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综合测试卷
(时间:120分钟 满分:150分)
滚动测试卷第21页
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2015贵州适应性考试)设集合A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则A∩B=( )
A.(-3,-1) B.(-3,5]
C.(3,5] D.(-1,3)
答案:D
解析:因为集合A=(-3,3),B=(-1,5],所以A∩B=(-1,3),故选D.
2.复数的共轭复数是( )
A.-i B.i
C.-i D.i
答案:C
解析:∵=i,
∴的共轭复数为-i.
3.(2015南昌二模)下列结论错误的是( )
A.命题:“若x2-3x+2=0,则x=2”的逆否命题为“若x≠2,则x2-3x+2≠0”
B.“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件
C.命题:“存在x∈R,x2-x>0”的否定是“任意x∈R,x2-x≤0”
D.若“p或q”为假命题,则p,q均为假命题
答案:B
解析:由逆否命题的定义知A项正确;若a>b,c=0时,ac2=bc2,反之,若ac2>bc2成立,一定可以得到a>b,所以“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件,B错误;特称命题的否定是将存在量词改为全称量词且否定结论,C正确;因为p或q为假命题,所以p,q均为假命题,D正确,故选B.
4.(2015河北保定重点中学联考)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则主视图中的x的值是( )
A.2 B. C. D.3
答案:D
解析:由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面面积S=×2=3,高为x,因此几何体的体积V=Sh=×3×x=3,解得x=3,故答案为D.
5.(2015陕西,文7)根据下边框图,当输入x为6时,输出的y=( )
A.1 B.2 C.5 D.10
答案:D
解析:由程序框图可得流程如下:x=6→x=3→x=0→x=-3→y=(-3)2+1=10.
6.(2015河北保定重点中学联考)若将函数fsin x-xcos x的图像向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到的图像关于原点对称,则m=( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:f(x)=sin x-xcos x=sin,图像向右平移m(0<m<π)个单位长度,
得到y=sin,由于得到的图像关于原点对称,故是奇函数,所以--m=kπ,k∈Z,
当k=-1时,m=.
7.(2015东北三校一联)椭圆+y2=1的两个焦点分别是F1,F2,点P是椭圆上任意一点,则的取值范围是( )
A.[1,4] B.[1,3] C.[-2,1] D.[-1,1]
答案:C
解析:因为a2=4,b2=1,故c2=a2-b2=3,
故F1(-,0),F2(,0).
设P(x,y),则=(--x,-y),=(-x,-y),且+y2=1,故=x2-3+y2=-2,
因为x∈[-2,2],故-2∈[-2,1],即的取值范围是[-2,1],故选C.
8.(2015辽宁丹东一模)设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值为( )
A.5 B.8 C.10 D.12
答案:C
解析:作出不等式组对应的平面区域如图.由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x+z.
由图像可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线的截距最小,此时z最小.
由解得
即A(3,4),此时z=3×2+4=10.
9.(2015河北保定二模)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b+c=8,1+,则△ABC面积的最大值为( )
A.4 B.4 C. D.
答案:B
解析:∵1+,
∴,
化为cos A=,∴sin A=.
∵b+c=8≥2,化为bc≤16,当且仅当b=c=4时取等号.
∴S△ABC=bcsin A=bc≤4.
10.直线y=kx+1与曲线f(x)=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于( )
A.2 B.-1 C.1 D.-2
答案:C
解析:依题意知,f'(x)=3x2+a,则
由此解得所以2a+b=1.
11.某同学同时掷两枚骰子,得到的点数分别为a,b,则椭圆=1的离心率e>的概率是( )
A. B. C. D.
答案:D
解析:当a>b时,e=⇒a>2b,符合a>2b的情况有:
当b=1时,有a=3,4,5,6,这4种情况;
当b=2时,有a=5,6,这2种情况,总共有6种情况,则概率为.
同理,当a<b时,e>的概率也为.
综上,e>的概率为.
12.(2015河北保定一模)设等差数列{an}满足a1=1,an>0(n∈N+),其前n项和为Sn,若数列{}也为等差数列,则的最大值是( )
A.310 B.212 C.180 D.121
答案:D
解析:因为等差数列{an}满足a1=1,an>0(n∈N+),
设公差为d,则an=1+(n-1)d,其前n项和为Sn=,
所以=1,.
因为数列{}也为等差数列,所以2,
即2=1+,解得d=2,Sn=n2.
所以Sn+10=(n+10)2,=(2n-1)2.
所以.
由于为递减数列,
所以=112=121,故选D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
13.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .
答案:4
解析:根据茎叶图中的数据,可知成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20,用系统抽样方法从35人中抽取7人,成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×=4(人).
14.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|=,则= .
答案:-
解析:如图,作OC⊥AB于点C,|AB|=,
在Rt△OAC中,因为AC=,OA=1,
所以∠AOC=60°,则∠AOB=120°,
所以=1×1×cos 120°=-.
15.如果双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+2相切,则双曲线的离心率为 .
答案:3
解析:由已知得,双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,因为与抛物线y=x2+2相切,故联立方程消去y得ax2-bx+2a=0,可知Δ=b2-8a2=0,又b2=c2-a2,所以c2=9a2,即e2=9,e=3.
16.(2015江西重点中学盟校联考)若函数f(x)=在其定义域上只有一个零点,则实数a的取值范围是 .
答案:(16,+∞)
解析:当x≤0时,y=-x与y=3x的图像有一个交点,
而f(x)在其定义域上只有一个零点,所以当x>0时,f(x)没有零点.
