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专题18-二次函数的图象和性质1

一、选择题
1．（2010福建福州）已知二次函数y＝Ax2＋Bx＋C的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．a＞0 B．c＜0 C．b2－4ac＜0 D．a＋b＋c＞0

(第10题)
【答案】D
2．（2010 河北）如图5，已知抛物线的对称轴为，点A，
B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为
（0，3），则点B的坐标为

O
x
y
A
图5
x = 2
B

A．（2，3） B．（3，2）
C．（3，3） D．（4，3）
【答案】D
3．（2010 山东莱芜）二次函数的图象如图所示，则一次函数的
图象不经过
x
（第9题图）
y
O

A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
4．（2010年贵州毕节）函数在同一直角坐标系内的图象大致是( )

【答案】C.
5．（2010年贵州毕节）把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x－3x＋5，则（ 　　）
A．b=3，c=7　　　　　B．b=6，c=3 C．b=9，c=5　　　D．b=9，c=21
【答案】A.
6．（2010湖北荆门）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是
A．ab＜0 B．ac＜0 C．当x＜2时，函数值随x的增大而增大；当x＞2时，函数值随x的增大而减小 D．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根。

【答案】B
7．（2010 四川成都）把抛物线向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
8．（2010山东潍坊）已知函数y1＝x2与函数y2＝－x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（ ）．

A．－＜x＜2 B．x＞2或x＜－
C．－2＜x＜ D． x＜－2或x＞
【答案】C
9．（2010湖北荆州）若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E（x，）可以由E（x，）怎样平移得到？
A．向上平移１个单位 　B．向下平移１个单位
C．向左平移１个单位 D．向右平移１个单位
【答案】D
10．（2010湖北鄂州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a、b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0，④当y=4时，x的取值只能为0．结论正确的个数有（ ） 个
A．1　　　Ｂ．2　　　Ｃ．3　　　Ｄ．4

【答案】C
11．（2010湖北省咸宁）已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、
B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是
A．＞ B． C．＜ D．不能确定
【答案】A
12．（2010北京） 将二次函数y＝x2－2x＋3，化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为（ ）
A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4
C．y＝(x＋1)2＋2 D． y＝(x－1)2＋2
【答案】D
13．（2010山东泰安）下列函数：①；②；③；④，其中的值随值增大而增大的函数有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
【答案】B
14．（2010四川乐山）.设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下图中四个图象之一，则a的值为（ ）
y
x
O
y
x
O
y
x
O
1
－1
y
x
O
1
－1

A. 6或－1 B. －6或1 C. 6 D. －1
【答案】D
15．（2010黑龙江哈尔滨）在抛物线上的一个点是（ ）
（A）（4，4） （B）（1，－4） （C）（2，0） （D）．（0，4）
【答案】C
16．（2010江苏徐州）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2010)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为
A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位
C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位
【答案】B
17．（2010陕西西安）已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线若两条抛物线C、 关于直线对称，则下列平移方法中，正确的是
A．将抛物线C向右平移个单位 B．将抛物线C向右平移3个单位
C．将抛物线C向右平移5个单位 D．将抛物线C向右平移6个单位
【答案】C
18．（2010 福建三明）抛物线的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 （ ）
A． B．且C． D．且
【答案】B
19．（2010 山东东营） 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）

1
O
x
y
（第12题图）

y
x
O
(B)
y
x
O
(A)
y
x
O
(C)
y
x
O
(D)

【答案】B
20．（2010安徽蚌埠）已知函数，并且是方程的两个根，则
实数的大小关系可能是
A． 　 B．　 C． 　D．
【答案】D
21．（2010安徽省中中考） 若二次函数配方后为则、的值分别为
………………（ ）
A）0.5 B）0.1 C）—4.5 D）—4.1

【答案】C
22．（2010甘肃兰州） 二次函数的图像的顶点坐标是
A．（-1，8） B．（1，8） C．（-1，2） D．（1，-4）
【答案】A
23．（2010甘肃兰州） 抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b、c的值为
A . b=2， c=2 B. b=2，c=0
C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2
【答案】B
24．（2010甘肃兰州） 抛物线图像如图所示，则一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的图像大致为
x

x

x

x

x

第15题图
【答案】D
25．（2010江苏盐城）给出下列四个函数：①；②；③；④．时，y随x的增大而减小的函数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
26．（2010山东烟台）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP于PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图像大致为

