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本章是从量子角度讨论 内能 热容晶体的比热晶体的比热实验规律实验规律下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。(1)(1)在高温时在高温时，晶体的比热为，晶体的比热为3NkB(N为晶体中原子的个为晶体中原子的个数数,k kB B=1.38 10-23J K-1为玻尔兹曼常量为玻尔兹曼常量)；(2)(2)在低温时在低温时，晶体的比热按，晶体的比热按T3趋于零。趋于零。晶体的定容比热定义为：晶体的定容比热定义为：晶体比热的一般理论-晶体的平均内能晶体的平均内能晶格振动比热晶格振动比热晶体电子比晶体电子比热热本节只讨论晶格振动比热。本节只讨论晶格振动比热。晶格比热的晶格比热的晶格比热的晶格比热的 经典理论经典理论:杜隆杜隆-珀替定律珀替定律 根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是kBT,若晶若晶体有体有N N个原子，则总自由度为：个原子，则总自由度为：3N。低温时经典理论不再适用。它是一个与温度无关的常数，这一结论称为杜隆它是一个与温度无关的常数，这一结论称为杜隆-珀替定律。珀替定律。但实际上，实验表明在低温时但实际上，实验表明在低温时，晶体，晶体的比热按的比热按T3趋于零。趋于零。1.点阵热容 C=dU/dT吸热吸热 内能增内能增 晶格振动晶格振动可用格波描可用格波描述述 谐振子谐振子 声子数（反映格波的能量）。声子数（反映格波的能量）。反之，系统能量反之，系统能量 =“=“所有格波：对应的能所有格波：对应的能量（声子数）之和量（声子数）之和”。(声子数 对应于格波振幅)任一格波对应于多个能量值任一格波对应于多个能量值(声子数声子数)：如何确定该格波所对应的能量值平均声子数 每个能量状态出现的几率不同附：平均声子数 的推导过程统计规律：统计规律：声子分布满足波尔兹曼分布条件声子分布满足波尔兹曼分布条件即能量即能量出现的几率：与能量称反比。出现的几率：与能量称反比。能量越高（声子数越多），出现几率越低。能量越高（声子数越多），出现几率越低。平均声子数平均声子数令：令：附：平均声子数 的推导过程n n根据色散关系：在动量空间（根据色散关系：在动量空间（k k空间中）作出色散空间中）作出色散图。图。n n将所有具相同将所有具相同 的的k k连接起来，则形成一个平面。该连接起来，则形成一个平面。该平面称为平面称为等能面等能面，显然所有在等能面上的，显然所有在等能面上的k k具有相具有相同的（平均）声子数。同的（平均）声子数。对 平均声子数 的说明l 式中，式中，只与只与s、T有关。有关。(与与K无关无关)l s是标量。是标量。l 相同的相同的 s，可同时对应多个不同的可同时对应多个不同的 k。KK分布的特点分布的特点分布的特点分布的特点:均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布,每每每每k k占有体积一定。占有体积一定。占有体积一定。占有体积一定。如此，晶格振动的总能量如此，晶格振动的总能量 =所有所有谐振子谐振子谐振子谐振子对内能的贡献：对内能的贡献：对内能的贡献：对内能的贡献：可将可将各谐振子按照频率进行分类各谐振子按照频率进行分类各谐振子按照频率进行分类各谐振子按照频率进行分类：将同频率：将同频率：将同频率：将同频率()的格波的格波的格波的格波归为一组归为一组归为一组归为一组（即（即（即（即 同，k k不同，假设对应的数目为数目不同，假设对应的数目为数目不同，假设对应的数目为数目不同，假设对应的数目为数目为为为为Z(Z()个）个）个）个）。则内能表达式变为。