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专项练习--磁场的最小面积求解

25题练习（3）--磁场的最小面积
1.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B1，E的大小为1.5×103 V/m，B1大小为0.5 T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面的匀强磁场，磁场的下边界与x轴重合。一质量m＝1×10－14 kg，电荷量q＝2×10－10 C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点射入，沿直线运动，经P点后即进入处于第一象限内的磁场B2区域。一段时间后，微粒经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。M点的坐标为(0，－10)，N点的坐标为(0,30)，不计微粒重力，g取10 m/s2。则求：
(1)微粒运动速度v的大小；
(2)匀强磁场B2的大小；
(3)B2磁场区域的最小面积。

解析：(1)带正电微粒在电场和磁场复合场中沿直线运动，qE＝qvB1，解得v＝E/B1＝3×103 m/s。
(2)画出微粒的运动轨迹如图，粒子做圆周运动的半径为R＝ m。
由qvB2＝mv2/R，解得B2＝3/4 T。
(3)由图可知，磁场B2的最小区域应该分布在图示的矩形PACD内，由几何关系易得PD＝2Rsin 60°＝20 cm＝0.2 m，PA＝R(1－cos 60°)＝/30 m。
所以，所求磁场的最小面积为S＝PD·PA＝ m2。
答案：(1)3×103 m/s　(2) T (3) m2

2．如图甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xoy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆形区域内加有与xoy平面垂直的匀强磁场。在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q（）和初速为的带电粒子。已知重力加速度大小为g。
（1）当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x轴正方向运动。求电场强度和磁场强度的大小和方向。
（2）调节坐标原点0处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面内不断地以相同的速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限，如图乙所示。现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度和方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域？并求出符合条件的磁场区域的最小面积。
解（1）由题目中“带电粒子从坐标原点O处沿y轴正方向进入磁场后，最终沿圆形磁场区
域的水平直径离开磁场并继续沿x轴正方向运动”可知，带电微粒所受重力与电场力平衡。设电场强度大小为E，由平衡条件得：
1分 N ∴ 1分
电场方向沿轴正方向
带电微粒进入磁场后，做匀速圆周运动，且圆运动半径r=R。
设匀强磁场的磁感应强度大小为B。由牛顿第二定律得：
1分 ∴ 1分
磁场方向垂直于纸面向外 1分
（2）设由带电微粒发射装置射入第Ⅰ象限的带电微粒的初速度方向与轴承夹角，
则满足0≤，由于带电微粒最终将沿轴正方向运动，
故B应垂直于平面向外，带电微粒在磁场内做半径为匀速圆周运动。
由于带电微粒的入射方向不同，若磁场充满纸面，
它们所对应的运动的轨迹如图所示。 2分
为使这些带电微粒经磁场偏转后沿轴正方向运动。
由图可知，它们必须从经O点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场。
这样磁场边界上P点的坐标P（x，y）应满足方程：
，
，
所以磁场边界的方程为：
2分
由题中0≤的条件可知，
以的角度射入磁场区域的微粒的运动轨迹

即为所求磁场的另一侧的边界。 2分
因此，符合题目要求的最小磁场的范围应是圆
与圆的
交集部分（图中阴影部分）。 1分
由几何关系，可以求得符合条件的磁场的最小面积为：
1分

3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向内的有界圆形匀强磁场区域（图中未画出）；在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场．一粒子源固定在x轴上的A点，A点坐标为（-L，0）．粒子源沿y轴正方向释放出速度大小为v的电子，电子恰好能通过y轴上的C点，C点坐标为（0，2L），电子经过磁场偏转后方向恰好垂直ON，ON是与x轴正方向成15°角的射线．（电子的质量为m，电荷量为e，不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用．）求：
（1）第二象限内电场强度E的大小．
（2）电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ．
（3）圆形磁场的最小半径Rmin．

解：（1）                              
（2）=45° 
（3）电子的运动轨迹如图，电子在磁场中做匀速圆周运动的半径

电子在磁场中偏转120°后垂直于ON射出，则磁场最小半径：
      由以上两式可得：                         

4.（黑龙江适应性测试)在如右图所示的平面直角坐标系中，存在一个半径R＝0.2m的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B＝1.0T，方向垂直纸面向外，该磁场区域的右边缘与坐标原点O相切．y轴右侧存在电场强度大小为E＝1.0×104N/C的匀强电场，方向沿y轴正方向，电场区域宽度l＝0.1m．现从坐标为(－0.2m，－0.2m)的P点发射出质量m＝2.0×10－9kg、带电荷量q＝5.0×10－5C的带正电粒子，沿y轴正方向射入匀强磁场，速度大小v0＝5.0×103m/s.重力不计．
(1)求该带电粒子射出电场时的位置坐标；
(2)为了使该带电粒子能从坐标为(0.1m，－0.05m)的点回到电场后，可在紧邻电场的右侧一正方形区域内加匀强磁场，试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和正方形区域的最小面积．

