大数定律中心极限定理.pptx

1 概 率 论(续）2第五章大数定律和中心极限定理 关键词：契比雪夫不等式大数定律中心极限定理31 大数定律(laws of large numbers)背景 本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式45 例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式,(1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76之间的概率至少有多大；（2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。67 随机变量序列依概率收敛的定义8补充：定理（定理（契比雪夫大数律契比雪夫大数律）9证明证明由由契比雪夫不等式契比雪夫不等式可得可得证毕证毕（补充结束补充结束）10定理5.2表明，当n很大时，的算术平均 接近于数学期望 。这种接近是在概率意义下的接近。此外，定理中要求随机变量的方差存在，但当随机变量服从相同分布时，就不需要这一要求。11 例2：12大数定律的重要意义：贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的方法，既然频率nA/n与概率p有较大偏差的可能性很小，我们便可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计，这种方法即是在第7章将要介绍的参数估计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。132 中心极限定理(Central Limit Theorem)背景：有许多随机变量，它们是由大量的相互独立 的随机变量的综合影响所形成的，而其中每 个个别的因素作用都很小，这种随机变量往 往服从或近似服从正态分布，或者说它的极 限分布是正态分布，中心极限定理正是从数 学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的 时期内曾是概率论研究的中心课题。141516 例3：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指 数分布，现随机取得16只，设它们的寿命是相互 独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率。17 例4：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元,若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。18 例5：设某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概 率都是0.02，各台机器工作是相互独立的，试求机 器出故障的台数不小于2的概率。19 例6：20 例7：（例1续）在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用中心极限定理,(1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76之间的概率近似值；（2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。21例1(用Chebyshev不等式的结果)22 大数定律与中心极限定理的区别与联系：设 为独立同分布随机变量序列，则由 对任意的0有 大数定律虽并未给出 的表达式,但保证了其极限是1.而在以上条件下，中心极限定理（林德伯格莱维）亦 成立，这时，对于任意的0及某固定的n，有 .由于 ，因此，在所给条件下，中心极限定理不仅给出了概率的近似表达式，而且也能保证了其极限是1，可见中心极限定理的结论更为深入。23 数 理 统 计24关键词：总 体 个 体 样 本 统 计 量 第六章 数理统计的基本概念25引言：数理统计学数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大量的随机试验中各种结果的出现必然呈现它的规律性，因而从理论上讲只要对随机现象进行足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限的，甚至是少量的。例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计学研究的问题之一。26 一一个统计问题总有它明确的研究对象个统计问题总有它明确的研究对象.研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体(母体母体)，总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体.研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量考察国产轿车的质量考察国产轿车的质量总体总体总体总体1 总体和样本总体与个体27 然而在统计研究中，人们往往关心每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.该批灯泡寿命的该批灯泡寿命的全体就是总体全体就是总体灯泡的寿命灯泡的寿命国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量所有国产轿车每公里耗所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体油量的全体就是总体28 由于每个个体的出现带有随机性，即相应的数量指标值的出现带有随机性。从而可把此种数量指标看作随机变量，我们用一个随机变量或其分布来描述总体。为此常用随机变量的符号或分布的符号来表示总体。通常，我们用随机变量通常，我们用随机变量X,Y,Z,X,Y,Z,等等表示总体。当我们说到总体，就是指一个具有表示总体。当我们说到总体，就是指一个具有确定概率分布的随机变量确定概率分布的随机变量(或者，随机向量或者，随机向量)。29随机样本1.样本的定义样本的定义 为推断总体的分布及各种特征,按一定的规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以获得有关总体的信息.这一抽取过程称为“抽样”.所抽取的部分个体称为样本.通常记为样本中所包含的个体数目n称为样本容量.30 容量为n的样本可以看作n维随机变量.但是,一 旦取定一组样本,得到的是n个具体的数 称此为样本的一次观察值,简 称样本值.2.简单随机样本简单随机样本 抽取样本的目的是为了利用样本对总体进行统计推断,这就要求样本能很好的反映总体的特性且便于处理.为此,需对抽样提出一些要求,通常有两条:31满足上述两条性质的样本称为简单随机样本.获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样.1.代表性代表性：X1,X2,Xn中每一个与所考中每一个与所考察的总体察的总体X有相同的分布有相同的分布.2.独立性独立性：X1,X2,Xn是相互独立的随是相互独立的随机变量机变量.32 说明说明：后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X 具有概率密度f(x)，则样本（X1,X2,Xn）具有联合密度函数：33解解例例34解解例例3536统计量37 38常用统计量常用统计量：设（X1,X2,Xn）为取自总体X的样本39证明证明再根据第五章再根据第五章辛钦定理辛钦定理知知性质性质40由第五章关于依概率收敛的序列的性质知由第五章关于依概率收敛的序列的性质知 以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据理论根据.41 422 常用的分布 4344 45则称点 为 的上 分位点分布的分位点定义 设有分布函数 对给定的 若有(*)当 有密度函数 时，式（*）可写成(*)由上述定义得 分布的上 分位点为4647 48 4950 5152 5354 555657则称点 为 的上 分位点分布的分位点定义 设有分布函数 对给定的 若有(*)当 有密度函数 时，式（*）可写成(*)58 正态总体样本均值和方差的分布59606163 64 65复习思考题复习思考题 6 61.什么叫总体？什么叫简单随机样本？总体X的样本X1,X2,Xn有 哪两个主要性质？2.什么是统计量？什么是统计量的值？3.样本均值和样本方差如何计算？4.N(0,1)分布,t分布,2分布和F分布的双侧、下侧、上侧分位点是 如何定义的？怎样利用附表查这些分位点的值？5.对一个正态总体的三个常用统计量及其分布是什么？6.对两个正态总体的三个常用统计量及其分布是什么？2024/9/14 周六课件待续!