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滚动测试卷五(第一~十一章)
(时间:120分钟 满分:150分)
滚动测试卷第17页
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知全集U=R,A={x|x≥1},B={x|0≤x<5},则(∁UA)∪(∁UB)=( )
A.{x|x≥0}
B.{x|x<1,或x≥5}
C.{x|x≤1,或x≥5}
D.{x|x<0,或x≥5}
答案:B
解析:由题意可得,∁UA={x|x<1},∁UB={x|x<0,或x≥5},
则(∁UA)∪(∁UB)={x|x<1,或x≥5},故选B.
2.(2015湖北,文2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )
A.134石
B.169石
C.338石
D.1 365石
答案:B
解析:米内含谷的概率约为,故这批米内夹谷约为×1 534≈169(石).
3.(2015辽宁五校联考)对于一组数据xi(i=1,2,3,…,n),如果将它们改变为xi+C(i=1,2,3,…,n),其中C≠0,则下列结论正确的是( )
A.平均数与方差均不变
B.平均数变,方差保持不变
C.平均数不变,方差变
D.平均数与方差均发生变化
答案:B
解析:由平均数的定义,可知每个个体增加C,则平均数也增加C,方差不变,故选B.
4.某一几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.54 B.58 C.60 D.63
答案:B
解析:由三视图可知,该几何体是一个棱长为3的正方体截去一个长、宽、高分别为1,1,3的长方体,几何体的表面积为:大正方体的表面积+长方体的两个侧面的面积-长方体的两个底面的面积,即S=6×32+2×1×3-2×12=58.
5.设不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A. B. C. D.
答案:D
解析:不等式组表示坐标平面内的一个正方形区域,设区域内点的坐标为(x,y),则在区域内取点,此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x2+y2=4的外部,即图中的阴影部分,故所求的概率为.
6.已知数列{an}满足a1=2,a2=1,,则a10=( )
A. B. C. D.
答案:D
解析:由等差中项可知是等差数列,且首项为,公差d=,
所以+(n-1)×,
所以an=,所以a10=.
7.(2015江西景德镇模拟)在样本频率分布直方图中,共有五个小长方形,这五个小长方形的面积由小到大成等差数列{an}.已知a2=2a1,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为( )
A.100 B.120 C.150 D.200
答案:A
解析:设公差为d,则a1+d=2a1,所以a1=d,所以d+2d+3d+4d+5d=1,所以d=,所以面积最大的一组的频率等于×5=.所以小长方形面积最大的一组的频数为300×=100.
8.(2015北京,文4)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( )
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300
A.90 B.100 C.180 D.300
答案:C
解析:方法一:由题意,总体中青年教师与老年教师的比例为.
设样本中老年教师的人数为x,由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等,
即,解得x=180.故选C.
方法二:由已知分层抽样中青年教师的抽样比为,
由分层抽样的性质可得老年教师的抽样比也等于,
所以样本中老年教师的人数为900×=180.故选C.
9.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过点C,则以C为圆心,半径为的圆的方程为( )
A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0
C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0
答案:C
解析:把直线方程化为(-x-y+1)+a(x+1)=0,
令∴直线过定点C(-1,2).
∴圆C的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,化为一般式为x2+y2+2x-4y=0.
10.(2015合肥二检)从两名男生和两名女生中,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:设两名女生为a1,a2,两名男生为b1,b2,则所有可能如下:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(a2,b2),(b1,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b2,b1),(b2,a1),(b2,a2),共12种,其中星期六安排一名男生、星期日安排一名女生包括4种情况,所以其概率为P=,故选A.
11.下列四个图中,函数y=的图像可能是( )
答案:C
解析:∵y=是奇函数,其图像向左平移1个单位所得图像对应的函数解析式为y=,
∴y=的图像关于(-1,0)中心对称,故排除A,D,当x<-2时,y<0恒成立,排除B.
