中考几何三大变换(含答).doc

中考几何变换专题复习(针对几何大题得讲解)几何图形问题得解决,主要借助于基本图形得性质(定义、定理等)与图形之间得关系（平行、全等、相似等)、基本图形得许多性质都源于这个图形本身得“变换特征”，最为重要与最为常用得图形关系“全等三角形极多得情况也同样具有“变换”形式得联系、本来两个三角形全等就是指它们得形状与大小都一样,与相互间得位置没有直接关系，但就是，在同一个问题中涉及到得两个全等三角形,大多数都有一定得位置关系（或成轴对称关系,或成平移得关系，或成旋转得关系(包括中心对称)、这样，在解决具体得几何图形问题时，如果我们有意识地从图形得性质或关系中所显示或暗示得“变换特征”出发，来识别、构造基本图形或图形关系,那么将对问题得解决有着极为重要得启发与引导得作用、下面我们从变换视角以三角形得全等关系为主进行研究、解决图形问题得能力,核心要素就是善于从综合与复杂得图形中识别与构造出基本图形及基本得图形关系,而“变换视角”正好能提高我们这种识别与构造得能力、1。已知正方形BD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFB交BC于F,连接，G为F中点,连接G，CG（1）求证：EG=C；（2)将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示,取DF中点G,连接EG，CG。问(1）中得结论就是否仍然成立？若成立,请给出证明;若不成立，请说明理由;(）将图中BEF绕点旋转任意角度，如图所示,再连接相应得线段,问（1）中得结论就是否仍然成立？通过观察您还能得出什么结论(均不要求证明).考点：旋转得性质；全等三角形得判定与性质;直角三角形斜边上得中线；正方形得性质。专题:压轴题.分析:（）利用直角三角形斜边上得中线等于斜边得一半，可证出CG=EG（)结论仍然成立，连接A，过点作MAD于，与EF得延长线交于点;再证明DAGDCG，得出AGG；再证出DMGNG,得到GNG;再证明AGENG,得出A=EG；最后证出C=E（3）结论依然成立。还知道EGC解答：（1)证明：在RtC中，G为DF得中点，CG=,同理,在RtDEF中,E=FD，GEG。（2)解:（1)中结论仍然成立，即EG=CG.证法一：连接AG，过G点作MND于,与E得延长线交于N点在DAG与DCG中，A=C，ADGCD,DG=D，AGDG，AGG；在DMG与NG中,DM=FG，G=D，DG=NFG,DGNG,=NG;在矩形AEN中,=EN，在AM与EG中，A=E，AM=E,M=NG,MGENG，A=EG，EG=CG.证法二:延长CG至M，使MGCG，连接F，E，EC,在CG与FMG中，FG=G，M=CGD,MGCG,CGFG。MFC,M=DCG,FCDAB,EFMF。在RtE与CBE中,M=CB，EF=BE，MFECBEMEF=CBMEF+FECB+CE9，MC为直角三角形。MG=G，EG=MC，EG=CG.(3)解:(）中得结论仍然成立即C。其她得结论还有：EG.点评：本题利用了直角三角形斜边上得中线等于斜边得一半得性质、全等三角形得判定与性质.2.（1)如图,已知矩形ABC中，点E就是B上得一动点,过点E作EFBD于点,EGA于点G,CHD于点H，试证明=EFEG；(2）若点E在B得延长线上,如图，过点E作EFBD于点,GC得延长线于点,CD于点H,则E、E、CH三者之间具有怎样得数量关系，直接写出您得猜想；（）如图3，BD就是正方形ABCD得对角线，L在BD上，且BL=BC,连接CL,点E就是L上任一点,EFBD于点F，EGBC于点G,猜想E、EG、B之间具有怎样得数量关系，直接写出您得猜想;(4）观察图、图2、图3得特性,请您根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、E、CH这样得线段，并满足(1)或（2）得结论,写出相关题设得条件与结论.考点：矩形得性质；全等三角形得判定与性质；等腰三角形得性质;正方形得性质。专题：几何综合题。分析:（1）要证明=FEG，首先要想到能否把线段H分成两条线段而加以证明，就自然得想到添加辅助线，若作ENH于N,可得矩形，很明显只需证明EG=CN，最后根据A可求证EGCNE得出结论。(2）过C点作CF于O,可得矩形HCO,因为HC=DO,所以只需证明EO=EG,最后根据AAS可求证CECE得出猜想.(3)连接C,过E作作AC于H，交BD于O,可得矩形OH,很明显只需证明EGC，最后根据S可求证CHEGC得出猜想.