【吉林省实验中学年】2017届高三模拟数学年(理科)试题(五).pdf

1/13 吉林省实验中学吉林省实验中学 20172017 届届高高三三模拟模拟数学数学（理科理科）试卷试卷（五五）答答 案案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 15ADCDA 610DBBCC 1112AA 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 1352 1423 15 3,2)16122nn 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 17解（1）(2)coscos0baCcB，由正弦定理可得：(sin2sin)cossincos0BACCB，2 分 sincoscossin2sincosBCBCAC，可得：sin()sin2sincosBCAAC，sin0A，1cos2C,5 分(0,)C 3C6 分(2)13sin324ABCSabCab，4ab，由余弦定理可得：2222cosabcabC，243cCab，8 分 228ab，10 分 联立即可解得:22ab，12 分 18解：（1）数列 na的前n项和为1122()nnnSaaSn，N，可得122nnaSn，相减可得11nnnnnaaSSa，即为12nnaa，2/13 由21212224aSaaa，即为，可得，12nnaan，对为一切正整数均成立，则数列 na为等比数列，且首项为 2，公比为 2，则2nna；（2）22loglog 2nnnban，2nnnncabn，所以前n项和231 22 23 2.2nnTn，234121 22 23 2.2nnTn，两式相减得 12(12)212nnn，化简可得12(1)2nnTn 19证明:（1）连结AM，设AMNDFEF，连结，四边形ADMN为正方形，FAM 是的中点，又EABEFBM是中点，又EFNDEBMNDE平面，平面，BMNDE平面 解：（2）MDADADMNABCDADMDADMN，平面平面，交线为，平面，MDABCDADDC平面，又，以D为坐标原点，,DA DC DMxyz为，轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,6,0),(0,0,3)DCM，(06)(3,0)(3,6,0)(0,6,3)AEaaEaECaMC 设，则，设平面CEM的法向量为(,z),nx y 则3(6)0630 xa yyz，令6123ayxz，得，6(,1,2)3an，3/13 又平面DCE的一个法向量为(0,0,1)n，且二面角的大小为6，2|2cos6|61()143m nmna，解得63,(06)aa，由二面角DCEM的大小为6，可得63AE 20解:（1）椭圆22221(0)xyCabab：的离心率为32，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为 1，22223221+cabaabc,解得2,1ab,椭圆C的方程为2214xy 证明:（2）椭圆C的方程为2214xy，(2,0)(0,1)AB，设2222(,)(0,0)1444mM m nmnnmn，则，即，则直线BM的方程为11nyxm，令0,1cmyxn得，同理，直线AM的方程为2(2)022Dnnyxxymm，令，得，4/13 21121(22)|2|1|22122(2)(1)ABCDmnmnSACBDnmmn 22144448144882222222mnmnmnmnmnmnmnmnmn，四边形ABCD的面积为定值 2 21解:（）1(),(0)h xa xx 当0()0()(0)ah xh x 时,，函数在,单调递增；当1()0()a xaah xx 时，令()0h x，解得10 xa；令()0h x，解得1xa 函数()h x的单调递增区间为1(0,)a，单调递减为1(,)a 综上可得：当0a时，函数h x（）在(0,)单调递增；当0a时，函数()h x的单调递增区间为1(0,)a，单调递减为1(,)a（）（）函数()f x与()g x有两个不同的交点1122(,)(,)A x yB x y、，其中12xx 等价于函数()h x有两个不同的零点12,x x,其中12xx 由（）知，当0a时，函数()h x在(0,)上是增函数，不可能有两个零点，当0a时，()h x在1(0,)a上是增函数，在1(,)a上是减函数，此时1()ha为函数()f x的最大值，当1()0ha时，()h x最多有一个零点，11()ln0haa，解得01a，此时，2211eeaa，且1()110eeeaah ，222222eeee()22ln(=22ln132ln(01)hahaaaaaaa），令22222e2ee2()32ln()0aF aaF xaaaa，则，()F a在(0,1)上单调递增，222e()(1)3e0(0F aFha，即)，a的取值范围是(0,1)（）1()ln1(0,)h xxaxa 在上是增函数，在1(,)a上是减函数，1()110(1)10aahhaeee ，5/13 故11111()010 xf xye 1,即，构造函数2221()()()ln()()(ln)(0)G xhxh xxaxxaxxaaaa，,则212()1()0()(0,2()a xaG xG xax xa，在递减,11110()()0 xG xGaa ，1()0h x，111112222()ln()()1()G()0()hxxaxh xxh xaaa，由（）得：122122,ee2yyxxaa即，12ee2yy 请考生在第 22，23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22解：（1）曲线1C的参数方程为2cos3sinxy(为参数)，普通方程为22143xy，曲线2C的极坐标方程为2，直角坐标方程为224xy；（2）设(2cos,2sin)P，则|74 3sin74 3sinPMPN，22(|)142 4948sinPMPN，sin0时，|PMPN的最大值为2 7 