2012年高考理科数学安徽卷-答案.pdf

1/11 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学(理科)答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】D【解析】根据复数的运算法则计算即可：55(2i)(i)(2i)5ii22i2i(2i)(2i)zzz 【提示】复数的乘法转化为除法，化简复数方程，利用复数的分子分母同乘分母的共轭复数，然后整理即可【考点】复数代数形式的混合运算 2.【答案】C【解析】分别求出各函数的(2)fx值，与2()f x比较，即可得出结果：()A对于()f xx有(2)=2=2=2()fxxxf x，结论成立；()B对于()f xxx有(2)22=22=2=2()fxxxxxxxf x，结论成立；()C对于()1f xx有(2)21 2()22fxxf xx，(2)2()fxf x，结论不成立；()D对于()f xx有(2)2=2()fxxf x，结论成立 因此，不满足(2)2()fxf x的是()1f xx，故选 C【提示】分别根据函数解析式求出(2)fx与2()f x，看其是否相等，从而可得到所求【考点】进行简单的演绎推理 3.【答案】B【解析】根据程序框图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满足4x 的最小项数解答：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环 x y 循环前 1 1 第一圈 是 2 2 第二圈 是 4 3 第三圈 是 8 4 第四圈 否 输出 4 最终输出结果=4y故选 B 2/11 【提示】列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果【考点】循环结构 4.【答案】B【解析】na是等比数列，且3 1116a a，2716a，又等比数列na的各项都是正数，74a，199933167=4(2)=4 2=32aaq，521622log=log 32=log 2=5a故选 B【提示】由公比为32的等比数列na的各项都是正数，且3 1116a a，知2716a，故74a，9167=32aaq，由此能求出216log a【考点】等比数列的通项公式，对数的运算性质 5.【答案】C【解析】1(45678)65x 甲，1(5 369)65x 乙，甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数；甲的成绩的中位数6，乙的成绩的中位数5，甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数；甲的成绩的方差为221(22 12)25，乙的成绩的方差为221(1331)2.45，甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差；甲的成绩的极差844，乙的成绩的极差954，甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差 因此，正确的表述是：甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 故选 C【提示】根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数，然后利用方差公式求出甲与乙的方差，从而可得到结论【考点】极差、方差与标准差，分布的意义和作用，众数、中位数、平均数 6.【答案】A【解析】，bmbba，“”是“ab”的充分条件，如果am，则ab与bm条件相同，“”是“ab”的不必要条件 故选 A 3/11 【提示】通过两个条件之间的推导，利用平面与平面垂直的性质以及结合图形，判断充要条件即可【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，平面与平面垂直的性质 7.【答案】D【解析】第一个因式取2x，第二个因式取21x得：1451(1)5C，第一个因式取2，第二个因式取5(1)得：52(1)2，展开式的常数项是5(2)3 故选 D【提示】5221(2)1xx的展开式的常数项是第一个因式取2x，第二个因式取21x；第一个因式取 2，第二个因式取5(1)，故可得结论【考点】二项式定理的应用 8.【答案】A【解析】(0,0)O，(6,8)P，设(10cos,10sin)OP，得3cos5，4sin5，又向量OP按逆时针旋转34后，得向量OQ，3310cos,10sin(7 2,2)44OQ 故选 A【提示】由点(0,0)O，(6,8)P，知(6,8)OP，设(10cos,10sin)OP，则3cos5，4sin5，由向量OP绕点逆时针方向旋转34后得向量OQ，由此能求出结果【考点】平面向量的坐标运算 9.【答案】C【解析】设(0)AFx，|BFa，|3AF，即点A到准线:1l x 的距离为3，23cos=3，即1cos3，2cos()=aa，223=11cos213a，AOB的面积为1132 23 2|sin1322232SOFAB 故选 C 4/11 【提示】设直线AB的倾斜角为，利用|3AF，可得点A到准线:1l x 的距离为 3，从而1cos3，进而可求|BF，|AB，由此可求AOB的面积【考点】直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质 10.