则内能表达式变为振动模式（格波振动模式（格波）数很多，求解）数很多，求解不方便不方便只与只与相关。相关。相同相同平均平均声子数相同声子数相同相同的相同的，不同的，不同的k k，只是对应的格波不同，只是对应的格波不同，但平均声子数一样，可但平均声子数一样，可放在一起。放在一起。据此可引入据此可引入据此可引入据此可引入“模式密度模式密度模式密度模式密度”概念：概念：概念：概念：原来的计算方法：对所有格波逐个累加 多且杂！现在的计算方法：相同的放在一起,数目用因子Z()来表达，然后累加相对简洁！1.简正模式密度D()的定义 定义定义:在频率在频率附近附近d d范围内共含有范围内共含有dZdZ个简正模式个简正模式，则，则模式密度定义如下模式密度定义如下：引入简正模式密度后，则热能可表示为：引入简正模式密度后，则热能可表示为：（有时也用单位体积、单位频率间隔中的简正模式数）。它反应的是它反应的是单位频率单位频率 间隔中所含有的简正模式数。间隔中所含有的简正模式数。指指K K空间中，空间中，附近相附近相距距d d两两等能面所包围等能面所包围体积中含有的模式数体积中含有的模式数2.模式密度的计算方法1).1).求波矢求波矢K K的的分布密度分布密度分布密度分布密度：k k均匀分布均匀分布2).a2).a、求间距为、求间距为d d的的等能面等能面内所包含的体积内所包含的体积b b、或、或等能面内拥有的总共模式数，再求导等能面内拥有的总共模式数，再求导例例1：一维模式密度的计算一维模式密度的计算分布密度分布密度分布密度分布密度体积体积体积体积(长度长度长度长度)其中，其中，dZdZ是指是指K K空间中相隔空间中相隔d d(对应对应dk)dk)厚度的厚度的(等能面等能面)空间中所空间中所包含的体积。包含的体积。Vg Vg为群速度，当为群速度，当Vg=0Vg=0，则模式密度发散，出现一个，则模式密度发散，出现一个奇点，这个奇点叫做一维模式密度的奇点，这个奇点叫做一维模式密度的Van HoveVan Hove奇点，在奇点，在奇点，晶体的热学性质要出现反常。奇点，晶体的热学性质要出现反常。例例2：三维模式密度的计算三维模式密度的计算分布密度分布密度分布密度分布密度体积体积体积体积其中，其中，dVdV是指是指K K空间中相隔空间中相隔d d厚度等能面厚度等能面 中所包含的体积。中所包含的体积。显然，显然，dVdV与色散关系函数与色散关系函数(相当于等能面相当于等能面)息息相关！息息相关！假设假设kk关系是线性的，关系是线性的，即：即：ckck 例：例：等能面是球面形状。等能面是球面形状。可见，色散关系对模式密可见，色散关系对模式密度有直接性的影响。度有直接性的影响。根据对色散关系的不同预根据对色散关系的不同预测情况，两种常见模型测情况，两种常见模型(1)、德拜模型德拜模型(晶体低温时的模型晶体低温时的模型)模式密度模式密度球体分布球体分布德拜对色散关系的假设德拜对色散关系的假设 (假设假设假设假设1)1)：这实际上是（低温）这实际上是（低温）这实际上是（低温）这实际上是（低温）长声学支模式长声学支模式长声学支模式长声学支模式将Vg带入上页D()公式即得对应的附：若考虑同一振动模式附：若考虑同一振动模式(k、相同相同)的不同振动方向的不同振动方向(纵波、横波纵波、横波)的影响，则：的影响，则：对于纵波：对于纵波：对于横波：对于横波：可将三种可将三种模式合并模式合并:函数图形如下，是一个抛物线性函数：函数图形如下，是一个抛物线性函数：可见，随可见，随 增加，增加，总模式数：总模式数：发散。发散。这个结果表明，总的模式数有无限多，而与晶这个结果表明，总的模式数有无限多，而与晶体中的模式数与总自由度相同的结果相矛盾。体中的模式数与总自由度相同的结果相矛盾。