2022年高考数学总复习专题三数列与不等式练习理.doc

专题三　数列与不等式
1．等比数列{an}中，有a3a11＝4a7.数列{bn}是等差数列，且a7＝b7，那么b5＋b9＝(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
2．(2022年广东肇庆一模)观察图Z3­1，可推断出“x〞应该填的数字是(　　)
图Z3­1
A．171 B．183
C．205 D．268
3．在等差数列{an}中，S15>0，S16<0，那么使an>0成立的n的最大值为(　　)
A．6　　　　 B．7　　　 C．8　　　　　 D．9
4．一个四边形的四个内角成等差数列，最小的角为40°，那么最大的角为(　　)
A．140°　 B．120°
C．100°　 D．80°
5．(2022年陕西)原命题为“假设<an，n∈N*，那么{an}为递减数列〞，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是(　　)
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
6．(2022年广东)假设等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，那么lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.
7．在数列{an}中，a1＝1，an，an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋＝0的两根，那么数列{bn}的前n项和Sn＝(　　)
A. B.
C. D.
8．(2022年重庆)设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，那么α的取值范围为________________________________________________________________________．
9．假设正数a，b满足ab＝a＋b＋3，那么ab的取值范围为________．
10．(2022年湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.
(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和．
11．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，a1＝1，且a2，a5，a14构成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
专题三　数列与不等式
1．C　2.B　3.C　4.A
5．A　解析：由<an⇒an＋1<an⇒{an}为递减数列，所以原命题为真命题；
逆命题：假设{an}为递减数列，那么<an，n∈N*.
假设{an}为递减数列，那么an＋1<an，即<＝an，即逆命题为真；
否命题：假设≥an，n∈N*，那么{an}不为递减数列．
由≥an⇒an≤an＋1⇒{an}不为递减数列，即否命题为真；
因为逆否命题的真假性与原命题的真假性相同，所以逆否命题也为真命题．应选A.
6．50　解析：等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＝a9a12＝e5，那么lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2·…·a20)＝ln(a1a＝lne50＝50.
7．D　解析：由题意，得an＋an＋1＝2n＋1.
∴an－n＝－[an＋1－(n＋1)]．又a1－1＝0，∴an＝n.
又an·an＋1＝，∴bn＝.
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－＝.
8.∪　解析：不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，那么Δ＝64sin2α－32cos2α＝64sin2α－32(1－2sin2α)＝128sin2α－32≤0，即－≤sin α≤.
解得α∈∪.
9．[9，＋∞)　解析：方法一：由ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0，即(－3)(＋1)≥0.
∵≥0，∴＋1≥1.故－3≥0.∴ab≥9.
当且仅当a＝b＝3时取等号．
方法二：由ab＝a＋b＋3，那么b＝.
ab＝a＋＝a＋4＋＝a－1＋＋5
≥2 ＋5＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号．
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
10．解：(1)∵S1＝a1，
∴当n＝1时，2a1－a1＝S1·S1⇒a1≠0，a1＝1.
当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝－＝2an－2an－1⇒an＝2an－1⇒{an}是首项为a1＝1，公比为q＝2的等比数列，即an＝2n－1，n∈N*.
(2)令Tn＝1·a1＋2·a2＋3·a3＋…＋n·an
⇒qTn＝1·qa1＋2·qa2＋3·qa3＋…＋n·qan
⇒qTn＝1·a2＋2·a3＋3·a4＋…＋n·an＋1
上式左右错位相减：(1－q)Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－nan＋1
＝a1－nan＋1＝2n－1－n·2n
⇒Tn＝(n－1)·2n＋1，n∈N*.
11．解：(1)当n≥2时，4Sn－1＝a－4(n－1)－1.
4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4.
a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2.∵an>0，∴an＋1＝an＋2.
∴当n≥2时，{an}是公差d＝2的等差数列．
∵a2，a5，a14构成等比数列，
∴a＝a2·a14，(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3.
∵a2－a1＝3－1＝2，
∴{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．
数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝×
＝×<.