解析：　(1)带正电粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝m
解得r＝0.20m＝R
根据几何关系可知，带电粒子恰从O点沿x轴进入电场，带电粒子做类平抛运动．设粒子到达电场边缘时，竖直方向的位移为y，有l＝v0t，y＝·t2
联立解得y＝0.05m
所以粒子射出电场时的位置坐标为(0.1m,0.05m)．
(2)粒子飞离电场时，沿电场方向速度
vy＝at＝5.0×103m/s＝v0
粒子射出电场时速度v＝v0
由几何关系可知，粒子在正方形区域磁场中做圆周运动半径
r′＝0.05m
由qvB′＝m，解得B′＝4T
正方形区域最小面积S＝(2r′)2
解得S＝0.02m2.
答案：　(1)(0.1m,0.05m)　(2)0.02m2
5.如图所示，在坐标系第一象限内有正交的匀强电、磁场，电场强度E＝1.0×103 V/m，方向未知，磁感应强度B＝1.0 T，方向垂直纸面向里；第二象限的某个圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B′(图中未画出)．一质量m＝1×10－14 kg、电荷量q＝1×10－10 C的带正电粒子以某一速度v沿与x轴负方向成60°角的方向从A点进入第一象限，在第一象限内做直线运动，而后从B点进入磁场B′区域．一段时间后，粒子经过x轴上的C点并与x轴负方向成60°角飞出．已知A点坐标为(10,0)，C点坐标为(－30,0)，不计粒子重力．
(1)判断匀强电场E的方向并求出粒子的速度v.
(2)画出粒子在第二象限的运动轨迹，并求出磁感应强度B′.
(3)求第二象限磁场B′区域的最小面积．

解析　(1)粒子在第一象限内做直线运动，速度的变化会引起洛伦兹力的变化，所以粒子必做匀速直线运动．这样，电场力和洛伦兹力大小相等，方向相反，电场E的方向与微粒运动的方向垂直，即与x轴正向成30°角斜向右上方．
由平衡条件有Eq＝Bqv
得v＝＝ m/s＝103 m/s
(2)粒子从B点进入第二象限的磁场B′中，轨迹如图
粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系可知
R＝ cm＝ cm
由qvB′＝m，解得B′＝＝，代入数据解得B′＝ T.
(3)由图可知，B、D点应分别是粒子进入磁场和离开磁场的点，磁场B′的最小区域应该分布在以BD为直径的圆内．由几何关系得BD＝20 cm，即磁场圆的最小半径r＝10 cm，所以，所求磁场的最小面积为S＝πr2＝3.14×10－2 m2
答案　(1)与x轴正向成30°角斜向右上方　103 m/s　(2)运动轨迹见解析图　 T
(3)3.14×10－2 m2
6．如图甲所示，在xOy平面内有足够大的匀强电场，电场方向竖直向上，电场强度E＝40 N/C，在y轴左侧平面内有足够大的瞬时磁场，磁感应强度B1随时间t变化的规律如图乙所示，15π s后磁场消失，选定磁场垂直纸面向里为正方向．在y轴右侧平面内还有方向垂直纸面向外的恒定的匀强磁场，分布在一个半径为r＝0.3 m的圆形区域(图中未画出)，且圆的左侧与y轴相切，磁感应强度B2＝0.8 T．t＝0时刻，一质量m＝8×10－4 kg、电荷量q＝2×10－4 C的微粒从x轴上xP＝－0.8 m处的P点以速度v＝0.12 m/s向x轴正方向入射．(g取10 m/s2，计算结果保留两位有效数字)
(1)求微粒在第二象限运动过程中离y轴、x轴的最大距离．
(2)若微粒穿过y轴右侧圆形磁场时，速度方向的偏转角度
最大，求此圆形磁场的圆心坐标(xy)．　　　　　　　　　
解析　(1)因为微粒射入电磁场后受到的电场力
F电＝Eq＝8×10－3 N，G＝mg＝8×10－3 N
F电＝G，所以微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动
因为qvB1＝m 所以R1＝＝0.6 m
T＝＝10π s
从图乙可知在0～5 π s内微粒向左做匀速圆周运动
在5π s～10π s内微粒向左匀速运动，运动位移
x1＝v＝0.6π m
在10π s～15π s内，微粒又做匀速圆周运动，15π s以后向右匀速运动，之后穿过y轴．所以，离y轴的最大距离
s＝0.8 m＋x1＋R1＝1.4 m＋0.6π m≈3.3 m
离x轴的最大距离s′＝2R1×2＝4R1＝2.4 m
(2)如图，微粒穿过圆形磁场要求偏转角最大，（因为R=2r）入射点A与出射点B的连线必须为磁场圆的直径
因为qvB2＝
所以R2＝＝0.6 m＝2r
所以最大偏转角θ＝60°
所以圆心坐标x＝0.30 m
y＝s′－rcos 60°＝2.4 m－0.3 m×≈2.3 m，
即磁场的圆心坐标为(0.30,2.3)
答案　(1)3.3 m,2.4 m　(2)(0.30,2.3)
7.如图所示，虚线MO与水平线PQ相较于O点，二者夹角θ=300，在MO右侧某个区域存在着磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场，在MO左侧存在着垂直纸面向里的另一匀强磁场，磁感应强度为B’。现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v（0≤v≤ ）垂直于MO从O点射入磁场，所有粒子通过直线MO时，速度方向均平行于PQ向左，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．求：
（1）磁场区域的最小面积．
（2）速度最大的粒子从O开始射入磁场至返回水平线POQ所用的时间．