(4）点P就是等腰三角形底边所在直线上得任意一点,点P到两腰得距离得与(或差）等于这个等腰三角形腰上得高，很显然过C作CF于E，可得矩形GEF，而且AAS可求证CPCNP，故CG=PFPN.解答：（1)证明:过E点作NH于（分)EB，CHBD，四边形EFH就是矩形。FH，FHEN。D=NE。四边形ABC就是矩形，AC=BD,且互相平分DBC=BECCBEGA，N，EGC=CN0，又E=E,EGCNE。(3分)ENCH=NNH=G+EF（4分）（2)解:猜想CHEFE(5分）(3)解：EFEG=BD(6分）(4）解：点P就是等腰三角形底边所在直线上得任意一点，点到两腰得距离得与(或差）等于这个等腰三角形腰上得高.如图，有CGFPN注：图（分）(画一个图即可）,题设得条件与结论(1分）点评：此题主要考查矩形得性质与判定,解答此题得关键就是作出辅助线,构造矩形与三角形全等来进行证明.如图1,点P就是线段MN得中点（1）请您利用该图1画一对以点P为对称中心得全等三角形；（）请您参考这个作全等三角形得方法,解答下列问题：如图,在RtABC中，BAC=9,ABAC,点D就是BC边中点，过D作射线交AB于E,交A延长线于F，请猜想F等于多少度时，BE=C(直接写出结果,不必证明)；如图3,在B中,如果AC不就是直角,而(）中得其她条件不变，若ECF得结论仍然成立，请写出EF必须满足得条件,并加以证明考点:作图复杂作图；全等三角形得判定;等腰三角形得判定。专题：证明题；开放型.分析：（1）以P点为中心，依次做两条相互交叉但长度相等得线段，可得两个全等三角形;（2）当BE=CF时,得结论成立;第2小题需要用到辅助线得帮助。延长F到点G，使得FD=GD，连接B，证明DCFDB后推出G，C=BG,从而证明EF.解答：解：(1）如图：画图正确（2分)（2）F=45时,BE=CF。(分）答：若B=C得结论仍然成立，则AE=AF,AE就是等腰三角形.(分)证明：延长F到点G，使得FD=GD,连接B。点D就是BC边中点,DCDB在DCF与DBG中FD。(分）F=G,CF=BG（1分）当AEF就是等腰三角形，AE=时,F=2，1=2,1=G。BEG.E=CF。(2分)点评：本题涉及全等三角形，等腰梯形得相关性质与判定,并考查学生得作图能力,为综合题型,难度中上。4如图,O就是AB得平分线，请您利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴得全等三角形。请您参考这个作全等三角形得方法，解答下列问题:(1）如图，在ABC中，AC就是直角,=60，D、E分别就是BAC、C得平分线，AD、CE相交于点。请您判断并写出E与FD之间得数量关系；（2)如图，在ABC中,如果AC不就是直角，而()中得其它条件不变,请问,您在（1)中所得结论就是否仍然成立？若成立，请证明;若不成立,请说明理由.考点：全等三角形得判定与性质。专题：探究型。分析：根据要求作图，此处我们可以分别做两边得垂线,这样就可以利用A来判定其全等了。先利用AS来判定AFAG.得出FE=AF,E=FG。再利用ASA来判定CFGFD得到FG=D所以FE=FD。解答：解：在OP上任找一点E，过E分别做CEA于,EDOB于如图,()结论为EF=FD。如图，在AC上截取AG=E，连接FG.AD就是BC得平分线,12，在AE与G中，,AEFAGF(SA).=AG，E=F由B=60,CE分别就是BAC，BCA得平分线，2+23+B=1,2+=60又AE为AF得外角，FE=CD=AFG=+36.FG=0。即F=C,在FG与CF中，CFCFD（ASA).FG=FD。FE=FD.(2）EFD仍然成立.如图，过点F分别作FGB于点G,H于点H.GE=FHD=90，=60，且AD，E分别就是BC,BCA得平分线，2+3=60，F就是A得内心GEFBC360+1，就是ABC得内心，即在ABC得角平分线上，FG=FH（角平分线上得点到角得两边相等)。又D1（外角得性质）,GEF=HD.在EGF与DH中,FDHF（AAS）,FE=FD.点评：此题考查全等三角形得判定方法，常用得方法有SSS，SAS，AAS，HL等.5。如图,已知矩形ABCD，AB=,BC=,在B上取两点、F(E在F左边)，以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在D上,PE、PF分别交AC于点G、。(1）求PE得边长；（2)若PF得边E在线段B上移动试猜想:PH与BE有什么数量关系？并证明您猜想得结论。考点:矩形得性质;等边三角形得性质。专题：探究型。分析：(1）要求PE得边长,需构造直角三角形，那么就过P作QC于Q。