为了解决这个矛盾，德拜认为不是所有的频率的模为了解决这个矛盾，德拜认为不是所有的频率的模式都存在，而存在着一个频率上限式都存在，而存在着一个频率上限 D D ，称为，称为德拜截止德拜截止德拜截止德拜截止频率频率频率频率。超过。超过 D D的振动模式是不存在的，而频率小于的振动模式是不存在的，而频率小于 D D的模式可用连续介质中的弹性波处理的模式可用连续介质中的弹性波处理,D D由总的由总的3N3N个声个声子模式自由度决定：子模式自由度决定：（为初基晶胞数）（为初基晶胞数）则则附：德拜假设附：德拜假设2 2 k kD D是晶体中格波的最大波矢，以是晶体中格波的最大波矢，以是晶体中格波的最大波矢，以是晶体中格波的最大波矢，以KKD D为半径在波矢为半径在波矢为半径在波矢为半径在波矢空间画一个球，称为空间画一个球，称为空间画一个球，称为空间画一个球，称为德拜球德拜球德拜球德拜球，球内应包含所有的，球内应包含所有的，球内应包含所有的，球内应包含所有的简正模式，即简正模式，即简正模式，即简正模式，即 3N3N3N3N个模式个模式个模式个模式，球外的短波振动在晶体，球外的短波振动在晶体，球外的短波振动在晶体，球外的短波振动在晶体中是不存在的，而球内的所有模式可用连续介质中是不存在的，而球内的所有模式可用连续介质中是不存在的，而球内的所有模式可用连续介质中是不存在的，而球内的所有模式可用连续介质中的弹性波来处理，球内的模式数应为晶体中所中的弹性波来处理，球内的模式数应为晶体中所中的弹性波来处理，球内的模式数应为晶体中所中的弹性波来处理，球内的模式数应为晶体中所有的模式数，即有的模式数，即有的模式数，即有的模式数，即3N3N3N3N个。个。个。个。与德拜截止频率相对应的波矢定义为与德拜截止频率相对应的波矢定义为德拜截止波矢德拜截止波矢:对一个三维点阵常数为对一个三维点阵常数为a a的立方点阵，第的立方点阵，第1BZ1BZ为一边长为为一边长为2 2/a/a 的立方体，的立方体，第第1BZ1BZ中有中有N N个个K K（N N为晶体中的初基晶胞数），按德拜模型（即对晶为晶体中的初基晶胞数），按德拜模型（即对晶体使用连续介质中的弹性波的色散关系），体使用连续介质中的弹性波的色散关系），K K值只值只能在德拜球中取值，但第能在德拜球中取值，但第1BZ1BZ中的声子模式数也是中的声子模式数也是3N3N个，个，因此德拜模型实际上用一个球代替了第因此德拜模型实际上用一个球代替了第因此德拜模型实际上用一个球代替了第因此德拜模型实际上用一个球代替了第1BZ1BZ1BZ1BZ，也就是说本应在第，也就是说本应在第1BZ1BZ中取的中取的K K值，而现在是在值，而现在是在德拜球内取值，显然，德拜球内取值，显然，德拜球的体积应等于第德拜球的体积应等于第1BZ1BZ的体积的体积，根据此模型，模式密度，根据此模型，模式密度D(D()关系关系应为：应为：爱因斯坦对色散关系的假设：爱因斯坦对色散关系的假设：爱因斯坦对色散关系的假设：爱因斯坦对色散关系的假设：所有的简正模式都具所有的简正模式都具所有的简正模式都具所有的简正模式都具有相同的频率，即有相同的频率，即有相同的频率，即有相同的频率，即=E E，频率不是波矢的函数。，频率不是波矢的函数。，频率不是波矢的函数。，频率不是波矢的函数。这实际这实际这实际这实际上对应于长光学支模式。上对应于长光学支模式。上对应于长光学支模式。上对应于长光学支模式。