ∈R),所以CD∥AB,
所以点A到直线CD的距离即为点O到直线CD的距离d=,
所以S△ACD=××d=×
==4
=2=2,
因为1+2k2>1,所以0<<1,
所以0<S△ACD<2.综上,S△ACD∈(0,2].
处理圆锥曲线中向量问题的根本策略就是坐标化,结合点主要有两个方面:
一是向量的共线,转化为两向量所在的直线重合或平行,并且两向量模之间存在倍数关系;
二是向量数量积,直接利用坐标运算转化为点的坐标所满足的条件进行求解.
椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴为MN(M为上顶点).点P(4,0)满足·=15.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设O为坐标原点,过点P的动直线l与椭圆交于点A、B,是否存在常数λ使得·+λ·为定值?假设存在,求出λ的值;假设不存在,请说明理由.
【解析】(1)·=(-4,b)·(-4,-b)=16-b2=15,
所以b=1,又e=,所以=,a2=4,
从而C的方程为+y2=1.
(2)当l不为x轴时,
设l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立l与C的方程可得(m2+4)y2+8my+12=0,
所以y1+y2=-,y1y2=,
·+λ·=x1x2+y1y2+λ[(x1-4)(x2-4)+y1y2]
=(1+λ)(1+m2)y1y2+4m(y1+y2)+16=+16.
因为·+λ·为定值,
所以=,
解得λ=,此时定值为.
当l为x轴时,A(-2,0),B(2,0),·+λ·=-4+×12=.
综上,存在λ=使得·+λ·为定值.
考点三　圆锥曲线与导数交汇 
【典例】(2023·西安模拟)设定点F(0,1),动点E满足:以EF为直径的圆与x轴相切.
(1)求动点E的轨迹C的方程.
(2)设A,B是曲线C上两点,假设曲线C在点A,B处的切线互相垂直,求证:A,F,B三点共线.
【解题导思】
序号
题目拆解
(1)
直接法
将条件转化为点E的坐标所满足的条件,然后化简即可
(2)
①求A、B两点处的切线斜率
导数的几何意义求切线斜率
②建立两点坐标关系
根据切线相互垂直建立坐标之间的关系
③证明三点共线
利用有公共点的两直线斜率相等证明三点共线
【解析】(1)设E,那么EF的中点为M,依题意知M到点F的距离与它到x轴的距离相等,可得=,
化简得x2=4y,即为动点E的轨迹C的方程.
(2)设A,B,
那么由y=得y′=,知曲线C在点A,B处的切线的斜率分别是,,依题意·=-1,即x1x2=-4,可得B,
所以kAF==-,kBF = = -,
所以kAF=kBF,知A,F,B三点共线.
导数与圆锥曲线的结合点主要有两个方面:
(1)利用导数的几何意义给出直线方程;
(2)利用导数法求解圆锥曲线中的最值时,假设某些目标代数式的形式比拟复杂,不能直接根据根本初等函数的性质求解最值,可借助导数研究函数的单调性,进而求解其最值.
　(2023·郑州模拟)动圆E经过点F(1,0),且和直线l:x=-1相切.
(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程.
(2)点A(3,0),假设斜率为1的直线l′与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A),且与曲线G交于B,C两点,求△ABC面积的最大值.
【解析】(1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离,所以动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,故轨迹G的方程是y2=4x.
(2)设直线l′的方程为y=x+m,其中-3<m<0,C(x1,y1),B(x2,y2),
联立得方程组
消去y,得x2+(2m-4)x+m2=0,
Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0恒成立.
由根与系数的关系得
x1+x2=4-2m,x1·x2=m2,所以|CB|=4,
点A到直线l′的距离d=,
所以S△ABC=×4×
=2×(3+m),
令=t,t∈(1,2),那么m=1-t2,
所以S△ABC=2t(4-t2)=8t-2t3,
令f(t)=8t-2t3,所以f′(t)=8-6t2,
令f′(t)=0,得t=(负值舍去).
易知y=f(t)在上单调递增,在上单调递减.所以y=f(t)在t=,
即m=-时取得最大值为.
所以△ABC面积的最大值为.
【变式备选】
1.平面上一动点P到定点C(1,0)的距离与它到直线l:x=4的距离之比为.
(1)求点P的轨迹方程.
(2)点O是坐标原点,A,B两点在点P的轨迹上,F是点C关于原点的对称点,假设=λ,求λ的取值范围.
【解析】(1)设P(x,y)是所求轨迹上的任意一点,
由动点P到定点C(1,0)的距离与它到直线l:x=4的距离之比为,
得=,化简得+=1,即点P的轨迹方程为+=1.
(2)由F是点C关于原点的对称点,所以点F的坐标为(-1,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),因为=λ,
那么(x1+1,y1)=λ(-1-x2,-y2),
可得 ,
因为+=1,即+=1　①,
又由+=1,那么+=λ2　 ②,
①-②得:=1-λ2,
化简得x2=,
因为-2≤x2≤2,所以-2≤≤2,解得≤λ≤3,所以λ的取值范围是.
2.椭圆N:+=1(a>b>0)经过点C(0,1),且离心率为.
(1)求椭圆N的方程.
(2)直线l:y=kx-与椭圆N的交点为A,B两点,线段AB的中点为M,是否存在常数λ,使∠AMC=λ·∠ABC恒成立,并说明理由.
【解析】
(1)因为椭圆N:+=1经过点C,且离心率为,所以b=1,又=,a2-c2=b2,
可解得c=1,a=,焦距为2c=2,
故所求椭圆的方程为+y2=1.
存在常数λ=2,使∠AMC=λ∠ABC恒成立.
证明如下:由 得x2-12kx-16=0,Δ>0,
设A,B,
那么x1+x2=,x1x2=,
又因为=,=,
所以·=x1x2+
=x1x2+
=x1x2-k+
=·-k· +=0,
所以⊥,因为线段AB的中点为M,
所以=,所以∠AMC=2∠ABC.
存在常数λ=2,使∠AMC=λ∠ABC恒成立.
3.(2023·福州模拟)椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1,F2,短轴的一个端点为P,△PF1F2内切圆的半径为,设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS,当l⊥x轴时|RS|=3.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)在x轴上是否存在一点T,使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称?假设存在,请求出点T的坐标;假设不存在,请说明理由.
【解析】(1)由内切圆的性质,得×2c×b=×(2a+2c)×,得=.
将x=c代入+=1,得y=±,所以=3.
又a2=b2+c2,所以a=2,b=,
故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)当直线l垂直于x轴时,显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称.
当直线l不垂直于x轴时,假设存在T(t,0)满足条件,设l的方程为y=k(x-1),
R(x1,y1),S(x2,y2).
联立方程 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
由根与系数的关系得 　①
其中Δ>0恒成立,
由TS与TR所在直线关于x轴对称,得kTS+kTR=0(显然TS,TR的斜率存在),
即+=0.　②
因为R,S两点在直线y=k(x-1)上,
所以y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
代入②得
=
=0,
即2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0,③
将①代入③得

==0,那么t=4,
综上所述,存在T(4,0),使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称
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