勾股定理专题复习及题型讲解.doc

勾股定理复习一、要点精练(一)勾股定理1、(填空题)已知在RtABC中,C=90。若a=3,b=4,则c=_;若a=40,b=9,则c=_;若a=6,c=10,则b=_; 若c=25,b=15,则a=_。2、(填空题)已知在RtABC中,C=90,AB=10。若A=30,则BC=_,AC=_;若A=45,则BC=_,AC=_。3、 下列各组数分别为一个三角形三边得长,其中能构成直角三角形得一组就是( )(A) (B) (C) (D)4、直角三角形得面积为,斜边上得中线长为,则这个三角形周长为( )(A) (B) (C) (D)解:设两直角边分别为,斜边为,则,、 由勾股定理,得、 所以、 所以、所以、故选(C)5、直角三角形得三边就是,并且都就是正整数,则三角形其中一边得长可能就是( )(A)61 (B)71 (C)81 (D)91解:因为、根据题意,有、 整理,得、所以、 所以、 即该直角三角形得三边长就是、 因为只有81就是3得倍数、故选(C)6、在中,则边得长为_、7、直角三角形得三边就是,并且都就是正整数,则三角形其中一边得长可能就是( )(A)61 (B)71 (C)81 (D)91(二)勾股定理得验证及其验证过程得相关应用1、下图甲就是任意一个直角三角形ABC,它得两条直角边得边长分别为a、b,斜边长为c、如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等得三角形,放在边长为a+b得正方形内、图乙与图丙中(1)(2)(3)就是否为正方形？为什么？图中(1)(2)(3)得面积分别就是多少？图中(1)(2)得面积之与就是多少？图中(1)(2)得面积之与与正方形(3)得面积有什么关系？为什么？由此您能得到关于直角三角形三边长得关系吗？参考答案图乙、图丙中(1)(2)(3)都就是正方形、易得(1)就是以a为边长得正方形,(2)就是以b为边长得正方形,(3)得四条边长都就是c,且每个角都就是直角,所以(3)就是以c为边长得正方形、图中(1)得面积为a2,(2)得面积为b2,(3)得面积为c2、图中(1)(2)面积之与为a2+b2、图中(1)(2)面积之与等于(3)得面积、因为图乙、图丙都就是以a+b为边长得正方形,它们面积相等,(1)(2)得面积之与与(3)得面积都等于(a+b)2减去四个RtABC得面积、由此可得:任意直角三角形两直角边得平方与等于斜边得平方,即勾股定理、2、(1)请您动动脑筋,能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？(2)请您观察下列图形,直角三角形ABC得两条直角边得长分别为AC=7,BC=4,请您研究这个直角三角形得斜边AB得长得平方就是否等于42+72？参考答案(1)边长得平方即以此边长为边得正方形得面积,故可通过面积验证、分别以这个直角三角形得三边为边向外做正方形,如右图:AC=4,BC=3,S正方形ABED=S正方形FCGH4SRtABC=(3+4)2434=7224=25即AB2=25,又AC=4,BC=3,AC2+BC2=42+32=25AB2=AC2+BC2(2)如图(图见题干中图)S正方形ABED=S正方形KLCJ4SRtABC=(4+7)2447=12156=65=42+723、如图2,以三角形得三边为直径分别向三角形外侧作半圆,其中两个半圆得面积与等于另一个半圆得面积,则此三角形得形状为_、解:根据题意,有,即 、整理,得、故此三角形为直角三角形、4、如图4,已知中,以得各边为边在外作三个正方形,分别表示这三个正方形得面积,则解:由勾股定理,知,即,所以.图55.如图5,已知,中,从直角三角形两个锐角顶点所引得中线得长,则斜边之长为_、解: 、就是中线,设,由已知, 所以两式相加,得,所以(三)勾股定理得应用1、在一个直角三角形中,若斜边得长就是,一条直角边得长为,那么这个直角三角形得面积就是( )(A) (B) (C) (D)解:由勾股定理知,另一条直角边得长为,所以这个直角三角形得面积为、2、如图1,一架2、5米长得梯子,斜靠在一竖直得墙上,这时梯足到墙底端得距离为0、7米,如果梯子得顶端下滑0、4米,则梯足将向外移( )(A)0、6米 (B)0、7米 (C)0、8米 (D)0、9米解:依题设、在中,由勾股定理,得图1 由,得、 在中, 由勾股定理,得 所以 故选(C)3、如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树得树梢飞到另一棵树得树梢,则它至少要飞行_米、解:由勾股定理,知最短距离为、4、(四)直角三角形得判别1、下列各组数中以a,b,c为边得三角形不就是Rt得就是 A、a=2,b=3,c=4 B、a=7,b=24,c=25C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=52、如果一个三角形得一条边就是另一边得2倍,并且有一个角就是,那么这个三角形得形状就是( ) A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定3、4、如图,在等腰直角得斜边上取异于得两点,使求证:以为边得三角形就是直角三角形。略(提示:分别以AE,AF为轴,将内部翻转) 5、如果一个三角形得三边长分别为 ,则这三角形就是直角三角形分析: 验证 三边就是否符合勾股定量得逆定理证明: C 6、已知:如图,四边形ABCD中,B ,AB3,BC4,CD12,AD13求四边形ABCD得面积分析:我们不知道这个四边形就是否为特殊得四边形,所以将四边形分割为两个三角形,只要求出这两个三角形得面积,四边形得面积就等于这两个三角形得面积与.(五)利用勾股定理求最短路线1、 如图,有一个高1、5米,半径就是1米得圆柱形油桶,在靠近边得地方有一小孔,从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外得部分就是0、5米,问这根铁棒最长应有多长？ 