资源描述
1．2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
三角函数定义
b
b
三角函数值符号
b
b
诱导公式(一)
b
b
三角函数线
a
a
知识导图
学法指导
1.以锐角三角函数的定义来推广记忆任意角的三角函数的定义．
2．根据任意角的三角函数定义中横、纵坐标的取值范围确定函数的定义域．
3．熟练掌握定义是解决概念类问题的关键，明确有向线段OM、MP、AT为角α的余弦线、正弦线、正切线．
4．体会“数与形”的结合，将三角函数值转化为有向线段．
第1课时 任意角的三角函数(一)
1.任意角的三角函数的定义
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y
余弦
x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x
正切
叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角
函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.
三角函数的定义
(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数．
(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．
2．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
{α∈R|α≠kπ＋，k∈Z}
3.三角函数值在各象限的符号
对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：
(1)正弦值符号取决于纵坐标y的符号；
(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号；
(3)正切值的符号是由x，y符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．
4．诱导公式一
(1)语言表示：终边相同的角的同名三角函数的值相等．
(2)式子表示其中k∈Z.
诱导公式一
(1)实质：是说终边相同的角的三角函数值相等. 即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．
(2)结构特征：左、右为同一三角函数；公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α.
(3)作用：把求任意角的三角函数值转化为求0 ～2π(或0 °～360 °)角的三角函数值．体现了“大化小”“负化正”的数学思想．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如图所示，sin α＝y.( )
(2)第三象限角的正弦、余弦、正切都是负值．( )
(3)终边相同的角不一定相等，其三角函数值一定相等．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．有下列命题，其中正确的个数是( )
①终边相同的角的三角函数值相同；
②同名三角函数值相同，角不一定相同；
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；
④不相等的角，同名三角函数值也不相同．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：终边相同的角的同名三角函数值相同；同名三角函数值相同，角不一定相同；终边不相同，它们的同名三角函数值也可能相同；不相等的角，同名三角函数值可能相同．故只有②正确．
答案：B
3．若角α的终边上有一点(0，－1)，则tan α的值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．不存在
解析：因为角α的终边上有一点(0，－1)，所以角的终边落在y轴的非正半轴上，其正切值不存在．
答案：D
4．sin 750°＝________.
解析：sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝.
答案：
类型一 三角函数的定义及应用
例1 (1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________；
(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
【解析】 (1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝＝13，则sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－.
(2)直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；
在第四象限取直线上的点 (1，－)，则r＝＝2，所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
【答案】 (1)－ － (2)见解析
(1)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上的点，则先求r＝(r表示点P到原点的距离)，sinα＝，cosα＝，tanα＝.
(2)在α的终边上任取一点，再利用三角函数的定义求解．
方法归纳
已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝. 已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1 (1)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )
A. B.
C．－ D．－
(2)已知角α的终边过点P(12，a)且tan α＝，求sin α＋cos α的值．
解析：(1)∵r＝＝5，∴cos α＝－，故选D.
(2)根据三角函数的定义，tan α＝＝，∴a＝5，
∴P(12,5)．此时r＝13，
∴sin α＝，cos α＝，从而sin α＋cos α＝.
答案：(1)D (2)
先求r.再利用三角函数定义求解．
类型二 三角函数在各象限的符号
例2 若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角．
由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角．综上可知，α是第三象限角．
【答案】 C
分别由sinαtanα<0和<0确定角α是第几象限角→ 二者的公共部分即所求
方法归纳
判断三角函数值正负的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限．
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．
注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上.
跟踪训练2 判断下列各式的符号：
(1)sin 145°cos(－210°)；
(2)sin 3·cos 4·tan 5.
解析：(1)∵145°角是第二象限角，∴sin 145°>0.
∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°角是第二象限角，
∴cos(－210°)<0，∴sin 145°cos(－210°)<0.
(2)∵<3<π<4<<5<2π，∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0，∴sin 3·cos 4·tan 5>0.
→
→
类型三 诱导公式一的应用
例3 计算下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin＋cos·tan 4π.
【解析】 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝×＋×＝＋＝.
(2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)
＝sin＋cos×0＝.
(1)含有三角函数值的代数式的化简，要先利用诱导公式一把角的范围转化到0 ～2π范围内，求出相应的三角函数值．
(2)准确记忆特殊角的三角函数值是三角函数化简求值的基础，此类问题易出现的错误就是对特殊角的三角函数值记忆不准确导致计算错误.