(2)、爱因斯坦模型若三个分支都用爱因斯坦模型，则：若三个分支都用爱因斯坦模型，则：点 阵 热 容先求晶格总能（不是晶体，不包括电子的贡献），再对T求导若获得若获得U U，则由热能对温度在体积一定时求偏微商，则由热能对温度在体积一定时求偏微商，可得定容热容可得定容热容 2点阵热容 爱因斯坦模型的热容则爱因斯坦固体的热能为：则爱因斯坦固体的热能为：=E E，即所有的模式有相同的振动频率，即所有的模式有相同的振动频率课本中为1维，则3NN 代表温度代表温度T T时一个振动模式上的平均声子数：时一个振动模式上的平均声子数：1)1)、爱因斯坦模型的爱因斯坦模型的高温极限高温极限 (k kB BT T E E或或 T T h h E E/k/kB B ）：爱因斯坦热容爱因斯坦热容 CvCv3NK3NKB B，与实验结果符合与实验结果符合 (杜隆杜隆珀替定律珀替定律)Cv Cv 按指数规律急剧下降，但按指数规律急剧下降，但实际上固体的热容是按实际上固体的热容是按T T3 3规律下规律下降降，而不是指数下降，这个模型与实验结果出入较大，主要是模，而不是指数下降，这个模型与实验结果出入较大，主要是模型过于简化，即认为所有简正模式具有相同的频率，低温下一起型过于简化，即认为所有简正模式具有相同的频率，低温下一起冻结，温度升高时同时激发，因此导致热容在低温时急剧下降。冻结，温度升高时同时激发，因此导致热容在低温时急剧下降。2)2)、爱因斯坦模型的、爱因斯坦模型的低温极限低温极限：，与实验结果不符。与实验结果不符。德拜模型的热容模式密度：模式密度：则点阵热能为则点阵热能为:直接导出结论即可，下页ppt及课本（27-29）式无甚必要由于、kBT均具有能量的量纲，可令=kBT可见，在效果上每个不同的 均对应于某一温度的大小当=D时，所对应的T=，即所谓的德拜温度德拜温度德拜温度是一重要参数，实际上对应于固体中所允许是一重要参数，实际上对应于固体中所允许的最大的最大K KD D或或D D的值（即限制条件）的值（即限制条件）.补充：德拜温度的定义德拜温度表示固体热学性质主要参数。德拜温度表示固体热学性质主要参数。德拜温度表示固体热学性质主要参数。德拜温度表示固体热学性质主要参数。一般在实验上不是通过一般在实验上不是通过一般在实验上不是通过一般在实验上不是通过求求求求CvCvCvCv，而是通过测出，而是通过测出，而是通过测出，而是通过测出 Cv Cv Cv Cv 求求求求，因此，因此，因此，因此若此模型正确的话若此模型正确的话若此模型正确的话若此模型正确的话,不应是温度的函数，但实际不应是温度的函数，但实际不应是温度的函数，但实际不应是温度的函数，但实际上由于德拜模型是近似模型，上由于德拜模型是近似模型，上由于德拜模型是近似模型，上由于德拜模型是近似模型，就是温度的函数。就是温度的函数。就是温度的函数。就是温度的函数。Na =158KSi =625KPb =88K金刚石 =2230K是由D定义，一般为102数量级。附：德拜温度的意义回到之前的内能表达式把上式把上式 用用德拜温度代替，得：德拜温度代替，得：1)1)1)1)、德拜模型的、德拜模型的、德拜模型的、德拜模型的高温极限高温极限高温极限高温极限(T(T(T(T，则，则x x 1 1），），此时德拜热容：此时德拜热容：这时声子的量子统计可用经典统计去代替。这时声子的量子统计可用经典统计去代替。积分积分若温度降低，当若温度降低，当若温度降低，当若温度降低，当TTTT时时时时，高的模式要冻结，而高的模式要冻结，而低的低的模式还处于激发状态，因此德拜温度模式还处于激发状态，因此德拜温度D D也可看做是所也可看做是所有模式都处于激发状态转到某些模式被冻结的温度。有模式都处于激发状态转到某些模式被冻结的温度。根据前面所得热能和热容表达式：根据前面所得热能和热容表达式：2)2)2)2)、德拜模型的、德拜模型的、德拜模型的、德拜模型的低温极限低温极限低温极限低温极限低温下的热容：则低温下的热能为：多次采用分部积分法：上式中，利用了公式：积分：在低温情况在低温情况在低温情况在低温情况下，即下，即TT 时，则时，则x x11，低温下热容与温度的三次方成正比，这与实低温下热容与温度的三次方成正比，这与实验结果相当一致，主要原因是它的基本假设是长验结果相当一致，主要原因是它的基本假设是长声学波模型，声学波模型，在低温下只有频率较低的长波模式在低温下只有频率较低的长波模式才是受热激发的才是受热激发的，而频率高的短波模式都已冻结，而频率高的短波模式都已冻结，在这些模式上布居的声子数很少，用线性色散关在这些模式上布居的声子数很少，用线性色散关系去处理问题，恰好与实验结果吻合的好，系去处理问题，恰好与实验结果吻合的好，任何任何晶体在低温下都可用德拜模型处理。