指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解).pdf

WORD 格式整理版指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂n1整数指数幂概念：a a a(n N)a01a 0a n个aan1a 0,nNna2整数指数幂的运算性质：（1）aman amnm,nZ（2）a（3）ab a bnnn mn amnm,nZnZ其中a a a amnmn amnan a 1nnn，ab a bnbbn3a的n次方根的概念即：若xn一般地，如果一个数的n次方等于an 1,n N，那么这个数叫做a的n次方根，a，则x叫做a的n次方根，n 1,n N说明：若n是奇数，则a的n次方根记作na；若a 0则na 0，若a o则na 0；若n是偶数，且a 0则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：na；（例如：8 的平方根8 2 216 的 4 次方根416 2）若n是偶数，且a 0则na没意义，即负数没有偶次方根；0 0 n 1,n Nnnn0 0；式子a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。ann a4a的n次方根的性质一般地，若n是奇数，则nan a；若n是偶数，则nan a 5例题分析：例 1求下列各式的值：（1）38 aaa 0a 03（2）102（3）43（4）4例 2已知a b 0,n 1,n N，化简：na bna bnn（二）分数指数幂学习好帮手WORD 格式整理版1051231分数指数幂：5a a a102a 03a a a124a 0即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）a3 kn akn对分数指数幂也适用，4422553422532例如：若a 0，则a3 a3 a，a4 a4 a，a a3a a545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是a（2）正数的负分数指数幂的意义是amnmnnama 0,m,nN,n 1；1amn1nama 0,m,nN,n 12分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即1aras arsa 0,r,sQ3abr2ar arsa 0,r,sQs arbra 0,b 0,rQ说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没意义。3例题分析：例 1 用分数指数幂的形式表示下列各式a o：a a，a33a2，a a.例 2计算下列各式的值（式中字母都是正数）31151112（1）2a3b26a2b33a6b6；（2）m4n8；82例 3计算下列各式：（1）35 125 5（2）4a2a a32a 0（三）综合应用学习好帮手WORD 格式整理版例 1化简：5x15x5x1.例 2化简：(x y)(x y).例 3已知x x112121414 3，求下列各式的值：（1）x x；（2）x x.12123232二、指数函数1指数函数定义：一般地，函数y a（a 0且a 1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是Rx2指数函数y a在底数a 1及0 a 1这两种情况下的图象和性质：xa 10 a 1图象性质（1）定义域：R（2）值域：(0,)（3）过点(0,1)，即x 0时y 1（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数例 1求下列函数的定义域、值域：（1）y 812x1（2）y 1()x（3）y 312 x学习好帮手WORD 格式整理版ax1例 2当a 1时，证明函数y x是奇函数。a 1例 3设a是实数，f(x)a2(xR)，x2 1（1）试证明：对于任意a,f(x)在R为增函数；（2）试确定a的值，使f(x)为奇函数。三、对数的性质1对数定义：一般地，如果a（a 0且a 1）的b次幂等于 N,就是ab N，那么数 b叫做 a 为底 N 的对数，记作logaN b，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。b即a N，logaN b指数式ab N对数式logaN ba底数对数的底数N幂真数b指数对数说明：1在指数式中幂 N 0，在对数式中，真数N 0（负数与零没有对数）2对任意a 0且a 1,都有a 1loga1 0，同样：logaa 1b3如果把a N中的b写成logaN，则有a0logaN N（对数恒等式）3介绍两种特殊的对数：常用对数：以 10 作底log10例 2（1）计算：N写成lgNlogeN写成lne自然对数：以e作底为无理数，e=2.71828，log927，学习好帮手WORD 格式整理版（2）求 x 的值：log3x （3）求底数：logx3 32；log23x 2x112x 1437，logx2584对数的运算性质：如果a 0，a 1，M 0，N 0，那么（1）loga(MN)logaM logaN；（2）logaM logaM-logaN；Nn（3）logaM nlogaM(nR)例 3计算：（1）lg1421g5换底公式：logaN lg2437；lg7 lg18；（2）lg93logmN(a 