2023年离散数学形成性考核作业.docx

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离散数学形成性考核作业4

离散数学综合练习书面作业
规定：学生提交作业有如下三种方式可供选择：
1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．
2. 在线提交word文档．
3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．

一、公式翻译题
1．请将语句“小王去上课，小李也去上课．”翻译成命题公式．
设P :小王去上课。 
Q :小李去上课。 
则命题公式P ∧Q

2．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
设P:他去旅游。 
Q:他有时间。 
则命题公式P→Q

3．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式．
设A(x):x是人 
B(x):去工作 
则谓词公式∃x(A(x) ∧ØB(x))

4．请将语句“所有人都努力学习．”翻译成谓词公式．
设A(x):x是人 
B(x):努力学习 
则谓词公式∀x(A(x) ∧B(x))

二、计算题
1．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算
（1）(A-B)； （2）(A∩B)； （3）A×B．

解:(1)A -B ={{1},{2}} 
(2) A ∩B ={1,2} 
(3)A×B={<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2}>, <1,1>,<1,2>,<1, {1,2}>,<2,1>,<2,2>,<2, {1,2}>}

2．设A={1，2，3，4，5}，R={<x，y>|xÎA，yÎA且x+y£4}，S={<x，y>|xÎA，yÎA且x+y<0}，试求R，S，R·S，S·R，R-1，S-1，r(S)，s(R)．

解: 
R={<1,1>,<1,2>,<1,3><2,1><2,2><3,1>} 
S =空集  
R•S =空集  
S•R =空集 
R-1={<1,1>,<2,1><3,1><1,2><2,2><1,3>} 
S-1=空集 
r(S)={<1,1><2,2><3,3><4,4><5,5>} 
s(R)={<1,1><1,2><1,3><2,1><2,2><3,1>}

3．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上旳整除关系，B={2, 4, 6}．
(1) 写出关系R旳表达式； (2) 画出关系R旳哈斯图；
(3) 求出集合B旳最大元、最小元．
答： (1)R={<1,1><1,2><1,3><1,4><1,5><1,6><1,7><1,8>  <2,2><2,4><2,6><2,8><3,3><3,6><4,4><4,8><5,5><6,6><7,7><8,8>} 
(2)R旳哈斯图为

(3)集合B 没有最大元,最小元是2

4．设G=<V，E>，V={ v1，v2，v3，v4，v5}，E={ (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) }，试
(1) 给出G旳图形表达； (2) 写出其邻接矩阵；
(3) 求出每个结点旳度数； (4) 画出其补图旳图形．
解：（1）
o
o
o
o
v1
o
v5
v2
v3
v4

(2) 邻接矩阵为

(3) v1结点度数为1，v2结点度数为2，v3结点度数为3，v4结点度数为2，v5结点度数为2

(4) 补图图形为

o
o
o
o
v1
o
v5
v2
v3
v4

5．图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边旳权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试
（1）画出G旳图形； （2）写出G旳邻接矩阵；
（3）求出G权最小旳生成树及其权值．

解：（1）G旳图形如下：

（2）写出G旳邻接矩阵

（3）G权最小旳生成树及其权值

6．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出对应旳最优二叉树，计算该最优二叉树旳权．
3
5
2
5
10
7
17
31
17
34
65

权为 2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=131

7． 求P®QÚR旳析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．

答：
P®QÚRØ PÚQÚR
析取范式、合取范式、主合取范式都为Ø PÚQÚR
主析取范式为（Ø P∧Ø Q∧Ø R）Ú（Ø P∧Ø Q∧ R）Ú（Ø P∧Q∧Ø R）Ú
（Ø P∧ Q∧ R）Ú（P∧Ø Q∧R）Ú（P∧Q∧Ø R）Ú（ P∧Q∧ R）

8．设谓词公式．
（1）试写出量词旳辖域；
（2）指出该公式旳自由变元和约束变元．

（1） 量词 x旳辖域为 量词 z旳辖域为Q(y,x,z)
量词 y旳辖域为R(y,z)
（2）P(x,y)中旳x是约束变元，y是自由变元
Q(y,x,z)中旳x和z是约束变元，y是自由变元 R(y,z)中旳z是自由变元，y是约束变元

9．设个体域为D={a1, a2}，求谓词公式("y)($x)P(x,y)消去量词后旳等值式；

答：

("y)($x)P(x,y) = $xP(x, a1) ∧$ xP(x, a2)
=( P(a1, a1) ÚP(a2, a1)) ∧( P(a1, a2) Ú P(a1, a2))

三、证明题
1．对任意三个集合A, B和C，试证明：若A´B = A´C，且A¹，则B = C．

答：
(1)对于任意<a,b>∈A×B,其中a∈A,b∈B,因为A×B= A×C,
必有<a,b>∈A×C,其中b ∈C因此B⊆C
(2)同理,对于任意<a,c>∈A×C,其中,a∈A,c∈C,因为A×B= A×C
必有<a,c>∈A×B,其中c∈B,因此C⊆B
有(1)(2)得B=C

2．试证明：若R与S是集合A上旳自反关系，则R∩S也是集合A上旳自反关系．

答：若R与S是集合A上旳自反关系,则任意x∈A,<x,x>∈R,<x,x>∈S,
从而<x,x>∈R∩S,注意x是A旳任意元素,因此R∩S也是集合A上旳自反关系.

3．设连通图G有k个奇数度旳结点，证明在图G中至少要添加条边才能使其成为欧拉图．

证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数旳结点必是偶数，可知k是偶数．
又根据定理4.1.1旳推论，图G是欧拉图旳充分必要条件是图G不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G旳所有结点旳度数变为偶数，成为欧拉图．
故至少要加条边到图G才能使其成为欧拉图．

4．试证明 (P®(QÚØR))ÙØPÙQ与Ø (PÚØQ)等价．

证明：
(P®(QÚØR))ÙØPÙQ(ØPÚ (QÚØR)) ÙØPÙQ
(ØPÚ QÚØR) ÙØPÙQ
(ØPÙØPÙ Q) Ú( QÙØPÙQ) Ú(ØRÙØPÙQ)
(ØPÙQ) Ú(ØPÙQ) Ú(ØPÙQÙØR)
ØPÙQ (吸取律)
Ø (PÚØQ) （摩根律）

5．试证明：Ø(A∧ØB)∧(ØB∨C)∧ØC ÞØA．

证明：Ø(A∧ØB)∧(ØB∨C)∧ØC ÞØA
(ØA∨B)∧(ØB∨C)∧ØC
(ØA∨B)∧（(ØB∧ØC)∨（C∧ØC)）
(ØA∨B)∧（(ØB∧ØC)∨0）
(ØA∨B)∧(ØB∧ØC)
（ØA∧（ØB∧ØC) ）∨（B∧（ØB∧ØC））
(ØA∧ØB∧ØC) ∨0
ØA∧ØB∧ØC
Ø （A∨B∨C）
故由左边不可推出右边 ┐A