方法归纳
利用诱导公式一求值应注意：利用诱导公式一可把负角的三角函数转化为0～2π内的角的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数转化为0～2π内的角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”，要注意记忆特殊角的三角函数值．
跟踪训练3 求下列各式的值：
(1)sin＋tan；
(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.
解析：(1)sin＋tan
＝sin＋tan
＝sin＋tan
＝＋1.
(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°
＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)
＝sin 90°＋cos 0°－tan 45°
＝1＋1－1
＝1.
应用诱导公式一时，先将角转化到0 ～2π范围内的角，再求值. 对于特殊角的三角函数值一定要熟记．
1.2.1.1
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则tan α的值为( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：由正切函数的定义可得，tan α＝＝－.
答案：A
2．sin(－140°)cos 740°的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不确定
解析：因为－140°为第三象限角，
故sin(－140°)<0.
因为740°＝2×360°＋20°，
所以740°为第一象限角，
故cos 740°>0，
所以sin(－140°)cos 740°<0.故选B.
答案：B
3．若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是( )
A．2 B．±2
C．－2 D．－2
解析：r＝，由题意得＝－，∴x＝－2.故选D.
答案：D
4．若sin θcos θ<0，则角θ是( )
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角
解析：设角θ终边上一点的坐标为(x，y)，该点到原点的距离为r(r>0)，则sin θcos θ＝·<0，即xy<0，所以角θ终边上点的横、纵坐标异号，故角θ是第二或第四象限角．
答案：D
5．设a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，则sin α＋2cos α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，∴点P与原点的距离r＝－5a，sin α＝－，cos α＝，∴sin α＋2cos α＝.选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．sin(－1 380°)＝________.
解析：sin(－1 380°)＝sin[60°＋(－4)×360°]
＝sin 60°＝.
答案：
7．当α为第二象限角时，－的值是________．
解析：∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.
∴－＝－＝2.
答案：2
8．已知角α的终边经过点P(3,4t)，且sin(2kπ＋α)＝－(k∈Z)，则t＝________.
解析：sin(2kπ＋α)＝sin α＝－<0，则α的终边在第三或第四象限．又点P的横坐标是正数，所以α是第四象限角，所以t<0，又sin α＝，所以＝－，所以t＝－.
答案：－
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知角α的终边为射线y＝－x(x≥0)，求角α的正弦、余弦和正切值．
解析：由得x2＋x2＝1，即25x2＝16，即x＝或x＝－.
∵x≥0，∴x＝，从而y＝－.
∴角α的终边与单位圆的交点坐标为(，－)．
∴sin α＝y＝－，cos α＝x＝，tan α＝＝－.
10．判断下列各式的符号：
(1)sin 105°·cos 230°；
(2)cos 3·tan.
解析：(1)因为105°，230°分别为第二、第三象限角，所以sin 105°>0，cos 230°<0.于是sin 105°·cos 230°<0.
(2)因为<3<π，所以3是第二象限角，所以cos 3<0，又因为－是第三象限角，所以tan>0，所以cos 3·tan<0.
[能力提升](20分钟，40分)
11．若α是第一象限角，则－是( )
A．第一象限角
B．第四象限角
C．第二或第三象限角
D．第二或第四象限角
解析：方法一 由题意知k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，则k·180°＜＜k·180°＋45°，所以－k·180°－45°＜－＜－k·180°，k∈Z.
当k为偶数时，－为第四象限角；当k为奇数时，－为第二象限角．
方法二 由几何法易知为第一象限角或第三象限角，根据－与的终边关于x轴对称，知－为第四象限角或第二象限角．
答案：D
12．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
解析：∵y＝3x，sin α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，
且m<0，n<0，n＝3m.
∴|OP|＝＝|m|＝－m＝.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
答案：2
13．计算：
(1)sin 390°＋cos(－660°)＋3tan 405°－cos 540°；
(2)sin＋tan π－2cos 0＋tan－sin.
解析：(1)原式＝sin(360°＋30°)＋cos(－2×360°＋60°)＋3tan(360°＋45°)－cos(360°＋180°)＝sin 30°＋cos 60°＋3tan 45°－cos 180°＝＋＋3×1－(－1)＝5.
(2)原式＝sin＋tan π－2cos 0＋
tan－sin＝sin＋tan π－2cos 0＋tan－sin＝1＋0－2＋1－＝－.
14．已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值．
解析：因为角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，
所以r＝|a|，x＝a，y＝2a.
当a>0时，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝，tan α＝＝＝2；
当a<0时sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝2.
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