2022高考数学一轮复习第一部分考点通关练第七章平面解析几何考点测试45直线的方程含解析苏教版.doc

第七章　平面解析几何
考点测试45　直线的方程
高考概览
高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度
考纲研读
1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式
2．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直
3．掌握确定直线位置的几何要素
4．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系
一、根底小题
1．直线xsin＋ycos＝0的倾斜角α是(　　)
A．－ B．
C． D．
答案　D
解析　∵tanα＝－＝－tan＝tan，α∈[0，π)，∴α＝.
2．假设直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直，那么实数a＝(　　)
A．3 B．0
C．－3 D．0或－3
答案　D
解析　∵直线l1与直线l2垂直，∴2a＋a(a＋1)＝0，整理得a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－3.应选D.
3．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A.x－y＋1＝0 B．x－y－＝0
C.x＋y－＝0 D．x＋y＋＝0
答案　D
解析　由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.
4．假设过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,1) B．(－1,2)
C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案　A
解析　∵过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，∴直线的斜率小于0，即<0，即<0，解得－2<a<1，应选A.
5．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)
答案　B
解析　当a≠0，b≠0时，两直线在x轴上的截距符号相同．应选B.
6．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，那么a，b，c应满足(　　)
A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
答案　A
解析　由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将直线方程变形为y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.
7．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处切线的倾斜角α的取值范围是(　　)
A.∪ B．
C.∪ D．
答案　C
解析　因为y′＝3x2－≥－，即切线斜率k≥－，所以切线倾斜角α的取值范围是∪.
8．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
答案　C
解析　令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形的面积为|||－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．
9．假设直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，那么该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为 (　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
答案　C
解析　因为直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，所以a＋b＝ab，即＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．所以直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.
10．过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－倍的直线方程为________．
答案　3x＋4y＋15＝0
解析　设所求直线的斜率为k，依题意k＝－×3＝－.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.
11．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，那么a的值是________．
答案　－2或1
解析　由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2.当y＝0时，x＝.所以＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.
12．直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.
答案　
解析　直线l1可写成a(x－2)＝2(y－2)，直线l2可写成2(x－2)＝a2(2－y)，所以直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋.当a＝时，面积最小．
二、高考小题
13．(2022·四川高考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，那么|PA|·|PB|的最大值是________．
答案　5
解析　易知A(0,0)，B(1,3)，且PA⊥PB，∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，∴|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时取“＝〞)．
14．(2022·四川高考)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
答案　(2,4)
解析　由得kAC＝＝2，kBD＝＝－1，
所以直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0，①
直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0，②
联立①②解得
所以直线AC与直线BD的交点为P(2,4)，此点即为所求点．
因为|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AC|＋|BD|，
取异于P点的任一点P′.
那么|P′A|＋|P′B|＋|P′C|＋|P′D|
＝(|P′A|＋|P′C|)＋(|P′B|＋|P′D|)
>|AC|＋|BD|＝|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|.
故P点就是到点A，B，C，D的距离之和最小的点．故应填(2,4)．
三、模拟小题
15．(2022·大连模拟)倾斜角为θ的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，那么cos2θ的值为(　　)
A. B．－
C． D．－
答案　B
解析　由题意得－·tanθ＝－1，所以tanθ＝2，cos2θ＝＝＝－，应选B.
16．(2022·重庆模拟)两直线－＝a与－＝a(其中a为不为零的常数)的图象可能是(　　)
答案　B
解析　直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．
17．(2022·温州模拟)点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线的方程是(　　)
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
答案　D
解析　直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点为M(2,0)．设直线l的倾斜角为α，那么tanα＝2，那么tan(α＋45°)＝＝＝－3，故得到的直线的方程是y－0＝－3(x－2)，可化为3x＋y－6＝0，应选D.
18．(2022·广东惠州质检)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，那么其斜率k的取值范围是(　　)
A．－1＜k＜ B．－1＜k＜
C．k＞或k＜－1 D．k＜－1或k＞
答案　D
解析　设直线l的斜率为k，那么直线方程为y－2＝k(x－1)，直线l在x轴上的截距为1－.令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.
19．(2022·黄冈模拟)从点(2,3)射出的光线沿斜率为的直线方向射到y轴上，那么反射光线所在直线的方程为(　　)
A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0
答案　A
解析　由题意可得，入射光线所在直线的方程为y－3＝(x－2)，即y＝x＋2，所以与y轴的交点(0,2)也在反射光线上，又反射光线所在直线的斜率为－，故反射光线所在直线的方程为y＝－x＋2，即x＋2y－4＝0.
20．(2022·广西南宁高三摸底考试)设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，那么b的取值范围是________．
答案　[－2,2]
解析　b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[－2,2]．
21．(2022·银川二模)直线l的倾斜角是直线4x＋3y－1＝0的倾斜角的一半，假设l不过坐标原点，那么l在x轴上与y轴上的截距之比为________．
答案　－
解析　设直线l的倾斜角为θ.所以tan2θ＝－.
＝－，所以tanθ＝2或tanθ＝－，
由2θ∈[0°，180°)知，θ∈[0°，90°)．所以tanθ＝2.
又设l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.
所以tanθ＝－.即＝－＝－.
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．(2022·湖南六校模拟)△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线DE的方程．
解　(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，所以直线BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.
(2)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，
那么直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.
因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0,2)，
所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
2．(2022·北京西城期中)直线l经过点P(－2,1)．
(1)假设点Q(－1，－2)到直线l的距离为1，求直线l的方程；
(2)假设直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程．
解　(1)当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为x＝－2，符合要求；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，整理得kx－y＋2k＋1＝0，
Q(－1，－2)到直线l的距离
d＝＝＝1，
解得k＝－，所以直线l的方程为4x＋3y＋5＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或4x＋3y＋5＝0.
(2)由题知，直线l的斜率k一定存在且k≠0，故可设直线l的方程为kx－y＋2k＋1＝0，
当x＝0时，y＝2k＋1，当y＝0时，x＝－，
所以2k＋1＝－，解得k＝－1或－，
即直线l的方程为x＋2y＝0或x＋y＋1＝0.
3．(2022·河南鹤壁模拟)如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解　由题意可得kOA＝tan45°＝1，
kOB ＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点为C，
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线，
得解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
4．(2022·四川绵阳模拟)直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)假设直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)假设直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
解　(1)证明：直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
所以无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)．
(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，那么必须有解得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，综上，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．
依题意得解得k＞0.
由S＝|OA|·|OB|
＝||·|1＋2k|
＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，“＝〞成立的条件是k>0且4k＝，即k＝.
所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.