10二项式定理计数概率与统计2016-2018年历年数学联赛真题WORD版分类汇编含详细答案.pdf

2016 年2018 年全国高中数学联赛一试试题分类汇编10、计数问题、概率与统计部分2018A 3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc def是偶数的概率为答案：答案：910解析：解析：先考虑abc def为奇数时，abc，def一奇一偶，若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有66 36种；若abc为偶数，由对称性得，也有66 36种，从而abc def为奇数的概率为72119故所求为1，6!1010102018B 3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc def是奇数的概率为答案：答案：110解析：解析：由abc def为奇数时，abc，def一奇一偶，若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有66 36种；若abc为偶数，由对称性得，也有66 36种，从而abc def为奇数的概率为2017A 6、在平面直角坐标系xOy中，点集K(x,y)|x,y 1,0,1，在K中随机取出三个点，则这三个点中存在两点距离为5的概率为答案：答案：47721。6!10384种。解析：解析：由题意得K有9个点，故从中取出三个点共有C9将K中的点按右图标记为A1,A2,A8,O，其中有8对点之间的距离为5，由对称性，考虑取A1,A4两点的情况，则余下的一个点有。对每个Ai（i 1,2,8），K中恰7种取法，这样有7856个三点组（不考虑顺序）有Ai3,Ai5两点与之的距离为5（这里下标按模 8 可以理解），因而恰有Ai,Ai3,Ai5这8个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为56 8 48，进而所求的概率484为。8472017B 6、在平面直角坐标系xOy中，点集K(x,y)|x,y 1,0,1，在K中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为5答案：答案：14解析：解析：注意K中共有 9 个点，故在K中随机取出三个点的方式数为C93 84种，当取出的三点两两之间距离不超过 2 时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有 6 种情况，（2）三点是边长为1,1,2的等腰直角三角形的顶点，有44 16种情况，（3）三点是边长为2,2,2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4 个，直角顶点位于(1,0)，(0,1)的各有一个，共有 8 种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过 2 的情况数为616830，进而所求概率为305.84142016A 4、袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币，现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为9答案：答案：35解析：解析：一种取法符合要求，等价于从 A 中取走的两张纸币的总面值a小于从 B 中取走的两张纸币的总面值b，从而a b 55 10故只能从 A 中国取走两张 1 元纸币，相应的取法数为C32 3 又此时b a 2，即从 B 中取走的两张纸币不能都是 1 元纸币，相应有C72C3218种取法因此，所求的概率为2016B 5、将红、黄、蓝 3 个球随机放入 5 个不同的盒子A,B,C,D,E中，恰有两个球放318549C52C72102135在同一盒子的概率为12答案：答案：25解析：解析：样本空间中有53125个元素而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为C32P52 60.过所求的概率为p 6012.125252015A 5、在正方体中随机取3条棱，他们两两异面的概率为2答案：答案：55解析：解析：设正方体为 ABCD-EFGH，它共有 12 条棱，从中任意取出 3 条棱的方法共有3C12=220 种下面考虑使 3 条棱两两异面的取法数由于正方体的棱共确定 3 个互不平行的方向（即 AB、AD、AE 的方向），具有相同方向的 4 条棱两两共面，因此取出的 3 条棱必属于 3 个不同的方向可先取定AB 方向的棱，这有4 种取法不妨设取的棱就是AB，则 AD 方向只能取棱 EH 或棱 FG，共 2 种可能当 AD 方向取棱是 EH 或 FG 时，AE方向取棱分别只能是 CG 或 DH由上可知，3 条棱两两异面的取法数为 42=8，故所82求概率为220552015B 8、正 2015 边形A1A2 A2015内接于单位圆O，任取它的两个不同顶点Ai,Aj，则OAiOAj1的概率为6711007解析：解析：因为|OAi|OAj|1，所以答案：答案：|OAiOAj|2|OAi|2|OAj|22OAiOAj 2(1cosOAi,OAj)1故OAiOAj1的充分必要条件是cos OAi,OAj，即向量OAi,OAj的夹角不22超过对任意给定的向量OAi，满足条件OAiOAj1的向量可的取法共有：32201513426712OA OA 12 1342p 种，故的概率是：ij20152014100732015