【答案】D
27．（2010台湾）坐标平面上有一函数y=24x2-48的图形，其顶点坐标为何？
(A) (0，-2) (B) (1，-24) (C) (0，-48) (D) (2，48) 。
【答案】C
28．（2010台湾） 坐标平面上，若移动二次函数y=2(x-175)(x-176)+6的图形，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1单位，则移动方式可为下列哪一种？
(A) 向上移动3单位 (B) 向下移动3单位 (C) 向上移勤6单位 (D) 向下移动6单位 。
【答案】D
29．（2010浙江杭州）定义[]为函数的特征数, 下面给出特征数为 [2m，1 – m , –1– m]
的函数的一些结论：
① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(，)；
② 当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③ 当m < 0时，函数在x >时，y随x的增大而减小；
④ 当m ¹ 0时，函数图象经过同一个点.
其中正确的结论有
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④
【答案】B
30．（2010 嵊州市）已知二次函数的图象如图所示,记,则与的大小关系为 ( )
A. B. C. D.、大小关系不能确定

【答案】C
31．（2010 浙江台州市）如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为(▲)

y
x
O
（第10题）

A．－3 　 B．1 C．5 D．8
【答案】D
32．（2010浙江金华） 已知抛物线的开口向下,顶点坐标为（2，－3） ,那么该抛物线有（ ▲ ）
A. 最小值 －3 B. 最大值－3 C. 最小值2 D. 最大值2
【答案】B
33．（2010 山东济南）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
34．（2010 浙江衢州）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（　　）
O
y
x
1
1
A．
O
y
x
1
1
C．
O
y
x
1
1
D．
O
y
x
1
1
B．

【答案】C
35.（2010 浙江衢州） 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，
设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的
函数关系式是（　　）
(第10题)
A
B
C
D

A． B．
C． D．
36．（2010 天津）已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中，正确结论的个数是
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4

第（10）题
y
x
O

【答案】D
37．（2010 内蒙古包头）已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是 个．
【答案】4
38．（2010广西桂林）将抛物线绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
39．（2010 四川自贡）y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）。
A．a=5 B．a≥5 C．a＝3 D．a≥3
【答案】B
40．（2010宁夏回族自治区）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式 （ ）
A． B． C． D．．
【答案】B
41．（2010 湖北咸宁）已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、
B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是
A．＞ B． C．＜ D．不能确定
【答案】A
42．（2010 广西钦州市）已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
① ac >0； ② a–b +c <0； ③当x <0时，y <0；
④方程（a≠0）有两个大于－1的实数根．
•
•
其中错误的结论有
（A）② ③ （B）② ④ （C）① ③ （D）① ④
第18题
x =1

【答案】C
43．（2010青海西宁）下列哪一个函数，其图象与轴有两个交点
A. B.
C. D.
【答案】D
44．（2010鄂尔多斯）已知二次函数中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，点A(x1，y1) ，B(x2，y2)在函数的图象上，当0<x1<1，2<x2<3时，y1与y2的大小关系正确的是
A. y1≥y2 B. y1＞y2 C. y1＜y2 D. y1≤y2

【答案】C
45．（2010广西梧州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图7所示，那么下列判断不正确的是（ ）
A．ac<0 B．a－b+c>0
C．b= -4a D．关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=－1,x2=5

图7
-1
y
x
5
x=2
2
O

【答案】B
46．（2010云南昭通）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0; B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0;
C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0; D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0;
图3
y
x
O

【答案】D
47．（2010贵州遵义）如图，两条抛物线y1=-χ2+1、y2=χ2-1 与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为
A．8 B．6 C．10 D．4

【答案】A
48．（2010广西柳州）抛物线y=-x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…

从上表可知，下列说法正确的个数是
①抛物线与x轴的一个交点为（-2，0） ②抛物线与y轴的交点为（0，6）
③抛物线的对称轴是：x=1 ④在对称轴左侧y随x的增大而增大
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
49．（2010湖北宜昌）抛物线的顶点坐标是（ ）。
A. (0,-1) B. (-1,1) C. (-1,0) D.(1,0)
【答案】C
50．（2010广西百色）二次函数的图象如图所示，下列几个结论：
①对称轴为; ②当≤0时,＜0或＞4；③函数解析式为；
④当≤0时，随的增大而增大. 其中正确的结论有（ ）
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③
第13题

【答案】C
51．（2010四川攀枝花）如图３，二次函数ｙ＝ａx－ｂｘ＋２的大致图像如图所示，
则函数ｙ＝－ａx＋ｂ的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2
O
图3
X
Y

图13(备用图)
C
O
X
Y
【答案】A
52．（2010 福建莆田）某同学利用描点法画二次函数（的图象时，列出的部分数据如下表：

0
1
2
3
4

3
0
-2
0
3
经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解
析式：
【答案】

【答案】C
53．（2010江苏泰州）下列函数中，y随x增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A

二、填空题
1．（2010 湖南株洲）已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当，，，时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 .

