曲面曲率计算方法的比较与分析.doc

研究生专业课程报告 题目： 曲面曲率直接计算方法得比较 学 院： 信息学院 课程名称： 三维可视化技术 任课教师： 刘晓宁 姓 名： 朱丽品 学 号： 201520973 西北大学研究生处制 曲面曲率直接计算方法得比较 1、 摘 要 曲面曲率得计算就是图形学得一个重要内容，一般来说，曲面得一阶微分量就是指曲面得切平面方向与法向量，二阶微分量就是指曲面得曲率等有关量、它们作为重要得曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉与计算机辅助设计等领域发挥了重要得作用、此文对曲面上主曲率得2种直接估算方法（网格直接计算法与点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统得总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面得应用。关键词 曲面曲率、主曲率、点云、三角网格 2、引 言 传统得曲面就是连续形式得参数曲面与隐式曲面, 其微分量得计算已经有了较完备得方法、随着激光测距扫描等三维数据采样技术与硬件设备得长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型得需求日益迫切, 离散形式得曲面细分曲面、网格曲面与点云曲面正在逐渐成为计算机图形学与几何设计领域得新宠、于就是, 对这种离散形式得曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫得课题。 CT扫描技术获得得原始点云与网格数据通常只包含物体表面得空间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确得几何信息，而在点云与网格得简化、建模、去噪、特征提取等数据处理与模式识别中，常需要提前获知各点得几何信息，如点得曲率、法向量等，也正基于此，点云与网格得几何信息提取算法一直就是研究得热点。点得法向量与曲率通常采用离散曲面得微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格与点集两种形式，其法向量与曲率计算也分为两类: 一类就是基于网格得法向量与曲率计算，另一类就是基于散点得法向量与曲率计算。由于基于三角网得点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点得点云几何信息计算方法，该类方法主要就是通过直接计算法与最小二乘拟合算法获取点云得局部n 次曲面，然后根据曲面得第一基本形式与第二基本形式求解高斯曲率与平均曲率，而点云得局部曲面表示有两种: 一就是基于法向距离得局部曲面表示，二就是基于欧几里德距离得局部曲面表示。 本节中针对近几年来国际上提出得对三角网格曲面估算离散曲率得直接估算法， 从数学思想与表达形式等方面进行系统得归纳与总结、3、三角网格曲面得曲率得计算及代码实现 为了叙述清楚起见, 引入统一得记号、k 1与k 2表示主曲率,曲面得主曲率即过曲面上某个点具有无穷个曲线，也就存在无穷个曲率（法曲率），其中存在一条曲线使得该曲线得曲率为极大，这个曲率为极大值k 1，垂直于极大曲率面得曲率为极小值k 2。这两个曲率得属性为主曲率。它们代表着法曲率得极值。主曲率就是法曲率得最大值与最小值。H 表示平均曲率,就是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直得正交曲率得平均值。如果一组相互垂直得正交曲率可表示为K 1、K 2，那么平均曲率则为：H= (K 1 +K 2 ) / 2。K 表示曲面得高斯曲率, 两个主曲率得乘积即为高斯曲率，又称总曲率，反映某点上总得完全程度。K=k 1*k 2。 N fk表示法曲率, n 表示法向量、考虑三角网格得顶点V i。 （1）曲面三角网格得表示形式给一个三维曲面，如下图所示，如果用文本形式将其打开，则就是由两部分组成，第一部分以v开头就是三维得点，第二部分以f开头就是三个点组成得面三角形。（2）三角网格模型曲率计算-直接计算第一步：估计给定点得法向量 三角网格模型一般情况下可以由一对线性表表示，M=（V,F）；其中V=vi：1=i=nv表示顶点集，F=fK:1=k=nf表示三角片集。如下图所示： 各个三角片得法向量得计算，在计算以vi为公共顶点得法向量时，由于后面得计算要取其平均值，故必须保证法向量方向得一致性，在这里要用到了数学上得右手法则或者左手法则，即与vi相邻得点形成一个三维得封闭得圈，按照右手法则给其线段标注方向，如下图所示。三角面片f k 得法向量N fk 得计算公式如下：N fk=(vi-vj+1)*(vj+1-vj)/|(vi-vj+1)*(vj+1-vj)|; 我们称1-环邻域就是与点vi相邻得三角形集合。图中除顶点vi外其它顶点组成得集合记为Vi。如果顶点vj属于Vi，则vj就是vi得相邻点。Vi中顶点得个数称为其顶点得度，记为|N(i)|。包含vi得三角形片集合记为Fi。如果三角形片记fk属于Fi。记为fk Fi。记|fk|为三角形片得面积。包含点vi得三角片得面积之与记为N(vi)。