(新课改地区)2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.pdf

3.13.1 导数及导数的运算导数及导数的运算核心考点精准研析核心考点精准研析考点一导数的计算1.下列求导运算正确的是()A.(sin a)=cos a(a 为常数)B.(sin 2x)=2cos 2xC.(cos x)=sin xD.(x-5)=-x-62.函数 f(x)=x2+ln x+sin x+1 的导函数 f(x)=()A.2x+cos x+1B.2x-+cos xC.2x+-cos xD.2x+cos x3.函数 f(x)=的导函数 f(x)=()A.tan xB.-C.-D.-4.函数 f(x)=的导函数 f(x)=()A.2B.C.D.5.设 f(x)是函数 f(x)=+x 的导函数,则 f(0)的值为_.【解析】1.选 B.(sin a)=0(a 为常数),(sin 2x)=2cos 2x,(cos x)=-sin x,(x)=-5x.2-5-62.选 D.由 f(x)=x+ln x+sin x+1 得 f(x)=2x+cos x.3.选 D.f(x)=-.4.选 D.f(x)=()=.5.因为 f(x)=+x,所以 f(x)=+1=答案:0+1,所以 f(0)=+1=0.题 2 中,若将“f(x)=x+ln x+sin x+1”改为“f(x)=2+”,则 f(x)=_.【解析】因为 f(x)=+=,所以 f(x)=.答案:【秒杀绝招】排除法解 T3,根据 sin x=0 时 f(x)无意义,所以 f(x)也无意义排除A,C,cos x=0 时 f(x)有意义,所以 f(x)也应有意义排除B.考点二导数的简单应用ax【典例】1.若函数 f(x)=e+ln(x+1),f(0)=4,则 a=_.2.已知函数 f(x)的导函数为 f(x),且 f(x)=2xf(e)-ln x,则 f(e)=_.3.(2020宝鸡模拟)二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,若其导函数为 f(x)=3x-,则f(x)=_.【解题导思】序号联想解题1由 f(0)=4,想到求 f(x),列方程2由 f(e)想到求 f(x)并代入 x=e由二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,想到设函数的解析式为3f(x)=ax+bx2【解析】1.由 f(x)=e+ln(x+1),ax得 f(x)=ae+ax,因为 f(0)=4,所以 f(0)=a+1=4,所以 a=3.答案:32.因为 f(x)=2xf(e)-ln x,所以 f(x)=2f(e)-,令 x=e 得:f(e)=2f(e)-,即 f(e)=.答案:3.根据题意,二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,设其解析式为 f(x)=ax+bx,则有 f(x)=2ax+b,2又由 f(x)=3x-,得 2ax+b=3x-,则 a=,b=-,故 f(x)=x-x.2答案:x-x含参数的函数的导数要注意的两点(1)含有字母参数的函数求导时,要分清哪是变量哪是参数,参数是常量,其导数为零.(2)注意利用题目条件构建方程,求出参数的值.此时要注意区别函数 f(x)及其导数 f(x).1.已知 f(x)的导函数为 f(x),且满足 f(x)=x+fA.-2B.2332x-x,则 f(1)=()D.122C.-1【解析】选 C.由 f(x)=x+fx-x,得f(x)=3x+2f2x-1,所以 f3=+f2-1,所以 f=-1,f(x)=x-x-x,32所以 f(1)=1-1-1=-1.2.函数 f(x)=ln x+a 的导函数为 f(x),若方程f(x)=f(x)的根x0小于 1,则实数 a 的取值范围为()A.(1,+)B.(0,1)C.(1,)D.(1,)【解析】选 A.由函数 f(x)=ln x+a 可得 f(x)=,由于使得 f(x0)=f(x0)成立的 0 x01,则=ln x0+a(0 x01,ln x01,故有 a1.考点三导数几何意义的运用命题精解读考什么考什么:(1)求切线方程、求切点坐标、与切线有关求参数的值或取值范围.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养怎么考怎么考:与直线的方程、不等式等结合考查直线的斜率、直线的点斜式方程、导数的几何意义等问题新趋势新趋势:以三角函数、指数函数、对数函数为载体,与求导数和导数的几何意义交汇考查.1.1.注意两类切线问题的区别注意两类切线问题的区别(1)“过”与“在”:曲线 y=f(x)“在点 P(x0,y0)处的切线”与“过点 P(x0,y0)的切线”的区别:前学霸好方法者 P(x0,y0)为切点,而后者 P(x0,y0)不一定为切点.(2)“切点”与“公共点”:某曲线的切线与此曲线的公共点有可能有多个(即除了切点之外可能还有其他公共点).2.2.利用导数求曲线的切线方程利用导数求曲线的切线方程若已知曲线y=f(x)过点 P(x0,y0),求曲线过点P 的切线方程,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解.