12.已知向量的夹角为θ,||=2,||=1,=t=(1-t),||在t=t0时取得最小值,当0<t0<时,夹角θ的取值范围为( )
A. B. C. D.
答案:C
解析:由题意得=2×1×cos θ=2cos θ,=(1-t)-t,
∴=(1-t)2+t2-2t(1-t)=(1-t)2+4t2-4t(1-t)cos θ
=(5+4cos θ)t2+(-2-4cos θ)t+1.
由二次函数知当上式取最小值时,t0=.
由题意可得0<,
解得-<cos θ<0,
∴<θ<,所以C正确.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知实数x,y满足则z=2x+y的最小值为 .
答案:-1
解析:作出可行域,如图可知当直线y=-2x+z经过点(-1,1)时,z取得最小值-1.
14.(2015南京、盐城模拟)某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析、随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩,并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[300,350)内的学生人数共有 人.
答案:300
解析:由频率分布直方图可得成绩在[300,350)的频率是1-(0.001+0.001+0.004+0.005+0.003)×50=1-0.7=0.3,所以成绩在[300,350)的学生人数是0.3×1 000=300.
15.(2015辽宁锦州二模)已知函数f(x)=且函数g(x)=f(x)+x-a只有一个零点,则实数a的取值范围是 .
答案:(1,+∞)
解析:∵函数g(x)=f(x)+x-a只有一个零点,
∴只有一个x的值,使f(x)+x-a=0,
即f(x)=a-x.
令h(x)=a-x,则函数f(x)与h(x)只有一个交点,如图所示:
当a≤1时,h(x)=a-x与f(x)有两个交点,
当a>1时,h(x)=a-x与f(x)有一个交点;
∴实数a的取值范围是(1,+∞).
16.某单位为了制定节能减排的计划,随机统计了某4天的用电量y(单位:度)与当天气温x(单位: ℃),并制作了对照表(如表所示).由表中数据,得线性回归方程y=-2x+a,当某天的气温为-5 ℃时,预测当天的用电量约为 度.
x
18
13
10
-1
y
24
34
38
64
答案:70
解析:气温的平均值×(18+13+10-1)=10,用电量的平均值×(24+34+38+64)=40,因为回归直线必经过点(),将其代入线性回归方程得40=-2×10+a,解得a=60,故回归方程为y=-2x+60.当x=-5时,y=-2×(-5)+60=70.所以当某天的气温为-5 ℃时,预测当天的用电量约为70度.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)(2015辽宁锦州一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,q=(2a,1),p=(2b-c,cos C),且p∥q.
求:(1)sin A的值;
(2)三角函数式+1的取值范围.
解:(1)∵p∥q,∴2acos C=1×(2b-c).
根据正弦定理,得2sin Acos C=2sin B-sin C,
又∵sin B=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C,
∴2cos Asin C-sin C=0,
即sin C(2cos A-1)=0.
∵C是三角形的内角,∴sin C≠0,
∴2cos A-1=0,可得cos A=.
∵A是三角形的内角,
∴A=,得sin A=.
(2)∵+1=+1
=2cos C(sin C-cos C)+1
=sin 2C-cos 2C,
∴+1=sin.
∵A=,得C∈,∴2C-,
可得-<sin≤1,
∴-1<sin,
即三角函数式+1的取值范围是(-1,].
18.(12分)(2015南昌三模)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d≠0,等比数列{bn}满足a1=b1,a2=b2,a5=b3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}对任意n∈N+均有+…+=an+1,求数列{cn}的前n项和Sn.
解:(1)由题意a2=1+d,a5=1+4d,且a1,a2,a5成等比数列,
∴(1+d)2=1+4d,又d≠0,∴d=2.
∴an=1+(n-1)d=2n-1.
又b2=a2=3,∴q=3,bn=3n-1.
(2)∵+…+=an+1,①
∴=a2,∴c1=3.
又+…+=an(n≥2),②
①-②得=an+1-an=2,∴cn=2bn=2·(n≥2),
∴cn=
当n=1时,Sn=c1=3,当n≥2时,Sn=c1+c2+…+cn
=3+2·(31+32+…+3n-1)=3+2·=3n.
