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“费马点”与中考试题“费马点”与中考试题费马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一 费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点 费尔马的结论：对于一个各角不超过 120的三角形，费马点是对各边的张角都是 120的点，对于有一个角超过 120的三角形，费马点就是这个内角的顶点下面简单说明如何找点 P 使它到ABC三个顶点的距离之和 PA+PB+PC 最小？这就是所谓的费马问题图 1解析解析：如图 1，把APC 绕 A 点逆时针旋转 60得到APC，连接 PP则APP为等边三角形，AP=PP，PC=PC，所以 PA+PB+PC=PP+PB+PC点 C可看成是线段 AC 绕 A 点逆时针旋转 60而得的定点，BC为定长，所以当 B、P、P、C 四点在同一直线上时，PA+PB+PC 最小这时BPA=180-APP=180-60=120，APC=A PC=180-APP=180-60=120，BPC=360-BPA-APC=360-120-120=120因此，当ABC的每一个内角都小于 120时，所求的点 P 对三角形每边的张角都是120，可在 AB、BC 边上分别作 120的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P 点；当有一内角大于或等于 120时，所求的 P 点就是钝角的顶点费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考例例 1 1（2008 年广东中考题）已知正方形ABCD 内一动点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为26，求此正方形的边长1图 2图 3分析分析：连接AC，发现点E 到 A、B、C 三点的距离之和就是到ABC三个顶点的距离之和，这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同解解如图 2，连接AC，把AEC 绕点 C 顺时针旋转 60，得到GFC，连接EF、BG、AG，可知EFC、AGC 都是等边三角形，则 EF=CE又 FG=AE，AE+BE+CE=BE+EF+FG（图 4）点 B、点 G 为定点（G 为点 A 绕 C 点顺时针旋转 60所得）线段 BG 即为点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值，此时 E、F 两点都在 BG上（图 3）设正方形的边长为a，那么BO=CO=26a，GC=2a,GO=a2226a+a22 BG=BO+GO=点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为2 626a+a=2 6，解得a=222注注本题旋转AEB、BEC 也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试例例 2 2（2009 年北京中考题）如图 4，在平面直角坐标系xOy中，ABC 三个顶点的坐标分别为A6,0，B6,0，C 0,4 3，延长 AC 到点 D,使 CD=DEAB 交 BC 的延长线于点 E.（1）求 D 点的坐标；1AC,过点 D 作22（2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF，若过 B 点的直线y kxb将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线y kxb与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短分析和解分析和解：（1）D 点的坐标（3，6 3）（过程略）（2）直线 BM 的解析式为y 3x6 3（过程略）yyECDECFMDAOBxAOBx图 4（3）如何确定点 G 的位置是本题的难点也是关健所在设 Q 点为 y 轴上一点，P 在 y轴上运动的速度为 v，则 P 沿 MQA 运动的时间为时间最短，就是MQAQ，使 P 点到达 A 点所用的2vv1MQAQ 最小，或 MQ2AQ 最小2解法解法 1 1 BQ=AQ，MQ2AQ 最小就是 MQAQBQ 最小，就是在直线MO上找点 G 使他到 A、B、M 三点的距离和最小至此，再次发现这又是一个费尔马问题的变形，注意到题目中等边三角形的信息，考虑作旋转变换把MQB 绕点 B 顺时针旋转 60，得到MQB，连接 QQ、MM（图 5），可知QQB、MMB 都是等边三角形，则QQ=BQ又 MQ=MQ，MQAQBQ=MQ+QQ+AQ点 A、M为定点，所以当Q、Q两点在线段 A M上时，MQAQBQ 最小由条件可证明 Q点总在 AM上，所以 A M与 OM 的交点就是所要的G 点（图 6）可证 OG=1MG23图 5图 6图 71MQAQ 最小，过 Q 作 BM 的垂线交 BM 于 K，由 OB=6，OM=6 3，21可得BMO30，所以 QKMQ21要使MQAQ 最小，只需使 AQQK 最小，根据“垂线段最短”，可推出当点 A、2解法解法 2 2考虑Q、K 在一条直线上时，AQ+QK 最小，并且此时的QK 垂直于 BM，此时的点Q 即为所求的点 G（图 7）过 A 点作 AHBM 于 H,则 AH 与 y 轴的交点为所求的G 点.由 OB=6，OM=6 3，可得OBM=60，BAH=30在 RtOAG 中，OG=AOtanBAH=2 3G 点的坐标为（0，2 3）（G 点为线段 OC 的中点）例例 3 3（2009 年湖州中考题）若点 P 为ABC 所在平面上一点，且APB=BPC=CPA=120,则点 P 叫做ABC 的费马点（1）若P为锐角ABC的费马点，且ABC=60，PA=3，PC=4,则PB的值为；（2）如图 8，在锐角ABC 的外侧作等边ACB，连结 BB求证：BB 过ABC 的费马点 P，且 BB=PA+PB+PC图 8解解：（1）利用相似三角形可求PB 的值为2 3（2）设点 P 为锐角ABC 的费马点，4即APB=BPC=CPA=120如图 8，把ACP 绕点 C 顺时针旋转 60到BCE，连结 PE，则EPC 为正三角形BEC=APC=120，PEC=60BEC+PEC=180即 P、E、B 三点在同一直线上BPC=120,CPE=60，BPC+CPE=180，即 B、P、E 三点在同一直线上 B、P、E、B 四点在同一直线上，即BB 过ABC 的费马点 P又 PE=PC，BE=PA，BB=E B+PB+PE=PA+PB+PC注注通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目出现等腰三角形（等边三角形）、正方形条件时，可将图形作旋转 60 或 90的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决费尔马问题是个有趣的数学问题，这些问题常常可通过旋转变换来解决5