高中数学人教版(A版)必修-第二册(2019)-【学案】神奇的极化恒等式-公开课.pdf

1神奇的极化恒等式神奇的极化恒等式公式推导公式推导222222222142abaabbababababaabb在ABC中，D是边BC的中点，则22ABACADDB .如图，由222222111222ABACABACABACADCBADDB 得证.类比初中的“完全平方和”与“完全平方差公式”。几何意义几何意义向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14。他的作用他的作用极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”，因此，当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化.常见的解决的题型常见的解决的题型有中点或能构造中点的积的向量题。与课本的渊源与课本的渊源2（1）必修四课本上有：在ABC中，11,22ADABACBDACAB 是课本上出现的 2 个重要的向量三角关系，而极化恒等式无非是这两个公式的逆用，说明极化恒等式源与教材；（2）向量是连接代数与几何的桥梁，由于向量的坐标运算引入，向量与代数的互换已经深入人心，而与几何的运算练习略显单薄，而极化恒等式恰恰弥补了这个缺憾，可以说极化恒等式是把向量的数量积问题用形象的几何图形展示的淋漓尽致。【例 1】已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，8AB，6CD，则MA MB 的取值范围是【例 2】(2016 江苏，13)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4BC CA ，1BF CF ，则BE CE 的值是_.【例3】（盐城市2017届高三上学期期中17）如图，在四边形ABCD中，4AC，12BA BC ，E为AC的中点.（1）若12cos13ABC，求ABC的面积ABCS；（2）若2BEED ，求DA DC 的值.3【例 4】如图，在ABC中，已知4,6,60ABACBAC，点,D E分别在边,AB AC上，且2,3ABAD ACAE ，若F为DE的中点，则BF DE 的值为_.【例 5】（2019 苏州）如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，60BCD，2 3CBCD.若点M为边BC上的动点，则AMDMuuur uuuu r的最小值为【例 6】（2017 南京、盐城一模）在ABC中，已知3AB，3C，则CA CB 的最大值为.4【例 7】（2017 全国 III 卷理科，12 题）已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PAPBPC 的最小值是（）.2A 3.2B 4.3C.1D【例 8】如图，在平面四边形ABCD中，2ACAD，120DAC，90ABC，则BD BC 的最大值为.【例 9】(2016 南通密卷)11如图，已知点O为ABC的重心，OAOB，AB6，则AC BC 的值为5【例 10】(2017 南通二模)如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且3OA，5OC 若7AB AD ，则BC DC 的值是【例 11】如图放置的边长为 1 的正方形ABCD，顶点,A D分别在x轴，y轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC 的最大值为_.【例 12】（2012 南京模拟）在ABC中，点,E F分别是线段,AB AC的中点，点P在直线EF上，若ABC的面积为 2，则2PB PCBC 的最小值是_.BCDO(第 11 题)A6【例 13】(2015 南通三调)如图，已知正方形ABCD的边长为 2，E为AB的中点，以A为圆心，AE为半径，作圆交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则PC PD 的最小值是_.