利用PQ得正弦值可求出PF，即PE得边长;(2)猜想:PHE1利用B得正切值可求出ACB得度数,再由PE=60,可得出HFC就是等腰三角形，因此就有BEEF+FBE+2FH=3再把其中FH用P表示，化简即可.解答:解:(）过P作PQBC于Q。矩形ADB=9，即ABBC，又ABC,PQ=(1分）PEF就是等边三角形，PQ=60在RtPQF中,PF2 (3分）PEF得边长为. PH与BE得数量关系就是：PHBE1 (4分）(2）在RtABC中,A,B=3,130.(5分）PE就是等边三角形，2=6,PF=F2. （6分）1+3，30，=3FC=F。 （7分)PH+FH，EEF+FC=3，PHBE=1 (分）注:每题只给了一种解法,其她解法按本评标相应给分.点评:本题利用了矩形、平行线、等边、等腰三角形得性质,还有正切函数等知识，运用得综合知识很多。6（20牡丹江）已知四边形ABD中，B=C,ABC120，MBN60,MB绕B点旋转，它得两边分别交A,C(或它们得延长线)于，F当BN绕B点旋转到E=C时（如图1),易证AECF=EF；当MN绕B点旋转到AEF时,在图2与图这两种情况下，上述结论就是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段A，CF，E又有怎样得数量关系？请写出您得猜想,不需证明.考点：全等三角形得判定与性质。专题:几何综合题.分析：根据已知可以利用SAS证明ABECBF，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出BECBF=3，BF为等边三角形，利用等边三角形得性质及边与边之间得关系，即可推出AEC=EF.同理图2可证明就是成立得，图3不成立。解答：解：BAD，CCD,A=BC，AE=CF，ABECB(S)；BE=CBF，E=BF;ABC=12，MBN=60,BE=C30,BEF为等边三角形；AE=B,CF=;AECF=BEBF=BE=F;图2成立，图3不成立。证明图2延长DC至点,使CK=AE，连接B,则BECK,B=BK,BEBC，FBE6,ABC=120,FBC+BE=60,B+KBC=6，B=FE=6，BEBF，KF=EF，KC+=EF，即AE+CF=EF.图3不成立,E、F、F得关系就是AFE。点评：本题主要考查全等三角形得判定方法，常用得方法有SSS,SA，AS等，这些方法要求学生能够掌握并灵活运用7用两个全等得等边ABC与AC，在平面上拼成菱形ABCD，把一个含60角得三角尺与这个菱形重合,使三角尺有两边分别在AB、A上,将三角尺绕点按逆时针方向旋转（1）如图1，当三角尺得两边与BC、CD分别相交于点E、F时，观察或测量BE，F得长度,您能得出什么结论？证明您得结论.(2）如图2，当三角尺得两边与BC、CD得延长线分别交于E、F时，您在(1）中得结论还成立吗？请说明理由。考点:全等三角形得判定与性质；等边三角形得性质。专题：证明题。分析:（1)连接AC，根据等边三角形性质推出D=C,=ACB=6,DAC60，求出CAE=，证ACEADF即可；(2)连接AC,求出ADF=ACE=120,证ACEAF，推出DF=CE，根据=CD即可推出答案.解答：(1)BE=CF,证明：连接C,ADC、AC就是等边三角形,ADA，D=CB=0，DAC=60，FE=6,CAE=AF，在AC与AD中，EDF,C=F，四边形ABCD就是菱形,B=CD,BE=F(2）解:结论BE=CF仍成立，理由就是:连接AC，由（1)知:DAC,FA=AE，等边三角形ABC与等边三角形ACD,ACAC60，DF=E120，在ACE与AF中，ACAF，F=CE，CBC，BE=CF，即结论F仍成立。点评:本题考查了等边三角形得性质，全等三角形得性质与判定得应用，主要考查学生熟练地运用性质进行推理得能力，题目比较典型，但有一定得难度.如图，在四边形ACD中，AB=AD,=D，ABC=ADC=90，AN=BAD（1)如图1，将MN绕着A点旋转，它得两边分别交边B、CD于M、N,试判断这一过程中线段M、DN与M之间有怎样得数量关系？直接写出结论，不用证明；(2）如图2,将MAN绕着A点旋转,它得两边分别交边C、CD得延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN与MN之间有怎样得数量关系?并证明您得结论;（3）如图3,将AN绕着A点旋转,它得两边分别交边BC、D得反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、与MN之间有怎样得数量关系？