晶体在低温下都可用德拜模型处理。下面用一个简单的物理模型说明规律的由来：下面用一个简单的物理模型说明规律的由来：下面用一个简单的物理模型说明规律的由来：下面用一个简单的物理模型说明规律的由来：在波矢空间中以德拜波矢为半径画一个球在波矢空间中以德拜波矢为半径画一个球在波矢空间中以德拜波矢为半径画一个球在波矢空间中以德拜波矢为半径画一个球德拜低温结果(Cv与T3成正比)的物理“解释模型”当当当当TT 时时时时,在德拜球内受激发的模式有在德拜球内受激发的模式有在德拜球内受激发的模式有在德拜球内受激发的模式有 KKB BT,T,即声子能量小于即声子能量小于即声子能量小于即声子能量小于KKB BT T 的才受激发，若当热能与声子能量的才受激发，若当热能与声子能量的才受激发，若当热能与声子能量的才受激发，若当热能与声子能量相等时的声子波矢为相等时的声子波矢为相等时的声子波矢为相等时的声子波矢为KKT T(=K(=KB BT/T/v v),),在波矢空间以在波矢空间以在波矢空间以在波矢空间以KKT T为半为半为半为半径画一个球，此球内的模式是受激发的模式，在温度径画一个球，此球内的模式是受激发的模式，在温度径画一个球，此球内的模式是受激发的模式，在温度径画一个球，此球内的模式是受激发的模式，在温度T T下下下下能受激发的模式份数等于两球体积之比（能受激发的模式份数等于两球体积之比（能受激发的模式份数等于两球体积之比（能受激发的模式份数等于两球体积之比（KKT T/K/KD D）3 3这个这个这个这个比值实际上就是比值实际上就是比值实际上就是比值实际上就是 （T/T/)3 3 。那么低温下热容：那么低温下热容：在低温在低温T T下，能受激发的模式数为下，能受激发的模式数为每个模式对热能的贡献都是每个模式对热能的贡献都是K KB BT T（属于经典激发）（属于经典激发）总的热能为总的热能为 从以上讲述中我们不难看到，固体物理中处从以上讲述中我们不难看到，固体物理中处理的是有大量粒子存在且粒子之间有强相互作用理的是有大量粒子存在且粒子之间有强相互作用的体系，不可能精确求解，通常用一些简单的物的体系，不可能精确求解，通常用一些简单的物理模型处理问题，理模型处理问题，简单模型包含了复杂问题的关简单模型包含了复杂问题的关键所在键所在。因此在处理物理问题时要注意物理模型。因此在处理物理问题时要注意物理模型的选取，从这个意义上来说，固体物理的发展史的选取，从这个意义上来说，固体物理的发展史也可以说是物理模型的演变史。也可以说是物理模型的演变史。2.非简谐晶体相互作用在这个近似下，格波都是独立的，在这个近似下，格波都是独立的，简正模式间无简正模式间无互作用互作用。只取到平方项，则只取到平方项，则 简谐近似简谐近似是把原子之间的互作用势在平衡位置附是把原子之间的互作用势在平衡位置附近按泰勒级数展开：近按泰勒级数展开：若考虑展开式的高次项，得到的模式若考虑展开式的高次项，得到的模式不再是不再是不再是不再是相互独立的相互独立的相互独立的相互独立的，此时也不能再定义独立的声子了，此时也不能再定义独立的声子了，如果非简谐项相对于简谐项是一些比较小的量，如果非简谐项相对于简谐项是一些比较小的量，此时可近似认为格波是独立的，但还要考虑格波此时可近似认为格波是独立的，但还要考虑格波间的相互作用，即可把高次项作为间的相互作用，即可把高次项作为微扰微扰微扰微扰来考虑，来考虑，此时的声子气体就不再是理想气体此时的声子气体就不再是理想气体.