0,a 1；m 0,m 1)logmax证明：设logaN x，则a N，x两边取以m为底的对数得：logma logmN，xlogma logmN，从而得：x logmNlogmN，logaN logmalogman说明：两个较为常用的推论：（1）logablogba 1；（2）logamb 证明：（1）logablogba nnlogab（a、b 0且均不为 1）mlgb lga1；lga lgblgbnnlgbnlogab（2）logamb lgammlgam例 4计算：（1）51log0.23；（2）log43log92log2432学习好帮手WORD 格式整理版例 5已知log189 a，18 5，求log3645（用 a,b 表示）例 6设3 4 6 t 1，求证：xyzb111zx2y四、对数函数1对数函数的定义：函数y logax(a 0且a 1)叫做对数函数。2对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数y logax(a 0且a 1)的定义域为(0,)，值域为(,)（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于y x的对称图形，即可获得。同样：也分a 1与0a1两种情况归纳，以y log2x（图 1）与y log1x（图 2）为2例。xy2yx1ylog2x1（图 1）（3）对数函数性质列表：1y()x211yxylog1x2（图 2）学习好帮手WORD 格式整理版a 1图象0 a 1x 1ylogaxx 1(1,0)（1）定义域：(0,)性质（2）值域：R（3）过点(1,0)，即当x 1时，y 0(1,0)ylogax（4）在（0，+）上是增函数例 1求下列函数的定义域：2（1）y logax；（4）在(0,)上是减函数例 2比较下列各组数中两个值的大小：（1）log23.4，log28.5；（3）loga5.1，loga5.9.例 3比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（2）log3，log20.8；（3）1.1，log1.10.9，log0.70.8；例 4已知logm4 logn4，比较m，n的大小。解：logm4 logn4，0.911，log4mlog4n11当m 1，n 1时，得0，log4mlog4nlog4n log4m，m n 1当0 m 1，0 n 1时，得11 0，log4mlog4nlog4n log4m，0 n m 1当0 m 1，n 1时，得log4m 0，0 log4n，0 m 1，n 1，0 m 1 n综上所述，m，n的大小关系为m n 1或0 n m 1或0 m 1 n学习好帮手WORD 格式整理版例 5求下列函数的值域：（3）y log2a(x 4x7)（a 0且a 1）例 6判断函数f(x)log2(x21 x)的奇偶性。例 7求函数y 2log1(x23x2)的单调区间。3指数函数和对数函数单元测试一选择题1.如果loga5 logb5 0，那么 a、b 间的关系是A0 a b 1 B1 a b C0 b a 1 D1 b a2.已知0 a 1,b 1，则函数y axb的图象必定不经过A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.与函数 yx 有相同图象的一个函数是Ay x2 By alogax(a 0，且a 0)Cy x2/x Dy logxaa(a 0，且a 0)4.函数 y=|log2x|的图象是yyyyO1xO1xO1xO1xABCD5.已知函数y loga(2ax)在(1,1)上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是学习好帮手】（】【）【WORD 格式整理版A(0,2)B(1,2)C(1,2 D2,)6.已知函数f(x)log1(2 log2x)的值域是(,0)，则它的定义域是【】2Ax|x 2 Bx|0 x 2 Cx|0 x 4 Dx|2 x 47.已知函数f(x)log0.5(x2ax 3a)在区间2,)是减函数，则实数 a 的取值范围是【】A(,4 B4,)C(4,4 D4,4x8.设3 1，则【】7B3x2C1x0D0 x1A2x19.函数f(x)lg(x23x 2)的定义域为 E，函数g(x)lg(x1)lg(x2)的定义域为 F，则【】AE F BE F CE F DE F11.已知log12b log1a log1c，则 ()22A2b 2a 2cB2a 2b 2c C2c 2b 2a D2c 2a 2b3x2lg(3x1)的定义域是12.函数f(x)（）1 x11 111(,1)(,)A.(,)B.C.D.(,)33 333二填空题11103213.计算：()4(2)()924114.y log1(3x2)的定义域是_。215.方程log3(2x 1)1的解x _。16.若函数f(x)ax(a 0,且a 1)的的图像过点(1,2)，则a _.三 解答题17.求下列函数的定义域和值域学习好帮手WORD 格式整理版（1）f(x)log1(4x x2)（2）f(x)322x1x118.求下列函数的单调区间（1）19.已知函数114xx2f(x)()（2）f(x)log32x2f(x)loga(ax1)(0 a 1)（1）求f(x)的定义域；（2）讨论f(x)的单调性。323220已知x12 x12x x23,求1的值x x3学习好帮手