【答案】D【解析】2613 15 132C，在 6 位同学的两两交换中少 2 种情况，不妨设甲、乙、丙、丁、戍、己6 人 设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则甲收到 3 份纪念品，乙、丙收到 4 份纪念品，丁、戍、己收到 5 份纪念品，此时收到 4 份纪念品的同学人数为2人；设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则甲、乙、丙、丁收到 4 份纪念品，戍、己收到 5 份纪念品，此时收到 4 份纪念品的同学人数为 4 人 故选 D【提示】由题意，2613 15 132C，再分类讨论：仅有甲与乙，丙没交换纪念品；仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，即可得出收到 4 份纪念品的同学人数【考点】进行简单的合情推理，排列、组合及简单计数问题 第卷 二、填空题 11.【答案】3,0【解析】求xy的取值范围，则求出xy的最大值和最小值即可作图，可知约束条件对应ABC边际及内的区域：(0,3)A，30,2B，(1,1)C，当1 x，1y 时，xy取得最大值 0；当0 x，3y 时，xy取得最小值3 【提示】画出约束条件表示的可行域，推出三角形的三个点的坐标，直接求出zxy的范围【考点】简单线性规划 12.【答案】92 5/11 【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，几何体的表面积是2212(25)4(2544(52)4922S 【提示】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可【考点】三视图 13.【答案】3【解析】将4sin化为直角坐标方程：22(2)4xy，其圆心坐标为(0,2)，将()6R化为直角坐标方程：30 xy，根据点到直线的距离公式，得圆心到直线()6R的距离是|02 3|32 【提示】将极坐标方程化为直角坐标方程，再用点到直线的距离公式，即可得到结论【考点】简单曲线的极坐标方程，点到直线的距离公式 14.【答案】98【解析】|2|3ab，22494aba b，又2244|4aba ba b，944a ba b，98a b，a b的最小值是98【提示】由平面向量a，b满足|2|3ab，知22494aba b，故222242 44|4aba ba ba b，由此能求出a b的最小值【考点】平面向量数量积 15.【答案】【解析】2abc，22221cos222abcababCabab，3C，命题正确；2abc，2222224()()1cos282abcababCabab，3C，命题正确；333abc，ac，bababcabc，3C，命题正确；2ab，1c，22244 17cos288abcCab，3C，命题错误；以例反证，取2ab，1c 满足22222()2abca b，则2224417cos288abcCab，又71082，3C，命题错误【提示】利用余弦定理，将2c放大为ab，再结合均值定理即可证明1cos2C，从而证明3C；利用 6/11 余弦定理，将2c放大为2()2ab，再结合均值定理即可证明1cos2C，从而证明3C；利用反证法，假设3C 时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确；只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形【考点】命题的真假判断与应用，余弦定理的应用 三、解答题 16.【答案】（）22T （）1sin2022()1sin222xxg xxx 【解析】（）22()cos 2sin24f xxx，111cos2sin2(1 cos2)222xxx 11sin222x 函数()f x的最小正周期22T；（）当0,2x时，11()()sin222g xf xx，当,02x 时，0,22x，11()sin2sin22222g xg xxx，当,2x 时，()0,2x，11()()sin2()sin222g xg xxx，函数()g x在,0上的解析式为1sin2022()1sin222xxg xxx【提示】利用两角和的余弦函数以及二倍角公式化简函数的表达式，（）直接利用周期公式求解即可；（）求出函数()g x的周期，利用0,2x时，1()()2g xf x，对x分类求出函数的解析式即可【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法 7/11 17.【答案】（）根据题意，2Xn表示两次调题均为A类型试题，第一次调题为A类型试题的概率为nmn；第二次调题时试题总量为2mn，A类型试题为1n，概率为12nmn，所以两次调题均为A类型试题的概率为12nnmnmn；（）mn时，每次调用的是A类型试题的概率为12p，随机变量X可取n，1n，2n，则21()(1)4P Xnp，1(1)2(1)2P Xnpp，21(2)4P Xnp，X的分布列如下：X n 1n 2n P 14 12 14 111(1)(2)1424EXnnnn【提示】（）根据题意，可知2Xn表示两次调题均为A类试题，故可求概率；（）设mn，则每次调用的是A类型试题的概率为12p，随机变量X可取n，1n，2n，求出相应的概率，即可得到X的分布列和均值【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列 18.