若原子间的相互作用势是严格的简谐势，则声子间无若原子间的相互作用势是严格的简谐势，则声子间无相互作用，相互作用，没有能量交换，若果真如此的话，那么一没有能量交换，若果真如此的话，那么一个晶体就不可能进入热平衡状态个晶体就不可能进入热平衡状态，由外界干扰而激发，由外界干扰而激发产生的声子数不会变化。但实际上声子很快要进入热产生的声子数不会变化。但实际上声子很快要进入热平衡分布，因此外界干扰而激发的声子很快要消失掉，平衡分布，因此外界干扰而激发的声子很快要消失掉，正是由于有非简谐作用的存在才可能有正是由于有非简谐作用的存在才可能有热膨胀热膨胀和和热传热传导导。1.热 膨 胀 若两个原子之间的互作用势是简谐势，则其图若两个原子之间的互作用势是简谐势，则其图形应为严格的抛物线，形应为严格的抛物线，随振幅的增大，两原子之随振幅的增大，两原子之随振幅的增大，两原子之随振幅的增大，两原子之间的平均距离不会增大间的平均距离不会增大间的平均距离不会增大间的平均距离不会增大(平均位移为平均位移为平均位移为平均位移为0)0)0)0)，就不可能，就不可能有热膨胀，有热膨胀，热膨胀是由于原子之间互作用势是不热膨胀是由于原子之间互作用势是不热膨胀是由于原子之间互作用势是不热膨胀是由于原子之间互作用势是不对称对称对称对称（其图形不是严格的抛物线）而引起的（其图形不是严格的抛物线）而引起的（其图形不是严格的抛物线）而引起的（其图形不是严格的抛物线）而引起的，由，由于于原子间平均距离增大原子间平均距离增大原子间平均距离增大原子间平均距离增大引起了热膨胀。引起了热膨胀。1.热膨胀只考虑势能函数的前三项时只考虑势能函数的前三项时式中式中按按玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计，在温度，在温度T T下的平均位移为：下的平均位移为：（其中，其中，x x是相对于平衡位置的位移是相对于平衡位置的位移）忽略高次项后得：忽略高次项后得：考虑到位移是考虑到位移是小位移小位移，则：，则：分子项:分母项分子分母分别代入可得原子间平均位移为：可见，可见，与与g/cg/c2 2值有关，正是由于势能函数曲线值有关，正是由于势能函数曲线的不对称性，才导致了的变化。的不对称性，才导致了的变化。线膨胀系数：线膨胀系数：2.点 阵 热 导 率热平衡1、声子数达到平衡2、动量平衡：各“微小区域”内总动量量为02.点阵热导率单位时间、单位面积上流过的热能称为单位时间、单位面积上流过的热能称为热能流密度热能流密度：（负号表示（负号表示J J与与dT/dxdT/dx反向，即反向，即J J与温度梯度反向）与温度梯度反向）这就是热传导方程。这就是热传导方程。宏观角度：微观角度微观角度等效行为的说明：声子气波传播 能量传播碰撞碰撞能量传递能量传递（声子吸收）（声子吸收）波速波速(群速群速)能量传播速度能量传播速度(群速群速)波到波到 能量达到能量达到声子产生声子产生声子气体通过声子气体通过（声子通过速度）（声子通过速度）重新组织不同温度不同，等效于气体浓度不一样我们引入声子平均自由程的概念，即连续碰撞我们引入声子平均自由程的概念，即连续碰撞之间的平均距离，用气体分子运动讨论声子对之间的平均距离，用气体分子运动讨论声子对热能的输送。热能的输送。若若 lx 代表平均自由程，则代表平均自由程，则T T为在为在x x方向走过范围方向走过范围的温度差，的温度差，用用c c代表声子热容（一个声子对热容代表声子热容（一个声子对热容的贡献）。则的贡献）。则C=ncC=nc（n n为声子浓度）。为声子浓度）。用v代表x方向声子的群速度。