当x>0时,f'(x)=x2-4,令f'(x)=0得x=2,
所以f(x)在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增,f(x)在x=2处取得最小值f(2)=>0,解得a>16.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(12分)(2015石家庄一检)数列{an}是公差不为0的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前n项和为Sn,求数列的前n项和.
解:(1)设数列{an}的公差为d,由题意得(1+2d)2=1×(1+8d),
解得d=1或d=0(舍),
所以{an}的通项公式为an=1+(n-1)×1=n.
(2)由(1)得Sn=.
所以Tn=+…+
=2
=2.
18.(12分)(2015杭州模拟)
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AB⊥BB1,AC=BC=BB1=2,D为AB的中点,且CD⊥DA1.
(1)求证:平面A1B1B⊥平面ABC.
(2)求多面体DBC-A1B1C1的体积.
(1)证明:因为AC=BC,D为AB的中点,
所以CD⊥AB,又CD⊥DA1,AB∩DA1=D,
所以CD⊥平面A1B1B.
又因为CD⫋平面ABC,
故平面A1B1B⊥平面ABC.
(2)解:因为平面A1B1B⊥平面ABC,平面A1B1B∩平面ABC=AB,BB1⫋平面A1B1B,AB⊥BB1,
所以BB1⊥平面ABC,因此=S△ABC·|AA1|-S△ADC·|AA1|=S△ABC·|AA1|-S△ABC·|AA1|=S△ABC·|AA1|=.
19.(12分)(2015四川绵阳诊断)据《中国新闻网》报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了3 600人调查(若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的80%,则认为本次调查“失效”),就“是否取消英语听力”的问题,调查统计的结果如下表:
态度 调查人群
应该取消
应该保留
无所谓
在校学生(人)
2 100
120
y
社会人士(人)
600
x
z
已知在全体样本中随机抽取1人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.
(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行深入访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?
(2)已知y≥657,z≥55,求本次调查“失效”的概率.
解:(1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05,
∴=0.05,解得x=60,
∴持“无所谓”态度的人数为3 600-2 100-120-600-60=720,
∴应在持“无所谓”态度的人中抽取720×=72人.
(2)y+z=720,y≥657,z≥55,故满足条件的(y,z)有:
(657,63),(658,62),(659,61),(660,60),(661,59),(662,58),(663,57),(664,56),(665,55),共9种.
记本次调查“失效”为事件A,若调查失效,则2 100+120+y<3 600×0.8,解得y<660.
∴事件A包含:(657,63),(658,62),(659,61),共3种.
∴P(A)=.
20.(12分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.
(1)求圆O的方程.
(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程.
(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.
解:(1)半径r==2,故圆O的方程为x2+y2=4.
(2)因为圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,所以MN的斜率等于2.
设MN的方程为y=2x+b,即2x-y+b=0.
圆心O到直线MN的距离等于=1.
由点到直线的距离公式可得1=,即b=±,
故MN的方程为2x-y±=0.
(3)圆O与x轴相交于A(-2,0),B(2,0)两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,
所以|PA|·|PB|=|PO|2,设点P(x,y),
则有=x2+y2,
两边平方,化简可得x2=y2+2.
由点P在圆内可得x2+y2<4,故有0≤y2<1.
因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x2+y2-4=2(y2-1)∈[-2,0),
即的取值范围是[-2,0).
21.(12分)已知函数f(x)=xln x.
(1)试求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;
(2)若x>1,试判断方程f(x)=(x-1)(ax-a+1)的解的个数.
解:(1)由题意得f'(x)=ln x+1,则f'(e)=2.又∵f(e)=e,
∴曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y-e=2(x-e),即2x-y-e=0.
(2)方程f(x)=(x-1)(ax-a+1)的解即为方程ln x-=0的解,
设h(x)=ln x-(x>1),
则h'(x)=-
=-(x>1).
当a=0时,h'(x)>0,h(x)为增函数,
∴h(x)>h(1)=0,方程无解;
当a≠0时,令h'(x)=0得x1=1,x2=.
当a<0,即x2=<1时,h'(x)>0,则h(x)为(1,+∞)上的增函数,
∴h(x)>h(1)=0,方程无解;
当0<a<,即>1时,
当x∈时,h'(x)>0,h(x)为增函数;
当x∈时,h'(x)<0,h(x)为减函数.
又x→+∞时,h(x)=ln x-ax++2a-1<0,h(1)=0,
∴方程有一个解;
当a≥,即<1时,又x>1,
∴h'(x)<0,h(x)为减函数,
而h(x)<h(1)=0,方程无解.
综上所述,当a∈(-∞,0]∪时,原方程无解;
当a∈时,原方程有一个解.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.
22.(10分)
如图,在☉O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N.直线MO与直线CD相交于点F.证明:
(1)∠MEN+∠NOM=180°;
(2)FE·FN=FM·FO.
证明:
(1)如图所示,因为M,N分别是弦AB,CD的中点,所以OM⊥AB,ON⊥CD,即∠OME=90°,∠ENO=90°,因此∠OME+∠ENO=180°.
又四边形的内角和等于360°,故∠MEN+∠NOM=180°.
(2)由(1)知,O,M,E,N四点共圆,故由割线定理即得FE·FN=FM·FO.
23.(10分)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.
解:(1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ.①
将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②
(2)将代入②,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.
24.(10分)(2015东北师大附中一模)设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.
(1)解不等式f(x)>0;
(2)若存在x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围.
解:(1)不等式f(x)>0,即|2x-1|>|x+2|,
即4x2-4x+1>x2+4x+4,
即3x2-8x-3>0,求得它的解集为.
(2)f(x)=|2x-1|-|x+2|=
故f(x)的最小值为f=-,
根据存在x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,
可得4m-2m2>-,即4m2-8m-5<0,
求得-<m<.
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