北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案.pdf

北京邮电大学北京邮电大学 2012201220132013 学年第学年第 1 1 学期学期概率论与随机过程期末考试试题答案概率论与随机过程期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的题纸上写上你的班号班号和选课单上的和选课单上的学号学号，班内序号班内序号!一一.单项选择题和填空题：单项选择题和填空题：（每空（每空 3 3 分，共分，共 3030 分）分）1.设A是定义在非空集合上的集代数,则下面正确的是.A（A）若AA,BA,则ABA;（B）若AA,BA,则BA;（C）若AnA,n1,2,则n1AnA;（D）若AnA,n1,2,且A1 A2 A3,则n1AnA.2.设,F为一可测空间，P为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是.c（A）若AF,BF,则P(A B)P(A)P(B)；（B）若AnF,n1,2,且A1 A2 A3，则P(n1An)limP(An)；n（C）若AF,BF,CF,，则P(ABC)P(A)P(AB)P(A BC)；（D）若AnF,n1,2,且AiAj,i j，P(n1An)P(An).n13.设f为从概率空间,F,P到 Borel 可测空间R,B上的实可测函数，表达式为f()kIAk，其中AiAj,i j,k0100100n0An，则fdP；1若已知P(Ak)100100!1，则f2dP.100k!(100k)!22kP(A),2550kk0 25254.设二维随机变量(X,Y)的概率密度2,0 x 1,0 y x,f(x,y)0,其他，则EEX|Y=.2/35.设随机过程X(t)X cost,t ，其中随机变量X服从参数为1的指数分布，(0,/2)为常数，则（1）X(1)的概率密度f(x;1)；（2）E(2X(t)dt).0 x1cos1e,x 0,E(2X(t)dt)f(x;1)cos00,其他，16.设W(t),t 0是参数为2(0)的维纳过程，令X(t)W()，则相关t函数RX(1,2)22.7.设齐次马氏链的状态空间为E 1,2,3,一步转移概率为0.50.50 P 0.50.500.20.30.5则（1）lim pn(n)11(n).1/2,2；（2）p33n0二二.概率题（共概率题（共 3030 分）分）1.(10 分)设(X,Y)的概率密度为2f(x,y)12e222x1x222,令U X2Y2,V Y,（1）求(U,V)的概率密度g(u,v)；（2）求U的边缘概率密度gU(u).u x2 y2,x u2v2,解解.（1）解方程得|v|u,y v,v y,所以雅可比行列式 J u2 u2v20u,2 u2v2 222 u v1v故u1u22e,|v|u,222g(u,v)f(x,y)|J|2u v0,其他.5 分（2）对u 0，gU(u)g(u,v)dv uu121e2u22uu v22dvuu2e2u22uuu v22dv u2e222,uu22,u 0,2e故 gU(u)20,其他.10 分2.（10 分）设(U,V)的概率密度eu,uv 0,v 0,g(u,v)其他，0,1,V 1，（1）求E(IV 1|U 10)，其中IV1()（2）D(V|U).其他，0,3解U的边缘概率密度为uuuu0e dv,u 0,ue,u 0,gU(u)g(u,v)dv 0其他,其他,0,0,所以条件概率密度1g(u,v),0 v u,gV|U(v|u)ugU(u)其他.0,（1）1014 分E(IV 1|U 10)P(V 1|U 10)gV|U(v|u 10)dv 11dv.11027 分10u2U2（2）因为D(V|U u)，所以D(V|U)。121210 分3.（10 分）设X1,X2,Xn独立同分布，均服从两点分布，即 Xn，（1）求 Y 的PX1 0 p,PX11=1-p,(0 p 1)，令Y X1 X2特征函数；（2）求E(Y3).解:（1）因为 Y 服从二项分布B(n,q)，所以 Y 的特征函数(t)(p qeit)n5 分（2）E(Y3)E(X1 X2EX 3ii1n Xn)ni,j1,j inE(X Xj)2ii,j,k1,互不相等nE(XiXjXk)10 分 nq n(n1)q2n(n1)(n2)q34三三.随机过程题（共随机过程题（共 4040 分）分）1.（10 分）设X1(t)(t 0)是参数为(0)的泊松过程，即满足：(1)X1(0)0;(2)X1(t)为独立增量过程；(t)ket,k 0,1,(3)对s,t 0,有PX(st)X(s)kk!.X2(t)(t 0)也是参数为(0)的泊松过程，且与X1(t)独立，令Y(t)X1(t)X2(t)，（1）求Y(t)和RY(s,t)；（2）求PY(1)1.解：因为Y(t)X1(t)X2(t)是参数为2的泊松过程，所以（）Y(t)2,RY(s,t)2mins,t 42st（）PY(1)1 2e25 分10 分2.（10 分）设X(t),t 是平稳过程，f()是其谱密度函数，（1）证明：对于任意的h 0，Y(t)X(t h)X(t)是平稳过程；（2）求Y(t)的谱密度.解（1）EY(t)EX(t h)X(t)0,EY(t)Y(t)EX(t h)X(t)X(t h)X(t)2RX()RX(h)RX(h)与t无关，则Y(t)X(t h)X(t)是平稳过程。5 分（2）f()12ei2RX()RX(h)RX(h)d 2 f()eihf()eihf()2 f()(1cosh).510 分3.（10 分）设齐次马氏链Xn,n 0的状态空间为E 0,1,2，一步转移概率矩阵为1/21/41/4，1/201/2P 1/21/20 1初始分布为PX0 0 PX01 PX0 2,求3(1)PX11,X21,X4 2和PX11,X21,X4 2|X0=0;(2)X2的分布律.1/21/41/41/23/81/8解(1)P21/21/83/8(1)(2)PX11,X21,X4 2PX0 ipi(1)1p11p12 0iPX11,X21,X4 2|X0=0 p01p11p12(2)0分1/21/41/41 1 1 12(2)p(2)p(0)P,1/23/81/8,23 3 31/21/83/81,4110 分44.（10 分）齐次马氏链Xn,n 0的状态空间为1,2,3,，一步转移概率矩阵为6 1201 200P 00 000120014000012012014000001201140000000014000000000130000000023130000000023130000000023130000000023确定该链的空间分解，状态分类，各状态的周期，并求平稳分布.解解.（1）链可分,1，34是不可分闭集,状态空间E 1,432,5,6,7,2 分（2）周期d(i)1,i 1,2,.4 分（3）设平稳分布为(1,2,),则P,i1ii1,i 1,2,解之得(p,0,q,p,0,0,),其中p 0,q 0,2 pq 1.（4）所以 1,3,4 正返态,其余都不是常返态，又因为f227 分1111,f441,fii1,i 6,7,，所以2,4,6,7,都为非常返态。243710 分