直接写出结论,不用证明.考点：全等三角形得判定与性质；旋转得性质。分析：()可通过构建全等三角形来实现线段间得转换.延长M到，使BD，连接AG。目得就就是要证明三角形AG与三角形ANM全等将MN转换成M，那么这样MN=M+DN了，于就是证明两组三角形全等就就是解题得关键.三角形MG与AMN中，只有一条公共边AM，我们就要通过其她得全等三角形来实现，在三角形AB与AD中，已知了一组直角，BG=N,AB=AD，因此两三角形全等，那么G=AN，1=2,那么1+3=23AN=BD.由此就构成了三角形BE与AF全等得所有条件(SAS)，那么就能得出MN=GM了.()按照（1)得思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段得转换.就应该在B上截取BG，使=N，连接A.根据（)得证法,我们可得出DN=B,GMN,那么N=GM=MG=BEDN.(3)按照(1）得思路,我们应该通过全等三角形来实现相等线段得转换.就应该在DN上截取DF,使DF=M，连接G根据（1)得证法,我们可得出D=BA,AF=AM，那么N=NF=DNDBB。解答:解:（1）证明:延长MB到G,使G=DN,连接GABG=C=AD=9,ABD，BGD。G=AN，=DN,1=4.+24N=BAD。GAM=MAN又AM=M,AAMN。MG=MNMGBMG.MN=BM+DN(2）MMDN.证明：在BM上截取B，使BGDN，连接AG。A=DC=90，A=A,ADNAG,N=G,ND=GAB,MA=MADMAG=DAB,MGBAD，MAN=M,MANG，=MG，N=BMD.（3）MN=DNBM.点评：本题考查了三角形全等得判定与性质；本题中通过全等三角形来实现线段得转换就是解题得关键,没有明确得全等三角形时,要通过辅助线来构建与已知与所求条件相关联全等三角形9.（2010义乌市）如图1，已知ABC=9,ABE就是等边三角形，点P为射线C上任意一点（点P与点B不重合），连接P，将线段P绕点A逆时针旋转0得到线段A,连接QE并延长交射线BC于点F。（1)如图2，当BP=BA时，EF= 30,猜想QF= 0 ；（2）如图1,当点P为射线BC上任意一点时,猜想QFC得度数，并加以证明;(）已知线段B=2，设Px,点Q到射线B得距离为y，求y关于得函数关系式.考点：旋转得性质;全等三角形得判定；等边三角形得性质;解直角三角形。专题:探究型。分析:(）与ABE互余，而ABE60,即可求得EBF得度数;利用观察法,或量角器测量得方法即可求得F得度数；（2）根据三角形得外角等于不相邻得两内角得与,证明BA=Q,进而得到APAE，证得AEQ=BP=0，则F=180AEAEB=006=30，QFC=EBFBEF；(3)过点作FE于点，过点Q作QHBC,根据APAQ得到:设QE=BP=,则Q=E+EF=+2.点Q到射线BC得距离y=QH=s60F=（x2),即可求得函数关系式。解答:解:（1)EBF=；(1分）QF=60;（分）()QFC=60。 (1分）解法1:不妨设BPB,如图所示.BA=BEEAP=60AP，EAQAPE=60AP,AP=EA. （2分)在AP与AQ中AB=A,A=A，P=AQ,BPEQ.(SAS) (分）AEQ=ABP=90 （4分）BEF=0AAEB18090630.QFCEF+F33060. （5分）（事实上当B时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分)解法2：设AP交QF于MQMP为AQ与FM共同得外角MP=+Q=AB+QFC，由ABPEQ得QAPB,由旋转知AQ=60，QFC=A=60,（3）在图中,过点F作FBE于点GAB就是等边三角形，B=AB=2由（1）得EBF0。在RB中，G=,=。EF= (分）BPAE.QE=BP=，QF=QEEF=x+ （2分）过点Q作QB，垂足为H.在RtQ中,QH=nF=(x)（0)即关于x得函数关系式就是：y=x+. （3分)点评：本题把图形得旋转,与三角形得全等，三角函数，以及函数相结合,就是一个比较难得题目。0(2009北京)在平行四边形AB中,过点C作CE交AD于点，将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF(如图）（1)在图1中画图探究:当P为射线D上任意一点(P1不与C重合)时，连接EP1;绕点E逆时针旋转90得到线段G1。