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课时作业10 等差数列的前n项和
[根底稳固](25分钟，60分)
一、选择题(每题5分，共25分)
1．等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，那么它的前10项和S10＝( )
A．138 B．135
C．95 D．23
解析：设等差数列{an}的首项a1，公差为d，
那么即
由②－①得2d＝6，∴d＝3.
∵a2＋a4＝2a1＋4d＝2a1＋4×3＝4，
∴a1＝－4.
∴S10＝10×(－4)＋×3＝－40＋135＝95.
答案：C
2．在等差数列{an}中，a6＝1，那么数列{an}的前11项和S11等于( )
A．7 B．9
C．11 D．13
解析：S11＝＝11×a6＝11.应选C.
答案：C
3．等差数列{an}中a1＝1，Sn为其前n项和，且S4＝S9，a4＋ak＝0，那么实数k等于( )
A．3 B．6
C．10 D．11
解析：因为等差数列{an}中a1＝1，Sn为其前n项和，
且S4＝S9，
所以S9－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，
所以5a7＝0，即a7＝0，
由等差数列的性质可得a4＋a10＝2a7＝0，
因为a4＋ak＝0，所以k＝10.
应选C.
答案：C
4．等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列的前20项和等于( )
A．160 B．180
C．200 D．220
解析：∵{an}是等差数列，
∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18.
又a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，
∴a1＋a20＋a2＋a19＋a3＋a18＝54，
即3(a1＋a20)＝54，∴a1＋a20＝18.
∴S20＝＝180.
答案：B
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，假设＝，那么等于( )
A. B.
C. D.
解析：设S4＝m(m≠0)，那么S8＝3m，所以S8－S4＝2m，由等差数列的性质知，S12－S8＝3m，S16－S12＝4m，所以S16＝10m，故＝.
答案：A
二、填空题(每题5分，共15分)
6．数列{an}为等差数列，且a3＝4，前7项和S7＝56，那么公差d＝________.
解析：由S7＝＝7a4＝56，得a4＝8，d＝a4－a3＝4.
答案：4
7．假设等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，那么当n＝________时，{an}的前n项和最大．
解析：因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，
所以a8>0.
又a7＋a10＝a8＋a9<0，
所以a9<0.
所以当n＝8时，其前n项和最大．
答案：8
8．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，那么数列的前10项和为________．
解析：因为an＝2n＋1，所以a1＝3，
所以Sn＝＝n2＋2n，
所以＝n＋2，
所以是公差为1，首项为3的等差数列，
所以前10项和为3×10＋×1＝75.
答案：75
三、解答题(每题10分，共20分)
9．数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n－1；
(2)Sn＝2n2＋n＋3.
解析：(1)∵Sn＝2n－1，∴当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.
当n＝1时，a1＝1符合上式，
∴an＝2n－1.
(2)∵Sn＝2n2＋n＋3，∴当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＋3＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋3－[2(n－1)2＋(n－1)＋3]＝4n－1.
当n＝1时，a1不符合上式，
∴an＝
10．在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．
解析：方法一：设等差数列{an}的公差为d.
由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得d＝－2.
所以Sn＝25n＋×(n－1)×(－2)＝－(n－13)2＋169.
由二次函数的性质，知当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二：设等差数列{an}的公差为d.由S17＝S9，得
25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，
解得d＝－2.
因为a1＝25>0，
由
得所以≤n≤，
所以当n＝13时，Sn有最大值，
S13＝25×13＋＝169.
[能力提升](20分钟，40分)
11．公差不为0的等差数列{an}满足a＝a1·a4，Sn为数列{an}的前n项和，那么的值为( )
A．－2 B．－3
C．2 D．3
解析：∵公差d≠0的等差数列{an}满足a＝a1·a4，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，即a1＝－4d，
那么＝＝＝＝2.
应选C.
答案：C
12．假设等差数列{an}的前n项和Sn有最大值，且<－1，那么当Sn取最小正值时n＝________.
解析：由于Sn有最大值，所以d<0，因为<－1，所以<0，所以a10>0>a11，且a10＋a11<0，
所以S20＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)<0，S19＝19a10>0，
又a1>a2>…>a10>0>a11>a12>…，所以S10>S9>…>S2>S1>0，S10>S11>…>S19>0>S20>S21>…，
又S19－S1＝a2＋a3＋…＋a19＝9(a10＋a11)<0，所以S19为最小正值．
答案：19
13．数列{an}是等差数列．
(1)Sn＝20，S2n＝38，求S3n；
(2)项数为奇数，奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．
解析：(1)因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，
所以S3n＝3(S2n－Sn)＝54.
(2)⇒⇒
14．数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解析：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，
解得a2＝3a1＝3，
由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知当n＝1时，a1＝1.
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1
＝an－an－1
整理得an＝an－1，
于是a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2，
an＝an－1，
将以上n－1个等式中等号两端分别相乘，
整理得an＝.
综上可知，{an}的通项公式为an＝.
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