选修 4-5：不等式选讲 23解:（1）由题意,|333xaaxa ，不等式()3f x 的解集为|15xx ，31235aaa，；（2）设()|2|3|(2)(3)|5g xxxxx，当且仅当32x 时，等号成立 存在实数x，使不等式()(5)f xf xm成立，5m 6/13 吉林省实验中学吉林省实验中学 20172017 届届高高三三模拟模拟数学数学（理科理科）试卷试卷（五五）解解 析析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求 1【考点】交集及其运算【分析】利用已知条件求出集合 B,然后求解交集【解答】解:集合 A=2,3,B=x|x25x+6=0|=2,3,则 AB=2,3 故选:A 2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解:=,复数在复平面内对应的点的坐标为（1,2）,在第四象限 故选:D 3【考点】命题的否定【分析】根据已知中的原命题,结合全称命题否定的方法,可得答案【解答】解:命题:“x1,2,x23x+20 的否定是,故选:C 4【考点】复合函数的单调性【分析】令 t=x24x+30,求得函数的定义域,且 y=lnt,本题即求函数 t 在定义域上的减区间,再利用二次函数的性质得出结论【解答】解:令 t=x24x+30,求得 x1,或 x3,故函数的定义域为x|x1,或 x3,且 y=lnt 故本题即求函数 t 在定义域x|x1,或 x3上的减区间 再利用二次函数的性质求得 t 在定义域x|x1,或 x3上的减区间为（,1）,故选:D 5【考点】三角函数的化简求值【分析】采用两边平方,根据同角函数关系式和二倍角的公式可得答案【解答】解:由,可得:（sin2+cos22sincos）=即 1sin=,7/13 sin=故选:A 6【考点】等差数列的前 n 项和【分析】由等差数列的性质得 an1=18（n2）,由此利用等差数列的通项公式能求出 n【解答】解:等差数列an满足:a2=2,SnSn3=54（n3）,Sn=100,an+an1+an2=54（n3）,又数列an为等差数列,3an1=54（n2）,an1=18（n2）,又 a2=2,Sn=100,Sn=100,n=10 故选:D 7【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图,我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成,分别求出棱柱和棱锥的体积,进而可得答案【解答】解:由已知中的该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体,其中直三棱的底面为左视图,高为 63=3,故 V直三棱柱=63=18,四棱锥的底面为边长为 3,4 的长方体,高为 4 故 V四棱锥=343=12,故该几何体的体积 V=V直三棱柱+V四棱锥=30,故选 B 8【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的数量积公式以及向量的模的计算即可【解答】解:向量满足,|+|2=|2+2 +|2=2+2 =1,2 =1,|2+|2=4|2+4 +|2=42+1=3,|2+|=,故选:B 9【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象【分析】利用辅助角公式将函数 f（x）化简,结合三角函数的图象及性质依次对各项进行判断即可【解答】解:函数,8/13 化简可得:f（x）=cos2x+sin2x=2sin（2x+）,对于:当 x=时,函数 f（x）取得最大值 2,x=是其中一条对称轴故对 对于:f（x+）=2sin（2x+）=2sin2x,f（x）=2sin（2x+）=2sin2x,;故对 对于将 f（x）的图象向右平移个单位,可得 2sin2（x）+=2sin（2x）不是奇函数,故不对 x1,x2R,|f（x1）f（x2）|4 f（x）=2sin（2x+）,当 x1=,时,|f（x1）f（x2）|=4,存在 x1,x2R 使得|f（x1）f（x2）|4,故对 真命题的个数是 3 故选:C 10【考点】椭圆的简单性质【分析】设出 M 坐标,由直线 AM,BM 的斜率之积为得一关系式,再由点 M 在椭圆上变形可得另一关系式,联立后结合隐含条件求得椭圆的离心率【解答】解:由椭圆方程可知,A（a,0）,B（a,0）,设 M（x0,y0）,则,整理得:,又,得,即,联立,得,即,解得 e=故选:C 11【考点】函数恒成立问题【分析】令 m+n=a,则 mn=a+3,即 m、n 是方程 x2ax+a+3=0 的两个正实根,解得 a 的范围,不等式（m+n）9/13 x2+2x+mn130 恒成立不等式 ax2+2x+a100 在 a6 时恒成立即函数 f（a）=a（x2+1）+2x100 在 a6,+）恒成立【解答】解:令 m+n=a,则 mn=a+3,故 m、n 是方程 x2ax+a+3=0 的两个正实根,解得 a6,不等式（m+n）x2+2x+mn130 恒成立不等式 ax2+2x+a100 在 a6 时恒成立 即函数 f（a）=a（x2+1）+2x100 在 a6,+）恒成立 f（6）=6（x2+1）+2x100 x或 x1 故选:A 12【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】判断 f（x）的单调性,做出 f（x）的草图,得出 f（x）=t 的根的情况,根据方程 t2t+a=0 不可能有两个负根得出结论【解答】解:当 x0 时,f（x）=10,f（x）在（,0）上是减函数,当 x0 时,f（x）=|lnx|=,f（x）在（0,1）上是减函数,在1,+）上是增函数,做出 f（x）的大致函数图象如图所示:设 f（x）=t,则当 t0 时,方程 f（x）=t 有一解,当 t=0 时,方程 f（x）=t 有两解,当 t0 时,方程 f（x）=t 有三解 由f（x）2f（x）+a=0,得 t2t+a=0,10/13 若方程 