【答案】
2．（2010湖南郴州）将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_____________．
【答案】 y=x2 －1
3．（2010江苏扬州）y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为__________．
【答案】4
4．（2010山东泰安）将y=2x2-12x-12变为y=a（x-m）2+n的形式，则m·n= .
【答案】-90
5．（2010湖北襄樊）将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为____________．
．【答案】或
6．（2010江苏 镇江）已知实数的最大值为 .
【答案】4
7．（2010 湖南株洲）二次函数的图象与轴的交点如图所示，根据图中信息可得到的值是 ．
·

【答案】4
8．（2010安徽蚌埠）已知抛物线经过点A(4,0)。设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得的值最大，则D点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿。
【答案】﹝2,-6﹞
9．（2010江苏盐城）写出图象经过点(1，－1)的一个函数关系式 ▲ ．
【答案】y=-x或y=-或y=x2-2x，答案不唯一
10．（2010山东日照）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 .

【答案】－1＜x＜3
11．（2010浙江宁波） 如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为 ▲ .

12．（2010 四川泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x-2）2+2的图像向左平移2个单位，所得图像对应的解析式为 ．
【答案】y=x2+2
13．（2010 云南玉溪）如图7是二次函数在平面直
角坐标系中的图象，根据图形判断 ① ＞0；
② ++＜0； ③ 2-＜0；
④ 2+8＞4中正确的是（填写序号） ．

图7

【答案】② 、④
14．（2010 天津）已知二次函数()中自变量和函数值的部分对应值如下表：

…

0

1

…

…

0

…
则该二次函数的解析式为 ．
【答案】
15．（2010青海西宁）将抛物线先向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 .
【答案】
16．（2010吉林长春）如图，抛物线交x轴于点G、F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B、E，它们关于y轴对称，点G、B在y轴左侧。BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C。四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为 。

【答案】4
17．（2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_______。

【答案】.-3＜x＜1
18．（2010辽宁本溪）如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点和点（-2，0），则2a-3b 0.(＞、＜或＝)
O
x
y
-2

【答案】＞
19．（2010黑龙江绥化）抛物线与x轴的一个交点的坐标为（l,0), 则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 .
【答案】（3，0）
20．（2010湖南娄底）二次函数y=(x－1)2－2的图像的对称轴是直线_____________.
【答案】x=1

【答案】或(对一个得2分)
21．（2010 浙江义乌）（1）将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2= ▲ ；
（2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝ ▲ ．
P
y
x

·

【答案】（1）2(x－2)2 或 （2）3、1、、
22．（2010浙江金华）若二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解 ▲ ；
y
(第15题图)
O
x
1
3

【答案】-1

三、解答题
1．（2010江苏泰州）如图，二次函数的图象经过点D，与x轴交于A、B两点．
⑴求的值；
⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；
⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）

【答案】⑴ ∵抛物线经过点D()
∴
∴c=6.
⑵过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，
　∵AC 将四边形ABCD的面积二等分，即：S△ABC=S△ADC ∴DE=BF
又∵∠DME=∠BMF， ∠DEM=∠BFE
∴△DEM≌△BFM
∴DM=BM 即AC平分BD
∵c=6. ∵抛物线为
∴A（）、B（）
∵M是BD的中点 ∴M（）
设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点
解得
直线AC的解析式为.
⑶存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=，于是以A点为圆心，AB=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．
2．（2010福建福州）如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：＝；
（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

(第21题)

【答案】解：（1）∵ 四边形EFPQ是矩形，∴ EF∥QP．
∴ △AEF∽△ABC．
又∵ AD⊥BC， ∴ AH⊥EF．
∴ ＝
（2）由（1）得＝． AH＝x．
∴ EQ＝HD＝AD－AH＝8－x，
∴ S矩形EFPQ＝EF·EQ＝x (8－x) ＝－x2＋8 x＝－（x－5）2＋20．
∵ －＜0， ∴ 当x＝5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．
（3）如图1，由（2）得EF＝5，EQ＝4．
第21题图1