则单位时间内通过单位面积的热流应当为：（能量传播）（n nv vx x:单位时间、单位面积上流过的声子数，单位时间、单位面积上流过的声子数，c cT-T-声子在一次碰撞中放出的热能）声子在一次碰撞中放出的热能）在晶体中相距在晶体中相距 l lx x 的两点的温度差应为：的两点的温度差应为：上式中利用了：上式中利用了：称为弛豫时间，即两次碰撞之间的时间间隔）称为弛豫时间，即两次碰撞之间的时间间隔）由于不同的声子有不同的群速度值，并且在由于不同的声子有不同的群速度值，并且在 x x、y y、z z 三三个方向个方向V V是均分的，考虑到这一点，是均分的，考虑到这一点，V Vx x2 2则应由则应由 代代表。根据能量均分：表。根据能量均分：能量均分，简言之能量均分，简言之三方向情况相同三方向情况相同因此因此对于长声学声子对于长声学声子:将上式与将上式与相比较相比较可得可得这就是点阵热导率的表达式。这就是点阵热导率的表达式。这是最主要的机制，也就是说格波与格波之间的散这是最主要的机制，也就是说格波与格波之间的散这是最主要的机制，也就是说格波与格波之间的散这是最主要的机制，也就是说格波与格波之间的散射，一般有两种情况：射，一般有两种情况：射，一般有两种情况：射，一般有两种情况：声子的平均自由程决定于声子的碰撞，其主要机制有：声子的平均自由程决定于声子的碰撞，其主要机制有：声子与声子与声子声子声子声子的碰撞的碰撞声子与样品中声子与样品中杂质、缺陷杂质、缺陷杂质、缺陷杂质、缺陷的碰撞的碰撞即格波遇到晶体中杂质缺陷时的散射，此时一般力常数要即格波遇到晶体中杂质缺陷时的散射，此时一般力常数要发生变化，对于纯单晶体，这种机制是很少的。发生变化，对于纯单晶体，这种机制是很少的。声子与样品声子与样品边界边界边界边界的碰撞的碰撞即格波在样品边界处的散射（势能发生改变）。即格波在样品边界处的散射（势能发生改变）。若同时考虑上述三种机制，则声子总的自由程若同时考虑上述三种机制，则声子总的自由程 为：为：碰撞几率：碰撞几率：若温度若温度T T高，则声子浓度高，则声子浓度n n大，据玻色分布，在高温大，据玻色分布，在高温情况下：情况下：频率为频率为 的声子数增大，则的声子数增大，则 l la a 减小，所以高温下减小，所以高温下在低温下：在低温下：n n随温度随温度T T 降低按指数规律急剧下降，则降低按指数规律急剧下降，则l la a增大很增大很快，当温度快，当温度T T下降到接近下降到接近0K0K时，时，l la a 温度的影响温度的影响（D D为常数）为常数）l la a，此时声子的平均自由程由决定，倘若试样非常，此时声子的平均自由程由决定，倘若试样非常纯净，纯净，lblb也很大，则声子的平均自由程就由样品的边也很大，则声子的平均自由程就由样品的边界决定，这种情况称为界决定，这种情况称为尺寸效应尺寸效应尺寸效应尺寸效应，此时点阵的热导率：，此时点阵的热导率：声子之所以进入声子之所以进入热平衡分布热平衡分布热平衡分布热平衡分布，使得某一个区域的平均，使得某一个区域的平均声子数为声子数为，要依靠声子之间的碰撞，靠非简谐效应，要依靠声子之间的碰撞，靠非简谐效应.前面我们已经得到点阵的热导率前面我们已经得到点阵的热导率前面我们已经得到点阵的热导率前面我们已经得到点阵的热导率温度为温度为温度为温度为T T T T时一个模式上的平均声子数为：时一个模式上的平均声子数为：时一个模式上的平均声子数为：时一个模式上的平均声子数为：3.倒逆过程声子与声子在碰撞中交换能量，而声子与声子在碰撞中交换能量，而声子与样品边界或声子与样品边界或声子与样品边界或声子与样品边界或杂质缺陷之间的碰撞是没有能量交换的，是属于弹性杂质缺陷之间的碰撞是没有能量交换的，是属于弹性杂质缺陷之间的碰撞是没有能量交换的，是属于弹性杂质缺陷之间的碰撞是没有能量交换的，是属于弹性碰撞碰撞碰撞碰撞，这种碰撞对实现热平衡是没有贡献的。，这种碰撞对实现热平衡是没有贡献的。