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选填题(一)
一、选择题
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝( )
A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}
C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}
答案 C
解析 由x2－x－6<0，得(x－3)(x＋2)<0，解得－2<x<3，即N＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}．故选C.
2．(2019·北京丰台综合练习二)已知i是虚数单位，a∈R，则“a＝1”是“(a＋i)2为纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为(a＋i)2＝a2－1＋2ai，当a＝1时，(a＋i)2＝2i，是纯虚数，当(a＋i)2为纯虚数时，a＝±1.故选A.
3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
答案 D
解析 m∥α，m∥β⇒m∥l，又AB∥l，∴m∥AB，A正确；m∥l，又l⊥AC，∴m⊥AC，B正确；AB∥l，AB⊄β，l⊂β，∴AB∥β，C正确；要使AC⊥β，AC应在平面α内，∴D不一定成立，故选D.
4. (2019·河北唐山二模)割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现，如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法．在△ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 由题意，得“盈”部分的面积为××，又△ABC的面积为ah，则该点落在标记“盈”的区域的概率为＝.故选B.
5．(2019·山东聊城二模)函数f(x)＝(－π≤x≤π)的图象大致为( )
答案 A
解析 因为f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C；又f＝＝>0，排除D；又f＝＝，且>，即f<f.故选A.
6．等差数列{an}为递增数列，若a＋a＝101，a5＋a6＝11，则数列{an}的公差d等于( )
A．1 B．2
C．9 D．10
答案 A
解析 由等差数列的性质得a1＋a10＝a5＋a6＝11.
所以(a1＋a10)2＝121，即a＋2a1a10＋a＝121，
又a＋a＝101，所以a1a10＝10.
又因为数列{an}是递增数列，所以由
得a1＝1，a10＝10，公差d＝＝1.
7．(2019·广东湛江测试二)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝(4c－b)cosA，则cos2A＝( )
A． B．
C．－ D．－
答案 C
解析 ∵acosB＝(4c－b)cosA.
∴sinAcosB＝4sinCcosA－sinBcosA，即sinAcosB＋sinBcosA＝4cosAsinC，∴sinC＝4cosAsinC，又∵0＜C＜π，
∴sinC≠0.∴1＝4cosA，即cosA＝，则cos2A＝2cos2A－1＝－.故选C.
8．(2019·江西抚州临川一中考前模拟)如图1，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q－BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为( )
A．1 B．
C． D．2
答案 B
解析 由正视图可知，M是AD1的中点，N在B1处，Q在C1D1的中点，俯视图如图所示，其面积为2×2－×2×1－×1×1－×1×2＝.故选B.
9．(2019·山西晋城三模)《九章算术》卷第七——盈不足中有如下问题：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸，瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢．”翻译为“今有墙高9尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸，葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺，问需要多少日两蔓相遇．”其中1尺＝10寸，为了解决这一问题，设计程序框图如下所示，则输出的k的值为( )
A．8 B．7
C．6 D．5
答案 C
解析 运行该程序，S＝9－1.7＝7.3(运行)；k＝2，S＝7.3－1.7＝5.6(运行)；k＝3，S＝5.6－1.7＝3.9(运行)；k＝4，S＝3.9－1.7＝2.2(运行)；k＝5，S＝2.2－1.7＝0.5(运行)；k＝6，S＝0.5－1.7＝－1.2(输出)，结束，即输出的k值为6.故选C.
10．(2019·贵州贵阳2月适应性考试一)已知点F1，F2分别是椭圆E：＋＝1的左、右焦点，P为E上一点，直线l为∠F1PF2的外角平分线，过点F2作l的垂线，交F1P的延长线于M，则|F1M|＝( )
A．10 B．8
C．6 D．4
答案 A
解析 如图，由直线l为∠F1PF2的外角平分线，l⊥F2M，可得|PM|＝|PF2|，则|F1M|＝|PF1|＋|PM|＝|PF1|＋|PF2|＝10.故选A.
11．(2019·沈阳摸底)函数f(x)＝sin2x－(cos2x－sin2x)的图象为C，下列结论正确的是( )
①f(x)的最小正周期为π；
②对任意的x∈R，都有f＋f＝0；
③f(x)在上是增函数；
④由y＝2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
A．①② B．③④
C．①②③ D．①②③④
答案 C
解析 f(x)＝sin2x－(cos2x－sin2x)＝sin2x－cos2x＝2sin，f(x)的最小正周期T＝＝π，故①正确．f＝2sin＝2sin0＝0，即函数f(x)的图象关于点对称，即对任意x∈R，都有f＋f＝0成立，故②正确．③当x∈时，2x∈，2x－∈，所以f(x)在上是增函数，故③正确．④由y＝2sin2x的图象向右平移个单位长度得到y＝2sin＝2sin的图象，故④错误．故正确的结论是①②③.选C.
12．设函数g(x)＝x3－ax2＋(x－a)cosx－sinx，若a>0，则g(x)极值的情况为( )
A．极小值是g(0)＝－a
B．极大值是g(0)＝a
C．极大值是g(a)＝－a3－sina
D．极小值是g(a)＝－a3－sina
答案 D
解析 ∵g′(x)＝(x－a)(x－sinx)，(x－sinx)′＝1－cosx≥0，若a>0，则当x∈(－∞，0)时，x－a<0，x－sinx<0，∴g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，x－sinx>0，∴g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，x－sinx>0，∴g′(x)>0，g(x)单调递增．∴当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；当x＝a时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)＝－a3－sina，故选D.
二、填空题
13．(2019·湖北黄冈中学模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝2，若(λa＋b)⊥(a－2b)，则λ＝________.
答案 3
解析 因为平面向量a，b的夹角为，
且|a|＝1，|b|＝2，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝4，
a·b＝|a||b|cos＝－1.又因为(λa＋b)⊥(a－2b)，
所以(λa＋b)·(a－2b)＝λa2＋(1－2λ)a·b－2b2＝λ－(1－2λ)－8＝0.解得λ＝3.
14．已知x∈(0，π)，且cos＝sin2x，则tan等于________．
答案
解析 由cos＝sin2x得sin2x＝sin2x，
∵x∈(0，π)，∴tanx＝2，
∴tan＝＝.
15．(2019·天津高考)8的展开式中的常数项为________．
答案 28
解析 8的通项为Tr＋1＝C8－r·r＝C28－rr·x8－4r.
令8－4r＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝C262＝28.
16．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
答案
解析 由题意知，可对不等式分x≤0,0＜x≤，x＞三段讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋＞1，
解得x＞－，∴－＜x≤0.
当0＜x≤时，原不等式为2x＋x＋＞1，显然成立．
当x＞时，原不等式为2x＋2x－＞1，显然成立．
综上可知，x的取值范围是.
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