2015年湖南省衡阳市中考数学试卷-答案.pdf

1/12 湖南省衡阳市 2015 年初中毕业学业水平考试 数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】D【解析】原式1 23。故选 D。【提示】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果。熟练掌握运算法则是解本题的关键。【考点】实数的运算；零指数幂 2.【答案】A【解析】A、2aaa，故本选项正确；B、333 36bbbb，故本选项错误；C、33 12aaaa，故本选项错误；D、5 25 210()aaa，故本选项错误。故选 A。【提示】根据合并同类项法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断后利用排除法求解。熟练掌握运算性质和法则是解题的关键。【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 3.【答案】C【解析】从上面看外边是一个矩形，里面是一个圆，故选：C。【提示】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案。【考点】简单组合体的三视图 4.【答案】C【解析】由题意可得：20 x 且10 x，解得2x。故选：C。【提示】分式的值为 0 的条件是：（1）分子为 0；（2）分母不为 0。两个条件需同时具备，缺一不可。据此可以解答本题。关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。注意：“分母不为零”这个条件不能少。【考点】分式的值为零的条件 5.【答案】B 2/12 【解析】根据题意得：1 0 x，解得：1x。故选：B。【提示】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0，可以求出x的范围。函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负。【考点】函数自变量的取值范围 6.【答案】B【解析】不等式组的解集为：-21x，其数轴表示为：，故选 B。【提示】根据不等式的基本性质来解不等式组，两个不等式的解集的交集，就是该不等式组的解集；然后把不等式的解集根据不等式解集在数轴上的表示方法画出图示。不等式组的解集：不等式组的解集可以先求这些个不等式各自的解，然后再找它们的相交的公共部分（最好先在数轴上画出它们的解），找它们的相交的公共部分可以用这个口诀记住：同小取小，同大取大；比大的小，比小的大，取中间；比大的大，比小的小，无解。【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组 7.【答案】D【解析】解：6 是腰长时，三角形的三边分别为 6、6、5，能组成三角形，周长66517；6 是底边时，三角形的三边分别为 6、5、5，能组成三角形，周长65 516。综上所述，三角形的周长为 16 或17。故选 D。【提示】分 6 是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解。难点在于分情况讨论。【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系 8.【答案】A【解析】设一元二次方程的另一根为1x，则根据一元二次方程根与系数的关系，得113x ，解得：12x 。故选 A。【提示】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根。方程20axbxc的两根为1x，2x，则12bxxa，12cxxa。【考点】一元二次方程根与系数的关系 9.【答案】A【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以 A 选项为真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 B 选项为假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以 C 选项为假命题；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以 D 选项为假命题。故选 A。3/12 【提示】根据平行线四边形的判定方法对 A 进行判定；根据矩形的判定方法，对角线相等的平行四边形是矩形，则可对 B 进行判定；根据菱形的判定方法，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可对 C 进行判定；根据正方形的判定方法，对角线互相垂直的矩形是正方形，则可对对 D 进行判定。判断一件事情的语句，叫做命题。许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式。有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理。【考点】命题与定理 10.【答案】C【解析】50 出现了 3 次，出现的次数最多，则众数是 50；把这组数据从小到大排列为：20，25，30，50，50，50，55，最中间的数是 50，则中位数是 50。故选 C。【提示】众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。根据中位数的定义将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，找出最中间的那个数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可。【考点】众数；中位数 11.【答案】B【解析】设绿地的宽为x，则长为10 x；根据长方形的面积公式可得：(10)900 x x。故选 B。【提示】首先用x表示出矩形的长，然后根据矩形面积=长宽列出方程即可。【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 12.【答案】C【解析】设AGx，在Rt AEG中，tanAGAEGEG，333AGEGx，在Rt ACG中，tanAGACGCG，3tan30 xCGx，331003xx，解得：50 3x。则50 3 1AH（米）。故选 C。【提示】设AGx，分别在Rt AEG和Rt ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据100mDF，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH。直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法。【考点】解直角三角形的应用 第卷 二、填空题 13.【答案】2 4/12 【解析】根据有理数比较大小的方法，可得210 ，所以在1，0，2这三个数中，最小的数是2。故答案为：2。【提示】有理数大小比较的法则：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可。【考点】有理数大小比较 14.【答案】60【解析】/ab，1 120，21801 18012060 ，故答案为：60【提示】两直线平行，同旁内角互补，据此进行解答。【考点】平行线的性质 15.【答案】2【解析】原式2 222。故答案为：2。【提示】运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可。合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变。【考点】二次根式的加减法 16.【答案】1x 【解析】方程两边同乘(2)x x，得23xx，解得：1x ，经检验1x 是方程的解。【提示】观察可得方程最简公分母为：(2)x x，去分母，化为整式方程求解。（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根。【考点】解分式方程 17.【答案】3【解析】扇形的面积2212033cm360。故答案是：3。【提示】正确理解扇形的面积公式是解题关键。