【答案】（）取BC，11BC的中点为点1,O O，连接AO，1OO，1AO，11AO，ABAC，AOBC，面ABC 面11BBCC，AO面11BBCC，同理：11AO 面11BBCC，11AOAO，A，O，1A，1O共面，又1 OOBC，1OOAOO，BC 面11AOO A，1AABC；（）延长11AO到D，使1O DOA，连接AD，11AOAO，1ODOA且1O DOA，1ADOO且1ADOO，8/11 1OOBC，面111A BC 面11BBCC，1OO面111A BC，AD面111A BC，在1Rt AAD中，222214(2 1)5AAADDA；（）AOBC，1 AOBC，1AOA是二面角1ABCA的平面角，在11Rt OO A中，22221111422 5A OOOAO，在1Rt OAA中，22211115cos25AOAOAAAOAAOAO，二面角1ABCA的余弦值为55 【提示】（）要证1AABC，即要BC 面11AOO A，从而通过证明AO 面11BBCC和11AO 面11BBCC，得到11AOAO，所以A，O，1A，1O共面，由11,OOBC OOAOO，得到BC 面11AOO A，从而得证；（）在1Rt AAD中，应用勾股定理即可求得1AA的长；（）要求二面角1ABCA的余弦值，先要找出二面角1ABCA的平面角，由AOBC，1 AOBC知，1AOA是二面角1ABCA的平面角，在11Rt OO A中，应用勾股定理求得1AO的长，在1Rt OAA中，应用余弦定理即可求得1AOA的余弦值，即二面角1ABCA的余弦值【考点】平面与平面垂直的性质，直线与平面垂直的性质，二面角的平面角及求法 19.【答案】（）设e(1)xtt，则1yatbat，2 22211a tyaatat，当1a 时，0y，9/11 1yatbat在1t 上是增函数，当1(0)tx时，()f x的最小值为1aba；当01a时，12yatbbat，当且仅当11e,lnxattxaa 时，()f x的最小值为2b；（）1()eexxf xaba，1()eexxfxaa，由题意得：(2)33(2)2ff，即22221e3e13ee2abaaa，解得22e12ab【提示】（）设e(1)xtt，则1yatbat，求出导函数2 22211a tyaatat，再进行分类讨论：当1a 时，0y，1yatbat在1t 上是增函数；当01a时，利用基本不等式12yatbbat，当且仅当1(ln)atxa时，()f x取得最小值；（）求导函数，利用曲线()yf x在点2,(2)f处的切线方程为32yx，建立方程组，即可求得a，b的值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程 20.【答案】（）由1(,0)Fc，2(,0)F c，得点11(,)(0)Pc yy代入22221xyab，得：21bya，22PFQF，(4,4)Q，204014baccc ，又24ac，222(,0)cab a b c，由解得：2a，1c，3b，椭圆C的方程为22143xy；10/11 （）设22,aQyc，则22PFQF，222001byaacccc ，解得22ya，222PQbacakaacc；又22221xyab，且点P在椭圆的上半部分，2222bybxa，222222bxaybbxa，过点P与椭圆C相切的直线斜率xcPQckyka，过点P与椭圆C相切的直线与直线PQ重合，直线PQ与椭圆C只有一个交点【提示】（）根据椭圆的性质222cab，点Q在2axc上和22PFQF得到三个关于a，b，c的方程，求解即得；（）求出直线PQ的斜率和过点P与椭圆C相切的直线斜率，证明二者相等即可【考点】直线与圆锥曲线的关系，椭圆的简单性质 21.【答案】（）必要条件：当0c时，21nnnnxxxcx，数列 nx是单调递减数列；充分条件：当数列 nx是单调递减数列时，21211xxxxc，210cx；数列 nx是单调递减数列的充分必要条件是0c（）由（）得：0c，11/11 当0c 时，10naa，不合题意；当0c 时，22132,2xcxxccxc，由22ccc，解得，01c，210nnnxxcx，21nxc，10nxxc，又22211111()()()(1)nnnnnnnnnnxxxxxxxxxx，当14c 时，12nxc，110nnxx，21nnxx与1nnxx同号，由210 xxc得20nnxx，1nnxx，21limlim()limnnnnnnnxxxcxc，当14c 时，存在N，使12Nx，即1211NNNNxxxx，即21NNxx与1NNxx异号，数列 nx是单调递减数列矛盾 综上所述，当104c时，数列 nx是单调递增数列【提示】（）要证数列 nx是单调递减数列的充分必要条件是0c，即要由0c得出数列 nx是单调递减数列：由数列 nx是单调递减数列得0c；（）求c的取值范围，使数列 nx是单调递增数列，即要求出数列 nx的后项与前项之差大于 0 时c的取值范围，由（）和0c 时，10naa，不合题意，因此在0c 的条件下推导【考点】数列与函数的综合，必要条件、充分条件与充要条件的判断，数列的函数特性，数列递推式