(1)当点 P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).(2)当点 P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步:第一步:设出切点坐标 P(x1,f(x1);第二步:写出曲线在点 P(x1,f(x1)处的切线方程 y-f(x1)=f(x1)(x-x1);第三步:将点 P 的坐标(x0,y0)代入切线方程求出 x1;第四步:将 x1的值代入方程 y-f(x1)=f(x1)(x-x1),可得过点 P(x0,y0)的切线方程.已知切点求切线的方程问题【典例】(2019全国卷)曲线 y=3(x+x)e 在点(0,0)处的切线方程为_.【解析】y=3(2x+1)e+3(x+x)e=3(x+3x+1)e,所以 k=y|x=0=3,所以曲线 y=3(x+x)e 在点(0,0)处的切线方程为 y=3x,即 3x-y=0.答案:3x-y=0用导数的几何意义求曲线的切线方程的关键是什么?提示:关键是确定切点坐标.未知切点求切线的方程问题【典例】已知函数 f(x)=x+x-16,若直线l为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,则直线l的方程为_.【解析】设切点坐标为(x0,y0),32xx2x2x2x则直线l的斜率为 f所以直线l的方程为=3+1,y=(3+1)(x-x0)+x0-16,因为直线l过原点,所以 0=(3+1)(0-x0)+x0-16,整理得,=-8,所以 x0=-2,所以 y0=(-2)+(-2)-16=-26,3f=3(-2)+1=13.2所以直线l的方程为 y=13x.答案:y=13x如何从题目条件判断是否知道切点?提示:从题目条件的叙述方式判断,一般来说,“过点”的切线,都是不知道切点.知道切点的叙述方式为“在点处的切线”.求参数的值【典例】(2019全国卷)已知曲线 y=ae+xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则()A.a=e,b=-1C.a=e,b=1-1xB.a=e,b=1D.a=e,b=-1x-1【解析】选 D.令 f(x)=ae+xln x,x-1则 f(x)=ae+ln x+1,f(1)=ae+1=2,得 a=e.f(1)=ae=2+b,可得 b=-1.切线问题中可以用来列出等量关系的依据有哪些?提示:(1)切点处的导数为切线斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上.1.已知定义在R 上的奇函数f(x),当 x0 时,f(x)=x-2x-m,则曲线在点P(2,f(2)处的切线斜率为()A.10B.-103C.4D.与 m 的取值有关【解析】选 A.因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即 f(0)=-m=0,所以 m=0,即当 x0 时,f(x)=x-2x,当 x0 时,f(x)=-f(-x)=x-2x,所以当 x0 时,f(x)=3x-2,f(2)=32-2=10.2.(2019吉安模拟)已知过点 P(1,1)且与曲线 y=x 相切的直线的条数有()A.0B.1C.2D.332233【解析】选 C.若直线与曲线相切于点(x0,y0)(x00),则 k=+x0+1,因为 y=3x,所以2=3,所以 3=+x0+1,所以 2-x0-1=0,所以 x0=1 或 x0=-,所以过点 P(1,1)与曲线 y=x 相切的直线方程为 3x-y-2=0 或 3x-4y+1=0,所以共有 2 条.3.(2020十堰模拟)若直线 y=12x+m 与曲线 y=x-2 相切,则 m=_.【解析】y=x-2 的导数为 y=3x,直线 y=12x+m 与曲线 y=x-2 相切,设切点为(s,t),可得 3s=12,12s+m=s-2,即有 s=2,m=-18;s=-2,m=14.答案:14 或-181.设点P是曲线y=x-()32332333x+上的任意一点,则曲线在点P处切线的倾斜角的取值范围为A.B.C.D.【解析】选 C.因为 y=3x-2-,故切线的斜率 k-,所以切线的倾斜角 的取值范围为.2.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),则曲线 g(x)在 x=3 处的切线方程为_.【解析】由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线斜率等于-,即 f(3)=-.又 g(x)=xf(x),所 以g(x)=f(x)+xf(x),g(3)=f(3)+3f(3),由 题 图 可 知f(3)=1,所 以g(3)=3f(3)=3,g(3)=1+3答案:y-3=0=0,则曲线 g(x)在 x=3 处的切线方程为 y-3=0.3.阅读材料:求函数 y=e 的导函数.解:因为 y=e,所以 x=ln y,所以 x=,所以 1=y,所以 y=y=e.xxx借助上述思路,曲线 y=_.,x在点(1,1)处的切线方程为【解析】因为 y=,所以 ln y=ln,所以 y=ln+,所以 y=当 x=1 时,y=4,所以曲线 y=即 y=4x-3.答案:y=4x-3,x在点(1,1)处的切线方程为 y-1=4,