∴ ∠C＝45°， ∴ △FPC是等腰直角三角形．
∴ PC＝FP＝EQ=4，QC＝QP＋PC＝9．
分三种情况讨论：
① 如图2．当0≤t＜4时，
设EF、PF分别交AC于点M、N，则△MFN是等腰直角三角形．∴ FN＝MF＝t．
∴S＝S矩形EFPQ－SRt△MFN=20－t2＝－t2＋20；
②如图3，当4≤t<5时，则ME＝5－t，QC＝9－t．
∴ S＝S梯形EMCQ＝[（5－t）＋（9－t ）]×4＝－4t＋28；
③如图4，当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC＝9－t．
∴ S＝S△KQC= (9－t)2＝( t－9)2．

第21题图2 第21题图3 第21题图4
综上所述：S与t的函数关系式为：
S=
3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA＝5．若抛物线y＝x2＋bx＋c过O、A两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
(第22题图1) (第22题图2)
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）把O（0，0）、A（5，0)分别代入y＝x2＋bx＋c，
得解得
∴ 该抛物线的解析式为y＝x2－x．
（2）点C在该抛物线上．
理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连结OC，设AC交OB于点E．
∵ 点B在直线y＝2x上， ∴ B(5，10)
∵ 点A、C关于直线y＝2x对称，
∴ OB⊥AC，CE＝AE，BC⊥OC，OC＝OA＝5，BC＝BA＝10．
又∵ AB⊥x轴，由勾股定理得OB＝5．
∵ SRt△OAB＝AE·OB＝OA·AB，
∴ AE＝2， ∴ AC＝4．
∵ ∠OBA十∠CAB＝90°，∠CAD＋∠CAB＝90°， ∴ ∠CAD＝∠OBA．
又∵ ∠CDA＝∠OAB＝90°， ∴ △CDA∽△OAB．
∴ ＝＝ ∴ CD＝4，AD＝8 ∴ C（－3，4）
当x＝－3时，y＝×9－×(－3)＝4．
∴ 点C在抛物线y＝x2－x上．
（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切．
过点P作PF⊥x轴于点F，连结O1P，过点O1作O1H⊥x轴于点H．
∴ CD∥O1H∥BA． ∵ C(－3，4)，B(5，10)，
∴ O1是BC的中点． ∴ 由平行线分线段成比例定理得AH＝DH＝AD＝4，
∴ OH＝OA－AH＝1．同理可得O1H＝7． ∴ 点O1的坐标为(1，7)．
∵ BC⊥OC， ∴ OC为⊙O1的切线．
又∵OP为⊙O1的切线， ∴ OC＝OP＝O1C＝O1P＝5．
∴ 四边形OPO1C为正方形． ∴ ∠COP＝900． ∴ ∠POF＝∠OCD．
第22题图
又∵∠PFD＝∠ODC＝90°， ∴ △POF≌△OCD．
∴ OF＝CD，PF＝OD． ∴ P(4，3)．
设直线O1P的解析式为y＝kx+B(k≠0)．
把O1(1，7)、P(4，3)分别代人y＝kx+B，
得 解得
∴ 直线O1P的解析式为y＝－x＋．
若以PQ为直径的圆与⊙O1相切，则点Q为直线O1P与抛物线的交点，可设点Q的坐标为(m，n)，则有n＝－m＋，n＝m2－M
∴ －m＋＝m2－M．整理得m2＋3m－50＝0，
解得m＝
∴ 点Q的横坐标为或．

4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=．设直线AC与直线x=4交于点E．
（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．

【答案】解：（1）点C的坐标．设抛物线的函数关系式为，
则，解得
∴所求抛物线的函数关系式为…………①
设直线AC的函数关系式为则，解得．
∴直线AC的函数关系式为，∴点E的坐标为
把x=4代入①式，得，∴此抛物线过E点．
（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于G，则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN=
=
=
∴当x=5时，S△CMN有最大值
5．（2010湖南邵阳）如图（十四），抛物线y＝与x轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴交于点F。
（1）求直线BC的解析式；
（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P。
①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交 ，求r的取值范围；
②若r=，是否存在点P使⊙P与直线BC相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
提示：抛物线y＝的顶点坐标，对称轴x＝.

