2022高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第3节平面向量的数量积及其应用练习.doc

第3节 平面向量的数量积及其应用 A级基础巩固1(2020开封一模)已知向量a(m1，1)，b(m，2)，则“m2”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：当m2时，a(1，1)，b(2，2)，所以ab(1，1)(2，2)220，所以充分性成立；当ab时，ab(m1，1)(m，2)m(m1)20，解得m2或m1，必要性不成立，所以“m2”是“ab”的充分不必要条件答案：A2设向量a，b满足|ab|4，ab1，则|ab|()A2 B2 C3 D2解析：由|ab|4，ab1，得a2b216214，所以|ab|2a22abb2142112，所以|ab|2.答案：B3(2020唐山质检)若向量a，向量b(1，sin 22.5)，则ab()A2 B2 C. D解析：由题意知abtan 67.52.答案：A4(2020石家庄二模)若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|b|，则向量ab与a的夹角为()A. B. C. D.解析：设|b|1，则|ab|ab|2.由|ab|ab|，得ab0，故以a、b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|，设向量ab与a的夹角为，则cos ，因为0，所以.答案：D5(2020惠州模拟)已知两个非零向量a与b，若ab(3，6)，ab(3，2)，则a2b2的值为()A3 B24 C21 D12解析：因为ab(3，6)，ab(3，2)，所以a(3，4)，b(0，2)，a2|a|225，b2|b|24，则a2b221.答案：C6(2020佛山调研)在RtABC中，ABAC，点M、N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运动且满足k，当取得最小值时，实数k的值为()A. B. C. D.解析：建立平面直角坐标系，如图所示，设ABAC3，P(x，3x)(0x3)，则M(1，0)，N(2，0)，则2x29x112，所以当x时，取到最小值，此时P，所以k.答案：C7在ABC中，三个顶点的坐标分别为A(3，t)，B(t，1)，C(3，1)，若ABC是以B为直角顶点的直角三角形，则t_解析：由已知，得0，即(3t，t1)(3t，0)0，所以(3t)(3t)0，解得t3或t3，当t3时，点B与点C重合，舍去故t3.答案：38(一题多解)(2017全国卷)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_解析：法一|a2b|2.法二(数形结合法)由|a|2b|2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图所示，则|a2b|.又AOB60， 所以|a2b|2.答案：29(2017天津卷)在ABC中，A60，AB3，AC2.若2，(R)，且4，则的值为_解析：由2得，所以()22，又32cos 603，29，24，所以3254，解得.答案：10(2017江苏卷)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值解：(1)因为a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.若cos x0，则sin x0，与sin2xcos2x1矛盾，故cos x0.于是tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos .因为x0，所以x，从而1cos，于是，当x，即x0时，f(x)取得最大值3；当x，即x时，f(x)取得最小值2.B级能力提升11(2020“超级全能生”全国联考)在ABC 中，AB4，BC6，ABC，D是AC的中点，E在BC上，且AEBD，则等于()A16 B12 C8 D4解析：以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3)设E(0，t)，因为AEBD，所以(2，3)(4，t)83t0，所以t，即E.(0，6)16.答案：A12(2020长郡中学联考)已知非零向量a，b满足|ab|ab|a|，则向量ab与ab的夹角为_解析：由|ab|ab|，知ab，则ab0，将|ab|a|两边平方，得a2b22aba2，所以b2a2.设ab与ab的夹角为，所以cos .又因为0，所以.答案：13在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影解：(1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0A，所以sin A .(2)由正弦定理，得，则sin B，因为ab，所以AB，且B是ABC一内角，则B.由余弦定理得(4)252c225c，解得c1或c7(舍去)，故向量在方向上的投影为|cos Bccos B 1.C级素养升华14(多选题)已知向量与的夹角为60，且|3，|2，若mn，且，则实数m，n的值可能为()Am1，n6 Bm1，n4Cm，n3 Dm，n2解析：32cos 603，因为mn，所以(mn)(mn)()(mn)m2n20，所以3(mn)9m4n0，所以，故选AC.答案：AC素养培育数学运算平面向量与三角形的“四心”(自主阅读)1. 平面向量与三角形的“重心”问题典例1已知A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足(1)(1)(12)，R，则点P的轨迹一定经过()AABC的内心BABC的垂心CABC的重心 DAB边的中点解析：取AB的中点D，则2，因为(1)(1)(12)，所以2(1)(12)，而1，所以P，C，D三点共线，所以点P的轨迹一定经过ABC的重心答案：C2平面向量与三角形的“垂心”问题典例2已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足， (0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的()A重心 B垂心 C外心 D内心解析：因为，所以.所以(|)0.所以，则点P在边BC的高线上故动点P的轨迹一定通过ABC的垂心答案：B3平面向量与三角形的“内心”问题典例3在ABC中，AB5，AC6，cos A，O是ABC的内心，若xy，其中x，y0，1，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为()A. B. C4 D6解析：根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为BOC的面积的2倍在ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2b2c22bccos A，得a7.设ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A(abc)r，解得r，所以SBOCar7.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2SBOC.答案：B4平面向量与三角形的“外心”问题典例4已知在ABC中，AB1，BC，AC2，点O为ABC的外心，若xy，则有序实数对(x，y)为()A. B.C. D.解析：取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则，(xy)y，(xy)x，由，得2y0，由，得2x0.又因为2()2222，所以，代入、得解得x，y.故实数对(x，y)为.答案：A