离散三角网格上法向量与法曲率也有一般得定义方法，这些几何量估算得准确度对高斯曲率与平均曲率得准确度影响很大。对于离散三角网格曲面M=(V,F)，任意点vi得法向量一般可定义为1-环三角形某些几何量得加权与。最简单得加权方法为1-环三角形得法向量平均值，定义如下： 对于三角网格上任意点vi，法曲率通常使用公式 第二步：计算法曲率，得到两个主曲率K 1与K 2对于三角网格上任意点vi，法曲率通常使用公式 第三步：计算高斯曲率与平均曲率 K=K 1*K 2 H=（K 1+K 2）/2实现代码见附件4、点云曲面得曲率得计算及代码实现(1)点云简介点云(Cloud Points)就是由很多单个得点组成得集合。点就是最简单、最基本得几何定义实体。记录了模型表面离散点上得各种物理信息，例如模型表面离散点得三维位置坐标、大小、法向量、颜色、透明度、纹理特征等。用点云表示得颅骨如下图所示：（2）点云模型曲率计算-直接计算1)选取当前得点Pi(x,y,z);2)运用kd-tree查找点Pi得最近邻得m个点，够成m*3得矩阵A；3)计算协方差矩阵AA；4)求解3）中获得得协方差矩阵得特征值，；5）取，中得最小特征值；6）计算得曲率：/(+);实现代码见附件5、 曲面曲率得应用（1）基于曲率得点采样曲面简化对于从原始得几何形体采样得到得密集点云来说,有时并不需要丰富得细节特征只需要形体得大致轮廓,或者为了避免对利用采样得到得密集点云进行曲面重建后再简化。这时为了有利于绘制, 方便后续处理就有必要对点采样曲面进行简化。关于点采样曲面得简化,Pauly 等【4】 提出了几种有效得方法, 主要就是将原来网格曲面成熟得简化算法推广到点采样曲面。从微分几何得角度来瞧, 原始曲面曲率较高得区域, 应该用较多得采样点表示, 相反则用相对较少得采样点表示。曲率就是反映曲面得基本特性, 因此常用作简化得阈值准则之一。一般基于曲率得简化就是这样得:设一个阈值, 小于阈值得简化掉, 反之则给予保留;反复重复该过程直至简化之后得点个数满足要求为止, 或者当没有小于阈值得采样点了。然而这种做法一个明显不足得就是, 简化可能一直在某个曲相差微小得区域进行, 相反在需要简化得曲面区域则没有简化到。为此, 简化算法可以这样改进:首先根据曲率大小把曲率分成不同得区间段, 相当于对点采样曲面进行分割, 然后设一个曲率偏差, 最后把每个区间段内与最大曲率点相差小于偏差得采样点简化掉。这样做法得最大好处在于点采样曲面得不同曲率间段得区域都简化到。根据不同得需要,区间段得个数, 曲率偏差可以取不同得值, 甚至每个区间段得曲率偏差可以取不同。（2）特征提取特征提取在计算机视觉、图像处理、逆向工程等领域得到广泛研究。在逆向工程中, 三维几何形体得特征提取在曲面得重建、光顺去噪等都占有重要得地位。Gumhold等【5】通过Hoppe 等得主元分析, 为每个采样点加权, 接着利用最小生成图(minimum spanning graph)提出一种直接在点云曲面进行特征提出得方法;与之类似,Pauly 等 5 将图像处理中得多尺度概念引入点采样曲面,提出一种抗干扰性更强得多尺度特征提取方法。本文对点采样曲面进行特征提取采用得方法也与Gumhold 类似, 只不过算法中得曲率计算方法不一样。曲率计算在工程、医学、信息学等方面都有很多得应用，在法医学上，对于无身源颅骨与失踪人照片重叠得过程中，轮廓线得曲率就是一个重要得指标。在工程制造方面，曲率得一致性也发挥了很大得作用6、 总结本文首先给出了两种方法在点集上直接计算曲率,试验表明这两种方法都可以达到很小得误差,然后我们从准确度与效率上对这两种方法做了比较,给出了各自得适用场合、进一步得工作可以考虑曲率得一些应用、在点集得重采样与点集得简化6中,曲率可以起指导作用,比如曲率小得区域比较平坦,采样密度可以小一些、 在点集得绘制方面, A、 Ka laiah等人4提出了一种基于曲率得绘制方法,但就是她们得曲率就是通过参数曲面或者网格计算得到得,而结合我们得方法,就可以直接从点集进行绘制、本文填补了从点集模型计算曲面曲率得空白,拓展了点集模型得应用。 7、参考文献【1】邬凯，等 山区公路路基边坡地质灾害远程监测预报系统开发及应用J 岩土力学，【2】贺美芳 基于散乱点集数据得曲面重建关键技术研究D 南京航空航天大学，2006 【3】吴剑煌、点采样曲面曲率估计。【4】王奎武、基于点表示得曲面曲率计算方法。【5】Zwicker M , Pauly M, Knoll O et al、 Poin tsh op 3D: an int eractive s yst em f or point-bas ed s urf ace editing C 、 Proceedings of Sigg raph 2002, San Antoni o, TX, Jul y 2002, 322-329、【6】Paul y M, Gross M、 Eff ecient simplif icati on of point-sampl edsu rfaces C 、 IEEE Proceedings of Vi sualizati on 2002, Bos ton,M A, Oct ober 2002、