判断直线FG1与直线C得位置关系,并加以证明；当为线段DC得延长线上任意一点时,连接P2，将线段EP绕点E逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C12与直线C得位置关系,画出图形并直接写出您得结论(2)若A=6,taB=，A1，在得条件下,设CPx,P11y，求y与x之间得函数关系式,并写出自变量得取值范围。考点：二次函数综合题.专题:探究型。分析：(1）说明1EC按要求旋转后得到得E全等，再结合P1E=1FE=0去说明；按照要求画出图形,由图形即可得出答案;(2）当点P在线段H得延长线上时,结合已知说明CE4,且由四边形FECH就是正方形，得CHE=4,再根据题设可得G1=x。P1H=x,进而可得y与x之间得函数关系式；当点P在线段CH上时,同理可得G=，P1H4,进而可得y与之间得函数关系式;当点1与点重合时，说明P1F1不存在，再作综合说明即可.本题第二问较难.学生不明确点1得几种位置情况，因而不能讨论。本题考查图形变换与动点问题，而且代数与几何结合,有一定难度。注意得问题：一就是函数关系式不止一种，二就是自变量得取值范围要正确画出.(）观察图形可知重叠三角形AB就是边长为得等边三角形,则这个三角形底边上得高为,所以重叠三角形BC得面积=;（2）由折叠得性质与已知可知:A=AD=m，BD=B=8m，所以=BC=82，A边上得高=（4m），所以重叠三角形BC得面积=（82）(m)=(4）2;当为AB边中点时“重叠三角形不存在，故4.而当D在得点处,即AD=时,点B与点C恰在矩形EG边上,符合题意;当A时，点B与点C就在矩形EF外了，这与已知不符,故,因此m得取值范围为m.解答：解：（1）直线FG1与直线C得位置关系为互相垂直.证明：如图1,设直线G1与直线D得交点为H.线段EC、EP分别绕点E逆时针旋转90依次得到线段EF、EG，P1=E=0,E1=EP1，EF=ECEF=901F，P1EC=01EF,G1EF=P1.GE1EC.G1FE=P1。ECCD，PC=90，G1FE0度.EH90度F=0度。FG。按题目要求所画图形见图,直线G1G与直线CD得位置关系为互相垂直。()四边形BCD就是平行四边形,B=AC=6，AE=1,anB=，D=5，tanED=tanB=.可得E=4.由（）可得四边形EFCH为正方形。CE=4.如图2，当P1点在线段CH得延长线上时,FG=CP1=x，P1H=x4，SP1FG=FG11H=。y=x2（x4）.如图，当P点在线段H上（不与C、H两点重合)时，F1CP1=x，PH=x，SP1F1=FGP=.=x2+x（4）.当P1点与点重合时，即=4时，1FG1不存在综上所述，与之间得函数关系式及自变量x得取值范围就是x22x(4)或y=x2+2x（0x4）。点评：本题着重考查了二次函数解、图形旋转变换、三角形全等、探究垂直得构成情况等重要知识点，综合性强,能力要求较高。考查学生分类讨论，数形结合得数学思想方法。11.已知：如图1.四边形AB就是菱形，A=，B=MAN60.绕顶点逆时针旋转MAN，边A与射线相交于点E（点与点B不重合），边AN与射线C相交于点。（）当点在线段B上时，求证：BE=CF；(2)设BEx，ADF得面积为y.当点在线段BC上时,求与x之间得函数关系式，写出函数得定义域；（3）连接BD,如果以A、F、D为顶点得四边形就是平行四边形,求线段BE得长考点:菱形得性质；全等三角形得判定与性质;平行四边形得性质。分析:(1）连接AC,通过证明ABEAC（ASA）即可得出CF；（2)过点作HCD，垂足为，先根据勾股定理求出AH得长，又CFBEx，DF=6x,根据三角形得面积公式即可列出函数关系式;(）根据题意画出图形，并连接D，先根据四边形BDFA就是平行四边形，证出BE为直角,在tABE中，B60，BEA=30，B=6，继而即可求出BE得长。解答：解:(1)连接AC(如图1）.由四边形ABC就是菱形，B=60,易得：BA=BC，BA=AC=，CB=D=0.AC就是等边三角形。ABA又BAMA=60，CAF+A=60，BECA。在ABE与A中,BAE=CAF，AB=A,B=ACF,ABF（ASA）.B=F。（2）过点作ACD，垂足为H（如图2）在tDH中，=0，DH=9060=0，、.又CF=E=x，D=，SAF=DFAH,即（0x6).（）如图3,连接B,易得。当四边形BDA就是平行四边形时,AFBD。FAD=AB30DE6030=，BA12300在t中，B=6,BEA=30,AB=6。易得：BE=2AB=2=12。点评：本题考查菱形得性质、全等三角形得判定与性质及平行四边形得性质，就是一道综合题,有一定难度，关键就是对这些知识得熟练掌握以便灵活运用.