四年级奥数奇数与偶数(教师用含答案).pdf

雅智教育立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才第二讲：奇数与偶数第二讲：奇数与偶数教学目标教学目标本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。知识点拨知识点拨一、一、奇数和偶数的定义奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。通常偶数可以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k 为整数）表示。特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。二、奇数与偶数的运算性质二、奇数与偶数的运算性质性质 1：偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数性质 2：偶数奇数=奇数性质 3：偶数个奇数的和或差是偶数雅智教育立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才性质 4：奇数个奇数的和或差是奇数性质 5：偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数，偶数偶数=偶数三、两个实用的推论：三、两个实用的推论：推论 1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。推论 2：对于任意 2 个整数 a,b,有 a+b 与 a-b 同奇或同偶例题精讲例题精讲模块一：奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质模块一：奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质【例【例 1 1】1231993的和是奇数还是偶数？的和是奇数还是偶数？【解解析析】在 1 至 1993 中，共有1993 个连续自然数，其中997 个奇数，996 个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数【巩巩固固】1 23 4567 L 99100999897 96L 7 65 43 21的和是奇数还是偶数？为什么？的和是奇数还是偶数？为什么？【解解析析】在算式中，1 99都出现了2次，所以1 23 4L 99999897 96L 43 21是偶数，而100也是偶数，所以1 23 4567 L 99100999897 96L 7 65 43 21的和是偶数【巩巩固固】2930318788得数是奇数还是偶数？得数是奇数还是偶数？【解解析析】偶数。原式中共有 60 个连续自然数，奇数开头偶数结尾说明有30 个奇数，为偶数个。【例【例 2 2】(200 201202 288）得数是奇数还得数是奇数还（151152153 233）是偶数？是偶数？【解解析析】200 至 288 共 89 个数，其中偶数比奇数多 1，44 个奇数的和是偶数；151 至 233共 83 个数，奇数比偶数多 1，42 个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。【例【例 3 3】1 23 45 67 L 9899的计算结果是奇数还是偶数，为什么？的计算结果是奇数还是偶数，为什么？【解解析析】特殊数字：“1”在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数偶数，所以它们的乘积都是偶数，这些偶数相加的结果还是偶数，只有1是奇数，又因为奇数偶数=奇数，所以这个题的计算结果是奇数【例【例 4 4】能否在下式的“”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请能否在下式的“”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由说明理由（1 1）1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 91010（2 2）1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 92727不能。很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式有雅智教育立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才5 个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶性质“先定性分析 后 定 量 计 算 的 题 目”（2）可 以。12345678927或123456789 27模块二：奇偶运算性质综合及代数分析法模块二：奇偶运算性质综合及代数分析法【例【例 5 5】是否存在自然数是否存在自然数 a a 和和 b b，使得，使得 ab(aab(ab)=115?b)=115?【解析】【解析】不存在。此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想，即 2 个自然数在奇偶性的组合上只有 3 种情况，“2 奇 0 偶，1 奇 1 偶，0 奇 2 偶”，可以分别讨论发现均不成立。【巩巩固固】是是否存在自然数否存在自然数 a a、b b、c c，使得，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327(a-b)(b-c)(a-c)=45327？【解析】【解析】不存在。可以分情况来讨论：3 奇 0 偶，2 奇 1 偶，1 奇 2 偶，0 奇 3 偶。但是比较繁琐，可以根据 45327 是一个奇数，只有奇数乘以奇数才能得到，所以 a-b、b-c、a-c 都为奇数，再根据奇偶性进行判断。