所以Sn=3n.
19.(12分)(2015河北保定调研)某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的55名学生,得到数据如下表:
喜欢“应用统计”课程
不喜欢“应用统计”课程
总计
男生
20
5
25
女生
10
20
30
总计
30
25
55
(1)能否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关?
(2)用分层抽样的方法从喜欢“应用统计”课程的学生中抽取6名学生做进一步调查,将这6名学生作为一个样本,从中任选2人,求恰有1名男生和1名女生的概率.
下面的临界值表供参考:
P(χ2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.25
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解:(1)由公式χ2=≈11.978>7.879,
所以有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关.
(2)设所抽样本中有m个男生,则,得m=4,所以样本中有4个男生,2个女生,分别记作B1,B2,B3,B4,G1,G2.从中任选2人的基本事件有(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B3),(B2,B4),(B2,G1),(B2,G2),(B3,B4),(B3,G1),(B3,G2),(B4,G1),(B4,G2),(G1,G2),共15个,
其中恰有1个男生和1个女生的事件有(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2),(B3,G1),(B3,G2),(B4,G1),(B4,G2),共8个.
所以恰有1名男生和1名女生的概率为.
20.(12分)
如图,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,且P为AD的中点,Q为SB的中点,M为BC的中点.
(1)求证:CD⊥平面SAD;
(2)求证:PQ∥平面SCD;
(3)若SA=SD,在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD?并证明你的结论.
证明:(1)因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.
又平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,所以CD⊥平面SAD.
(2)连接PM,QM.
因为Q,P,M分别为SB,AD,BC的中点,
所以QM∥SC,PM∥DC.
因为QM∩PM=M,QM,PM⫋平面PQM,SC∩DC=C,
所以平面PQM∥平面SCD,
又PQ⫋平面PQM,
所以PQ∥平面SCD.
(3)存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD.
连接PC,DM交于点O,连接SP.
因为SA=SD,P为AD的中点,
所以SP⊥AD.
因为平面SAD⊥平面ABCD,
所以SP⊥平面ABCD,SP⊥PC.
在△SPC中,过O点作NO⊥PC交SC于点N,此时N为SC的中点,
则SP∥NO,则NO⊥平面ABCD.
因为NO⫋平面DMN,
所以平面DMN⊥平面ABCD,
所以存在满足条件的点N.
21.(12分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差x(℃)
10
11
13
12
8
6
就诊人数y(个)
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率;
(2)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程y=bx+a;
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
参考公式:b=,a=-b
解:(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A.
因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的.
其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种,
所以P(A)=.
(2)由数据求得=11,=24.
由公式求得b=,
再由a=-b =-,
所以关于x的线性回归方程为y=x-.
(3)当x=10时,y=<2,
同样,当x=6时,y=<2,
所以,该小组所得线性回归方程是理想的.
22.(12分)(2015辽宁丹东二模)平面直角坐标系xOy中,经过椭圆C:=1(a>b>0)的一个焦点的直线x-y-=0与C相交于M,N两点,P为MN的中点,且OP斜率是-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l分别与椭圆C和圆D:x2+y2=r2(b<r<a)相切于点A,B,求|AB|的最大值.
解:(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),则=-=1,=1,=1,
由此可得=-,
即a2=4b2.
又由题意知,C的右焦点是(,0),故a2-b2=3.
因此a2=4,b2=1,
故椭圆C的方程是+y2=1.
(2)设A,B分别为直线l与椭圆和圆的切点,A(x0,y0),
直线l的方程为y=kx+m,代入+y2=1,得
(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由判别式Δ=0,得m2=1+4k2①,
x0=-=-,y0=kx0+m=-.
直线l与x2+y2=r2相切,r=,
即m2=r2(1+k2),再由①得k2=,m2=,
|AB|2=|OA|2-r2=-r2=-r2
=-r2=5-.
∵+r2≥2=4,
当r=∈(1,2)时取等号,
∴5-≤1.
因此当r=∈(1,2)时,|AB|的最大值是1.
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