一次函数几何应用----面积专题.doc

一次函数几何应用----面积专题

一次函数几何应用----面积专题
典例讲习
考点一：由坐标引发的面积问题：
一次函数与轴交于、轴交于，则坐标三角形面积。
例1：如图，直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．则的面积为 ．
变式：设直线和直线（是正整数）及X轴围成的三角形的面积为，求的值。
例2、（乌鲁木齐中考）如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别交x轴，y轴于点A、B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′．
（1）求直线A′B′的解析式；（2）若直线A′B′与直线l相交于点C，求△A′BC的面积．

变式（宜宾中考）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴和y轴交于A、B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′．
（1）求直线A′B′的解析式；
（2）若直线A′B′与直线AB相交于点C，求S△A´BC：S△ABO的值．

例3：一次函数与坐标轴交于A、C两点，与过A点的直线与一次函数交于点B，求

例4：已知，如图，一次函数与坐标轴分别交于A、B两点。点C为一象限内的点，且坐标为(4,2),求的面积。

变式：（厦门）当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=﹣x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上，若MC=，AM=4，求△MBC的面积．

考点二：由面积引发的坐标问题：注意分类讨论。
引例：在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，6），B（3，0），C（0，4），若点P是坐标轴上一动点，且，则点P的坐标为 。

例5、如图，已知一次函数的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴于B，连接OA．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设点P为直线上的一点，且在第一象限内，经过P作x轴的垂线，垂足为Q．若，求点P的坐标．（思考：若点P为一次函数上任意一点，求点P的坐标）

例6:（太原市竞赛）如图所示,为正三角形，点B坐标为（2,0），过点C（-2,0）作直线交AO于D，交AB于E，且使和的面积相等，求直线的解析式。

变式：（宝山区一模）如图，在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标为， 若如图过点的直线（与y轴交于点P）将多边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数表达式是 ．

例7：如图所示，直线所示，直线与轴、轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰，如果在第二象限内有一点，且的面积与的面积相等，求的值。

变式：直线与x轴，y轴分别交于A,B两点，以AB为边在AB上侧作
等边△ABC，若平面内有一点P(m，)，使得△ABP与△ABC的面积相等，求的值。

考点三：由面积引发的综合探究问题
例8、（齐齐哈尔一模）如图，在平面直角坐标系中，函数y=﹣2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y 正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的函数解析式．
（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP=S△AOM，请直接写出点P的坐标．
（3）点C在直线AM上，在坐标平面内是否存在点D，使以A、O、C、D为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

例9、（苏州模拟）如图，直线y=﹣x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．
（1）求点C的坐标；（2）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）当t＞0时，直接写出点（4，）在正方形PQMN内部时t的取值范围．

例10、如图，直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两点，设运动时间为秒（）．
（1）求两点的坐标；（2）用含的代数式表示的面积；
（3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为，
①当时，试探究与之间的函数关系式；
②在直线的运动过程中，当为何值时，为面积的

三、课后练习
1、如图，在平面直角坐标系中，有A(0，5)，B（5，0），C(0，3)，D（3，0）且AD与BC相交于点E，连接AB，则△ABE的面积是 。

2、 已知直线y＝2x+3与直线y＝-2x-1交于点C，点P是第二象限内直线BC上的动点．若△APC的面积是6，则点P的坐标为 。
3、（衢州一模）在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=kx+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（），那么点An的纵坐标是 ．
4、（苏州一模）正方形ABCD，矩形EFGH均位于第二象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中点A，E在直线OM上，点C，G在直线ON上，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣3，3），正方形ABCD的边长为1．若矩形EFGH（GF＞EF）的周长为14，面积为12，则点F的坐标为 ．

5、（2014•高港区二模）如上2、3图，平面直角坐标系中，原点为O，点A、M的坐标分别为
（0，8）、（3，4），AM的延长线交x轴于点B．点P为线段AO上的一个动点，点P从点O沿OA方向以1个单位/秒的速度向A运动，正方形PCEF边长为2（点C在y轴上，点E、F在y轴右侧）．
设运动时间为t秒．
（1）正方形PCEF的对角线PE所在直线的函数表达式为 （用含t的式子表示），若正方形PCEF的对角线PE所在直线恰好经过点M，则时间t为 秒．
（2）若正方形PCEF始终在△AOB内部运动，求t的范围．
（3）在条件（2）下，设△PEM的面积为y，求y与t的函数表达式．

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