【巩固】【巩固】已知已知 a,b,ca,b,c 中有一个是中有一个是 511511，一个是一个是 622622，一个是一个是 793793。求证：求证：(a 1)(b2)(c3)是一个偶数是一个偶数【解析】【解析】因为在 a,b,c 中有 2 个是奇数，1 个是偶数，那么说明 a,c 两个数中至少有一个是奇数，那么(a1)和(c3)中至少有一个是偶数，所以(a 1)(b2)(c3)中至少有一个因数是偶数，结果为偶数模块三、奇偶模型与应用题模块三、奇偶模型与应用题【例【例 6 6】沿着河岸长着沿着河岸长着 8 8 丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差 1 1 个问：个问：8 8 丛植丛植物上能否一共结有物上能否一共结有 225225 个浆果个浆果?说明理由说明理由【解解析析】不能。本题为俄罗斯小学生奥数竞赛题，可以给学生介绍。相邻的两个植物果实数目差1个意味着相邻2个植物的奇偶性不同，所以一定有4棵植物的果实为奇数个，总和一定为偶数，不能为225.【例【例 7 7】试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于等于1999如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由【解解析析】因为两个数的和a b与两个数的差a b的奇偶性相同，所以的和（a b）（a b）是偶数由结论三可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加1000 还是偶数，所以它们的和不能等于奇数1999模块四：整数的奇偶性分析法模块四：整数的奇偶性分析法【例【例 8 8】一个图书馆分东西两个阅览室一个图书馆分东西两个阅览室东阅览室里每张桌子上有东阅览室里每张桌子上有 2 2 盏灯盏灯西阅览室里每西阅览室里每张桌子上有张桌子上有 3 3 盏灯现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数问：盏灯现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数问：哪个阅览室的桌子数是奇数？哪个阅览室的桌子数是奇数？【解解析析】根据两个阅览室里总的桌子数和灯数都是奇数，想一想可以确定哪个阅览室桌子数、雅智教育立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才灯数的奇偶性呢？由于东阅览室里每张桌子上有2盏灯，因此东阅览室的灯的总数一定是偶数 由于两个阅览室里灯的总数是奇数，因此西阅览室的灯的总数一定是奇数又因为西阅览室里每张桌子上有3盏灯，可知西阅览室的桌子数是奇数由于两个阅览室里的总的桌子数是奇数，因此东阅览室的桌子数是偶数 所以，只有西阅览室的桌子数是奇数【例【例 9 9】师傅与徒弟加工同一种零件，师傅与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里，各人把产品放在自己的箩筐里，师傅的产量是徒弟师傅的产量是徒弟的的 2 2 倍，师傅的产品放在倍，师傅的产品放在4 4 只箩筐中，徒弟的产品放在只箩筐中，徒弟的产品放在2 2 只箩筐中，每只箩筐都只箩筐中，每只箩筐都标明了产品的只数：标明了产品的只数：7878 只，只，9494 只，只，8686 只，只，8787 只，只，8282 只，只，8080 只根据上面的条只根据上面的条件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗？件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗？【解解析析】注意到所给出的 6 个数只有一个为奇数，它肯定是徒弟制造的 原因是：师傅的产量是徒弟的 2 倍，一定是偶数，它是 4 只箩筐中产品数的和，在题目条件下只能为四个偶数的和徒弟的另一筐产品可以利用求解“和倍问题”的方法来得出，求出徒弟加工零件总数为：（78948687 8280）（21）169，那 另 一 筐 放 有 产 品16987 82(只)所以，标明“82 只”和“87 只”这两筐中的产品是徒弟制造的课后练习课后练习练习练习1.1.东东在做算术题时，写出了如下一个等式：东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038 1375 64，他做得对吗？，他做得对吗？【解解析析】等式左边是偶数，1375是奇数，64是偶数，根据奇数偶数奇数，等式右边是奇数，偶数不等于奇数，因此东东写出的等式是不对的练习练习2.2.a a、b b、c c 三个数的和与它们的积的和为奇数，三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？问这三个数中最多可以有几个奇数？（）（）【解析】【解析】根据题目内容，可以列出所要讨论的式子为abcabc。则接下来可以分类讨论 3 奇 0 偶，2 奇 1 偶，1 奇 2 偶，0 奇 3 偶四种情况。经验证如果要满足上式结果为奇数，那么可以发现最多只能有1 个奇数。练习练习3.3.黑板上写着两个数黑板上写着两个数 1 1 和和 2 2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a a 和和 b b，则增写，则增写a ab ba ab b 这个数，比如可增写这个数，比如可增写5 5（因为（因为 1 12 21 12 25 5）增写）增写1111（因为（因为 1 15 51 15 51111），一直写下去，问能否得到，一直写下去，问能否得到 20082008，若不能，说明理由，若能则说出最少，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？需要写几次得到？【解析】【解析】黑板上的数起初为一奇一偶，按照规则增写出的第三个数一定是一个奇数，第四个数如果选择仍由一奇一偶写出来的，那么仍然是奇数；另一种可以选择两个奇数开始，那么“奇奇奇奇=奇”，所以不论如何增写，新增的数一定是奇数，所以不可能出现 2008。