两声子发生碰撞的波矢选择条件：两声子发生碰撞的波矢选择条件：G G的选择要使得的选择要使得K3K3在第在第1BZ1BZ之内之内两声子湮没，一声子产生，能量守恒：两声子湮没，一声子产生，能量守恒：G G0 0 正规过程正规过程G0 G0 倒逆过程。倒逆过程。正规过程对热平衡是没有贡献的正规过程对热平衡是没有贡献的正规过程对热平衡是没有贡献的正规过程对热平衡是没有贡献的。这就意味着当由于。这就意味着当由于外界干扰使声子获得了某一方向的定向运动的动量，外界干扰使声子获得了某一方向的定向运动的动量，在由非平衡态向平衡态过渡时，在由非平衡态向平衡态过渡时，定向运动的动量定向运动的动量定向运动的动量定向运动的动量应当应当逐渐减到零，这样才能使系统进入热平衡状态，为了逐渐减到零，这样才能使系统进入热平衡状态，为了能进入热平衡状态，能进入热平衡状态，显然应当存在这样一种机制，它显然应当存在这样一种机制，它显然应当存在这样一种机制，它显然应当存在这样一种机制，它能衰减声子定向运动的动量能衰减声子定向运动的动量能衰减声子定向运动的动量能衰减声子定向运动的动量，如果没有这种机制，声如果没有这种机制，声子就不可能进入热平衡状态子就不可能进入热平衡状态碰撞前后的总动量保持不变。碰撞前后的总动量保持不变。正规过程：正规过程：G=0 G=0 正规过程正规过程正规过程正规过程不会使声子团定向运动的动量衰减，因为尽管在碰撞过程中有的声子湮灭，有的声子产生，但是碰撞前后总动量保持不变碰撞前后总动量保持不变，如果由于外界干扰使得声子团产生了一个定向运动，那么在正规过程中，这个声子团就要一直作定向运动，因为碰撞前后总动量保持不变，正规过程不会干扰它的定向运正规过程不会干扰它的定向运动动。要满足倒逆过程的条件，相互碰撞的两个声相互碰撞的两个声子的波矢必须足够大子的波矢必须足够大，使得产生的声子的波矢要超出第一BZ只有加上适当的G才能使K3回到第1BZ，这个碰撞过程称为倒逆过程。倒逆过程倒逆过程对声子进入热平衡分布有贡献。对声子进入热平衡分布有贡献。所谓倒逆过程是碰撞后声子某方向的动量的方向发生了倒转，这种倒转能使声子团的倒转能使声子团的动量发生大幅度变化动量发生大幅度变化，如果由于外界激发使声子产生了定向运动动量，那么倒逆过程使声子倒逆过程使声子团的定向运动发生衰减团的定向运动发生衰减，使得不能由外界激发使得不能由外界激发实现热传导，必须有温度梯度的驱使才能传导实现热传导，必须有温度梯度的驱使才能传导热能热能，因此倒逆过程对热阻有贡献。第第1BZ1BZ的尺寸与德拜球的半径有相同的数量的尺寸与德拜球的半径有相同的数量级级，即 ，若两个声子碰撞后产生的要超出第1BZ，则这两个声子的波矢应在附近，这样的声子的能量为类似的声子数目在高温下是比较多的，在低温下类似的声子数目在高温下是比较多的，在低温下是比较少的，据玻色分布：是比较少的，据玻色分布：与温度是成正比的，随着温度的提高，达到与温度是成正比的，随着温度的提高，达到 D D/2/2 能量的声子数相当多，声子与声子的碰撞主要是能量的声子数相当多，声子与声子的碰撞主要是倒逆过程。倒逆过程。当T 时，具有D/2 的声子数随温度的下降按指数下降，因此在低温下发生倒逆过随温度的下降按指数下降，因此在低温下发生倒逆过程的声子数目是急剧下降的，倒逆过程的几率很小，程的声子数目是急剧下降的，倒逆过程的几率很小，声子与声子的碰撞主要是正规过程，倒逆过程在低温声子与声子的碰撞主要是正规过程，倒逆过程在低温下是冻结的，平均自由程下是冻结的，平均自由程l l 是比较长的。是比较长的。当T 时，具有D/2 的声子数第五章热学性质（声子）内容提要1.简正模式密度（声子能级密度）2.爱因斯坦模型和德拜模型3.点阵热容4.非简谐效应5.点阵热膨胀6.点阵热导率7.倒逆过程8.点阵的自由能和格林爱森常数