图12、在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣得问题,这个问题得意思就是:有一个水池,水面就是一个边长为10尺得正方形.在水池正中央有一根新生得芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它得顶端恰好到达岸边得水面.请问这个水池得深度与这根芦苇得长度各为多少？勾股定理中得常见题型例析勾股定理就是几何计算中运用最多得一个知识点.考查得主要方式就是将其综合到几何应用得解答题中,常见得题型有以下几种:一、探究开放题例1如图1,设四边形ABCD就是边长为1得正方形,以正方形ABCD得对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以第二个正方形得对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去.(1)记正方形ABCD得边长为1,依上述方法所作得正方形得边长依次为,求出,得值.(2)根据以上规律写出第n个正方形得边长得表达式.分析:依次运用勾股定理求出a2,a3,a4,再观察、归纳出一般规律.解:(1)四边形ABCD为正方形,AB=BC=CD=AD=1.由勾股定理,得AC,同理,AE=2,EH= .即 a2= ,a3=2,a4= .(2) , , , , .点拨:探究开放题形式新颖、思考方向不确定,因此综合性与逻辑性较强,它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面得能力,对提高同学们得思维品质与解决问题得能力具有十分重要得作用.二、动手操作题例2如图2,图()就是用硬纸板做成得两个全等得直角三角形,两条直角边长分别为a与b,斜边长为c.图()就是以c为直角边得等腰直角三角形.请您开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理得图形.()画出拼成得这个图形得示意图,写出它就是什么图形;()用这个图形证明勾股定理;()假设图()中得直角三角形有苦干个,您能运用图()所给得直角三角形拼出另一种能证明勾股定理得图形吗？请画出拼后得示意图(无需证明).解:(1)所拼图形图3所示,它就是一个直角梯形.(2)由于这个梯形得两底分别为a、b,腰为(a+b),所以梯形得面积为.又因为这个梯形得面积等于三个直角三角形得面积与,所以梯形得面积又可表示为:. .(3)所拼图形如图4.点拨:动手操作题内容丰富,解法灵活,有利于考查解题者得动手能力与创新设计得才能。本题通过巧妙构图,然后运用面积之间得关系来验证勾股定理。三、阅读理解题例3 已知a,b,c为ABC得三边且满足a2c2b2c2=a4b4,试判断ABC得形状.小明同学就是这样解答得.解:a2c2b2c2=a4b4, . 订正: ABC就是直角三角形 . 横线与问号就是老师给她得批注,老师还写了如下评语:“您得解题思路很清晰,但解题过程中出现了错误,相信您再思考一下,一定能写出完整得解题过程.”请您帮助小明订正此题,好吗？ 分析:这类阅读题在展现问题全貌得同时,在关键处留下疑问点,让同学们认真思考,以补充欠缺得部分,这相当于提示了整体思路,而让学生在整体理解得基础上给予具体得补缺.因此,本题可作如下订正:解:a2c2b2c2=a4b4, . ,或.或. ABC就是等腰三角形或直角三角形 .点拨:阅读理解题它与高考中兴起得信息迁移题有异曲同工之巧.解决得关键就是抓住疑问点,补全漏洞.四、方案设计题例4给您一根长为30cm得木棒,现要您截成三段,做一个直角三角形,怎样截取(允许有余料)？请您设计三种方案.分析:构造直角三角形,可根据勾股定理得逆定理来解决.解:方案一:分别截取3cm,4cm,5cm;方案二:分别截取6cm,8cm,10cm;方案三:分别截取5cm,12cm,13cm.点拨:本题首先依据勾股定理得逆定理进行分析,设计出方案,然后再通过测量、截取、加工等活动方能完成.既要思考,又要动手.让学生在这个过程中,体会做数学得快乐.五、折叠题1、矩形纸片中,厘米,厘米,现将重合,使纸片折叠压平,设折痕为,重叠部分AEF得面积六、实际应用题C1、为了丰富少年儿童得业余生活,某社区要在如图所示AB所在得直线建一图书室,本社区有两所学校所在得位置在点C与点D处,CAAB于A,DBAB于B,已知AB = 25km,CA = 15 km,DB = 10km,试问:图书室E应该建在距点A多少km处,才能使它到两所学校得距离相等?(8分)七、极具“热点”得动态探究题1、如图,一架长4米得梯子AB斜靠在与地面OM垂直得墙壁ON上,梯子与地面得倾斜角为.求AO与BO得长;若梯子顶端A沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行、 如图2,设A点下滑到C点,B点向右滑行到D点,并且AC:BD=2:3,试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米?中考题型分析1、(2011四川凉山州,15,4分)把命题“如果直角三角形得两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么”得逆命题改写成“如果,那么”得形式: 。【答案】如果三角形三边长a,b,c,满足,那么这个三角形就是直角三角形2、 (2011四川广安,28,10分)某园艺公司对一块直角三角形得花圃进行改造.测得两直角边长为6m、8m、现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分就是以8m为直角边得直角三角形.求扩建后得等腰三角形花圃得周长.3、 (2011贵州贵阳,7,3分)如图,ABC中,C=90,AC=3,B=30,点P就是BC边上得动点,则AP长不可能就是 (A)3、5 (B)4、2 (C)5、8 (D)7 【答案】D4、(2011河北,9,3分)如图3,在ABC中,C=90,BC=6,D,E分别在AB,AC上,将ABC沿DE折叠,使点A落在点A处,若A为CE得中点,则折痕DE得长为( )A. B.2 C.3 D.4