t2t+a=0 有两解 t1,t2,则 t1+t2=1,方程 t2t+a=0 不可能有两个负实数根,方程f（x）2f（x）+a=0 不可能有 2 个解 故选 A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得 A（,1）化目标函数 z=3xy 为 y=3xz,由图可知,当直线 y=3xz 过 A 时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最小值 故答案为:14【考点】球的体积和表面积;棱柱的结构特征【分析】正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,外接球的半径为,球心到截面的距离=,可得截面圆的半径,即可得出结论【解答】解:正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,外接球的半径为,球心到截面的距离=,截面圆的半径为=,平面 被该正方体外接球所截得的截面圆的面积为 故答案为 15【考点】直线与圆的位置关系【分析】利用直线和圆的位置关系,求出两个极端位置|AB|的值,即可得到结论 11/13 【解答】解:圆心 C（1,1）,半径 R=1,要使 AB 长度最小,则ACB 最小,即PCB 最小,即 PC 最小即可,由点到直线的距离公式可得 d=2 则PCB=60,ACB=120,即|AB|=,当点 P 在 3x+4y+3=0 无限远取值时,ACB180,此时|AB|直径 2,故|AB|2,故答案为:,2）16【考点】数列递推式【分析】an+12an+1,利用递推可得:an+12an+122an1+2+12na1+2n1+2n2+2+1=2n+11,即 an2n1（n=1 时也成立）由 an+2an+32n,即 an+2an32n,利用“累加求和”方法结合 an+12an+1,可得 an2n1,因此 an=2n1即可得出【解答】解:an+12an+1,an+12an+122an1+2+123an2+22+2+12na1+2n1+2n2+2+1=2n+11,an2n1（n=1 时也成立）由对任意 nN*,an+2an+32n,即 an+2an32n,a3a132,a4a2322,an2an432n4 an1an332n3,anan232n2,an+1an132n1 an+1+an1+3+32+322+32n2+32n1=1+3=32n2（n2）an+12an+1,3an+132n2 an2n1 2n1an2n1,an=2n1,数列an的前 n 项和 Sn=n=2n+12n 故答案为:2n+1n2 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 17【考点】余弦定理;正弦定理【分析】（1）由已知及正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理可得 sinA=2sinAcosC,由于 sinA 12/13 0,可求 cosC=,结合范围 C（0,）,可求 C 的值（2）利用三角形面积公式可求 ab=4,由余弦定理可得 a2+b2=8,联立即可解得 a,b 的值 18【考点】数列的求和;数列递推式【分析】（1）首先利用 Sn与 an的关系:当 n=1 时,a1=S1,当 n2 时,an=SnSn1;结合已知条件等式推出数列an是等比数列,由此求得数列an的通项公式;（2）首先结合（1）求得 bn=log2an=log22n=n,cn=anbn=n2n,然后利用错位相减法,结合等比数列的求和公式求解即可 19【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定【分析】（1）连结 AM,设 AMND=F,连结 EF,推导出 EFBM,由此能证明 BM平面 NDE（2）以 D 为坐标原点,DA,DC,DM 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角 DCEM 的大小为时,AE 的长 20【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由椭圆的离心率为,过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为 1,列出方程组,求出 a,b,由此能求出椭圆 C 的方程（2）设 M（m,n）,（m0,n0）,则 m2+4n2=4,从而直线 BM 的方程为 y=,进而,同理,得,进而|+2|,由此能证明四边形 ABCD 的面积为定值2 21【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（）f（x）=a,（x0）对 a 分类讨论:a0,a0,利用导数研究函数的单调性;（）（）由（）可知,当 a0 时 f（x）单调,不存在两个零点;当 a0 时,可求得 f（x）有唯一极大值,令其大于零,可得 a 的范围,再判断极大值点左右两侧附近的函数值小于零即可;（）构造函数 G（x）=h（x）h（x）=ln（x）a（x）（lnxax）,（0 x）,根据函数的单调性证明即可 请考生在第 2223 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分选修 4-4:坐标系与参数方程 22【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用三种方程的转化方法,分别写出曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程;（2）设 P（2cos,2sin）,则|PM|+|PN|=+,两边平方,即可求|PM|+|PN|的最大值 选修 4-5:不等式选讲 23【分析】（1）原不等式可化为|xa|3,a3xa+3再根据不等 f（x）3 的解集为x|1x5,可得,从而求得 a 的值;13/13 （2）由题意可得 g（x）=|x2|+|x+3|（x2）（x+3）|=5,从而求得 m 的范围