图（十四）
【答案】解（1）令y=0，求得A点坐标为（－2，0），B点坐标为（6，0）；
令x＝0，求得C点的坐标为（0，3）
设BC直线为y＝kx＋b，把B、C点的坐标代入得： 解得k＝，b=3
故BC的解析式为：y=x＋3
（2）①过点D（2，4）作DG⊥BC于点G，因为抛物线的对称轴是直线x=2，所以点E的坐标为（2，2），所以有EF＝2，FB＝4，EB＝2，DE＝2，从图中可知，，所以有： 解得DG＝ 故当r＞，点P运动到点D时，⊙P与直线BC相交

②由①知，直线BC上方的点D符合要求。设过点D并与直线BC平行的直线为y＝x＋n，把点D的坐标代入，求得n＝5，所以联立： 解得两点（2，4）为D点，（4，3）也符合条件。
设在直线BC下方到直线BC的距离为的直线m与x轴交于点M，过点M作MN⊥BC于点N，所以MN=，又tan∠NBM＝　所以NB=，BM＝4，所以点M与点F重合。设直线m为y=x＋b 把点F的坐标，代入得：0＝×2＋b 得b=1，所以直线m的解析式为：y＝ｘ+１
联立方程组：　　　解得：ｘ＝
所以适合要求的点还有两点即（3－，）与（3＋，）
故当r=，存在点P使⊙P与直线BC相切，符合条件的点P有四个，即是D（2，4），（4，3）和（3－，），（3＋，）的坐标．

6．（2010年上海）如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.

图8

【答案】解：(1) 抛物线y＝－x2＋bx＋c过点 A(4,0)B(1,3).∴
∴，，对称轴为直线，顶点坐标为
（2）∵直线EP∥OA,E与P两点关于直线对称，∴OE=AP,∴梯形OEPA为等腰梯形，
∴∠OEP=∠APE,∵OE=OF, ∴∠OEP=∠AFE,∴∠OFP=∠APE,∴OF∥AP,
∴四边形OAPF为平行四边形，∵四边形OAPF的面积为20，∴，
∴，∴.
7．（2010重庆綦江县）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12,0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使，△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）方法一：∵抛物线过点C（0，－6）
∴c＝－6，即y＝ax2 ＋bx－6
由解得：，
∴该抛物线的解析式为
方法二：∵A、B关于x＝2对称
∴A（－8，0） 设
C在抛物线上，∴－6＝a×8×，即a＝
∴该抛物线解析式为：
（2）存在，设直线CD垂直平分PQ，
在Rt△AOC中，AC＝＝10＝AD
∴点D在抛物线的对称轴上，连结DQ，如图：

显然∠PDC＝∠QDC，
由已知∠PDC＝∠ACD
∴∠QDC＝∠ACD，∴DQ∥AC
DB＝AB－AD＝20－10＝10
∴DQ为△ABC的中位线
∴DQ＝AC＝5
AP＝AD－PD＝AD－DQ＝10－5＝5
∴t＝5÷1＝5（秒）
∴存在t＝5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分
在Rt△BOC中，BC＝＝
∴CQ＝
∴点Q的运动速度为每秒单位长度．
（3）存在．如图，

过点Q作QH⊥x轴于H，则QH＝3，PH＝9
在Rt△PQH中，PQ＝＝
①当MP＝MQ，即M为顶点，
设直线CD的直线方程为y＝kx＋b（k≠0），则：
，解得：
∴y＝3x－6
当x＝1时，y＝－3
∴M1(1，－3)
②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点，
设直线x＝1上存在点M（1，y），由勾股定理得：
42＋y2＝90，即y＝±
∴M2（1，）；M3（1，－）
③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点．
过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x＝1于F，则F（1，－3）
设直线x＝1存在点M（1，y）由勾股定理得：
，即y＝－3±
∴M4（1，－3＋）；M5（1，－3－）
综上所述，存在这样的五个点：M1(1，－3)；M2（1，）；M3（1，－）；M4（1，－3＋）；M5（1，－3－）
8．（2010山东临沂）如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴交于点.
（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；
（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
第26题图

【答案】解：根据题意，将A（,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，
得
解这个方程，得 全品中考网

所以抛物线的解析式为y=-x2+x+1.
当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。
所以在△AOC中，AC==.
在△BOC中，BC==.
AB=OA+OB=.
因为AC2+BC2=.
所以△ABC是直角三角形。
图1
（2）点D的坐标是.
（3）存在。
由（1）知，AC⊥BC,
① 若以BC为底边，则BC∥AP,如图（1）所示，可求得直线BC的解析式为
.
直线