资源描述
1.4 三角函数的图象与性质
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
正弦函数、余弦函数的图象
b
c
周期函数的概念
a
a
正弦函数、余弦函数的性质
b
b
知识导图
学法指导
1.本节内容以三角函数的图象及其性质为主，因此在学习过程中应先学会作图，然后利用图象研究函数的性质．
2．深刻理解五点的取法，特别是非正常周期的五点．
3．注意所有的变换是图象上的点在移动，是x或y在变化而非ωx.
4．运用整体代换的思想，令ωx＋φ＝t，借助y＝sin t，y＝cos t的图象和性质研究函数y＝sin(ωx＋φ)，y＝cos(ωx＋φ)的图象和性质．
第1课时 正弦函数、余弦函数的图象
正弦曲线与余弦曲线及其画法
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
图象
画法
五点法
五点法
关键
五点
(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)
1.关于正弦函数y＝sin x的图象
(1)正弦函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z的图象与x∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．
(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y＝sinx，x∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．
2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较
(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确，但较为烦琐．
(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．
提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点．( )
(2)正弦函数在和上的图象相同．( )
(3)正弦函数、余弦函数的图象分别向左、右无限延伸．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．以下对正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
解析：画出y＝sin x的图象，根据图象可知A，B，D三项都正确．
答案：C
3．下列图象中，是y＝－sin x在[0,2π]上的图象的是( )
解析：函数y＝－sin x的图象与函数y＝sin x的图象关于x轴对称，故选D.
答案：D
4．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________________．
解析：令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，π，π.
答案：0，，，π，π
类型一 用“五点法”作三角函数的图象
例1 用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x＋，x∈[0,2π]；
(2)y＝1－cos x，x∈[0,2π]．
【解析】 (1)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
＋sin x
－
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
(2)列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
1－cos x
0
1
2
1
0
描点连线，其图象如图所示：
作函数图象需要先列表再描点，最后用平滑曲线连线．
方法归纳
作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤
跟踪训练1 画出函数y＝3＋2cos x的简图．
解析：(1)列表，如下表所示
x
0
π
2π
y＝cos x
1
0
－1
0
1
y＝3＋2cos x
5
3
1
3
5
(2)描点，连线，如图所示：
利用五点作图法画简图．
类型二 正、余弦函数曲线的简单应用
例2 根据正弦曲线求满足sin x≥－在[0,2π]上的x的取值范围．
【解析】 在同一坐标系内作出函数y＝sin x与y＝－的图象，如图所示．
观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin x≥－的x∈∪，所以满足sin x≥－在[0,2π]上的x的范围是{x0≤x≤π或≤x≤2π}.或∪
在同一坐标系内作y＝sin x与y＝－的图象，利用图象求x的范围.
方法归纳
利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤
(1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集．
[注意] 解三角不等式sin x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．
跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x≤的x的取值范围．
解析：作出余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.
在同一坐标内作y＝cos x与y＝的图象，利用图象求x的范围.
1.4.1-2.1
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列对函数y＝cos x的图象描述错误的是( )
A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴只有一个交点
解析：观察余弦函数的图象知：y＝cos x关于y轴对称，故C错误．
答案：C
2．下列各点中，不在y＝sin x图象上的是( )
A．(0,0) B.
C. D．(π，1)
解析：y＝sin x图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)．
答案：D
3．不等式sin x>0，x∈[0,2π]的解集为( )
A．[0，π] B．(0，π)
C. D.
解析：由y＝sin x在[0,2π]的图象可得．
答案：B
4．点M在函数y＝sin x的图象上，则m等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析：点M在y＝sin x的图象上，代入得－m＝sin＝1，
∴m＝－1.
答案：C
5．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列叙述正确的有________．
(1)y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
(2)y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
(3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
解析：分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．
答案：(1)(2)(3)
7．关于三角函数的图象，有下列说法：
(1)y＝sin|x|与y＝sin x的图象关于y轴对称；
(2)y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；
(3)y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
(4)y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是________．
解析：对(2)，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos|x|＝cos x，故其图象相同；
对(4)，y＝cos(－x)＝cos x，
故其图象关于y轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确．
答案：(2)(4)
8．直线y＝与函数y＝sin x，x∈[0,2π]的交点坐标是________．
解析：令sin x＝，则x＝2kπ＋或x＝2kπ＋π，又∵x∈[0,2π]，故x＝或π.
答案：，
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
解析：(1)取值列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
(2)
10．根据y＝cos x的图象解不等式：－≤cos x≤，x∈[0,2π]．
解析：函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )
A．4 B．8
C．2π D．4π
解析：依题意，由余弦函数图象关于点和点成中心对称，可得y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成的封闭图形的面积为2π×2＝4π.
答案：D
12．函数y＝的定义域是________．
解析：要使函数有意义，只需2cos x－≥0，即cos x≥.由余弦函数图象知(如图)，
所求定义域为，k∈Z.
答案：，k∈Z
13．利用“五点法”作出y＝sin的图象．
解析：列表如下：
x
π
2π
π
sin
0
1
0
－1
0
描点并用光滑的曲线连接起来．
14．利用图象变换作出下列函数的简图：
(1)y＝1－cos x，x∈[0,2π]；
(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．
解析：(1)首先用“五点法”作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的简图，再作出y＝cos x，x∈[0,2π]的简图关于x轴对称的简图，即y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．
(2)首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0,4π]的简图，如图所示．
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