【考点】扇形面积的计算 18.【答案】40【解析】点M、N是OA、OB的中点，MN是ABO的中位线，A B A M N。又20mMN，40ABm，故答案是：40。【提示】根据题意知MN是ABO的中位线，所以由三角形中位线定理来求AB的长度即可。三角形的中 5/12 位线平行于第三边且等于第三边的一半。【考点】三角形中位线定理 19.【答案】3【解析】3ab，1ab，原式()()3ab ab，故答案为：3。【提示】原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值。【考点】平方差公式 20.【答案】20132【解析】因为21OA，所以可得：112OA，进而得出32OA，44OA，58OA，由此得出22nnOA，所以201320152OA，故答案为：20132【提示】根据规律得出112OA，21OA，32OA，44OA，58OA，所以可得22nnOA，进而解答即可。【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形 三、解答题 21.【答案】原式22222222aabaabbab，当1a ，2b 时，原式224。【提示】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值。【考点】整式的混合运算，化简求值 22.【答案】（1）40%（2）16（3）128【解析】（1）“合格”的百分比为1 12%16%32%40%，故答案是：40%。（2）抽测的总人数是：816%50（人），则抽测结果为“不合格”等级的学生有：5032%16（人）。故答案是：16。（3）该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有40032%128（人）。故答案是：128。【提示】读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键。条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小。【考点】条形统计图，用样本估计总体，扇形统计图 23.【答案】（1）(3,2)A、(3,5)B、(1,2)C关于x轴的对称点分别为1(3,2)A，1(3,5)B，1(1,2)C，如 6/12 图所示。（2）A(3,2)、B(3,5)、C(1,2)，3AB，2AC，22(3 1)(52)13BC，2213ABAC，22(13)13BC 222ABACBC，o90CAB，AC与2AC的夹角为2CAC，旋转角为90。23ABAB，225CBACAB，2B的坐标为(6,2)。【解析】（1）分别得到点A、B、C关于x轴的对称点，连接点1A，1B，1C，即可解答。（2）根据点A，B，C的坐标分别求出AC，BC，AB的长度，根据勾股定理逆定理得到o90CAB，即可得到旋转角。根据旋转的性质可知23ABAB，所以225CBACAB，所以2B的坐标为(6,2)。【提示】解答本题的关键是掌握两种几何变换的特点，根据题意找到各点的对应点。【考点】轴对称及旋转的性质 24.【答案】列表如下：男 男 女 女 7/12 男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女）（女，女）（女，女）女（男，女）（男，女）（女，女）（女，女）所有等可能的情况有 12 种，其中选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况有 8 种，则P（选出的两名主持人“恰好为一男一女”）82=123。【解析】列表得出所有等可能的情况数，找出选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况数，即可求出所求的概率。【提示】概率=所求情况数与总情况数之比。【考点】列表法与树状图法 25.【答案】（1）当04x 时，设直线解析式为：ykx，将(4,8)代入得：84k，解得：2k，故直线解析式为：2yx，当410 x 时，设反比例函数解析式为：ayx，将(4,8)代入得：84a，解得：32a，故反比例函数解析式为：32yx。（2）当4y，则42x，解得：2x，当4y，则324x，解得：8x，826（小时），血液中药物浓度不低于 4 微克/毫升的持续时间 6 小时。【解析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可。（2）利用4y 分别得出x的值，进而得出答案。【提示】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容，主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.【考点】反比例函数的应用，一次函数的应用 26.【答案】（1）连接AC，点C、D是半圆O的三等分点，ADCDCB，DACCAB，OAOC，CABOCA，8/12 DACOCA，AEOC（内错角相等，两直线平行）OCEE，CEAD，o90OCE，OCCE，CE是O的切线；（2）四边形AOCD为菱形。理由是：ADCB，DCACAB，CDOA，又AEOC，四边形AOCD是平行四边形，OAOC，平行四边形AOCD是菱形。【解析】（1）连接AC，由题意得ADCDCB，DCACAB，即可证明AEOC，从而得出o90OCE，即可证得结论。（2）四边形AOCD为菱形由ADCB，则DCACAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OAOC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。【提示】切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、菱形的判定和性质，是中学阶段的重点内容。【考点】切线的判定，菱形的判定 27.【答案】（1）A点为直线1yx与x轴的交点，9/12 (1,0)A，又B点横坐标为 2，代入1yx可求得3y，(2,3)B，抛物线顶点在y轴上，可设抛物线解析式为2yaxc，把A、B两点坐标代入可得04a c3ac，解得11ac，抛物线解析式为21yx。（2）ABM为直角三角形。理由如下：由（1）抛物线解析式为21yx可知M点坐标为(0,1)，2AM，2233183 2AB，2223(1)2 5BM ，2222 1820AMABBM，ABM为直角三角形。（3）当 抛 物 线21yx平 移 后 顶 点 坐 标 为(,2)mm时，其 解 析 式 为2()2yxmm，即2222yxmxmm，联 立yx，可 得2222yxyxmxmm，消 去y整 理 可 得22(21)20 xmxmm，平移后的抛物线总有不动点，方程22(21)20 xmxmm总有实数根，0，即22(21)4(2)0mmm，解得14m，即当14m时，平移后的抛物线总有不动点。【解析】（1）由条件可分别求得A、B的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式。（2）结合（1）中A、B、C的坐标，根据勾股定理可分别求得AB、AM、BM，可得222ABAMBM，可判定ABM为直角三角形。10/12 （3）由条件可写出平移后的抛物线的解析式，联立yx，可得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式可求得m的范围。【提示】在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键，在（3）中确定出抛物线有不动点的条件是解题的关键。【考点】二次函数综合题 28.【答案】（1）作MEx轴于E，如图 1 所示：则90MEP，MEAB，90MPEPME，四边形OABC是正方形，90POC，4OAOCABBC，45BOA，PMCP，90CPM，90MPECPO，PMECPO，在MPE和PCO中，90MEPPOCPMECPOPMCP，MPEPCO()AAS，MEPOt，4EPOC，4OEt，点M的坐标为：(t 4,t)。（2）线段MN的长度不发生改变；理由如下：11/12 连接AM，如图 2 所示：MNOA，MEAB，90MEA，四边形AEMF是矩形，又EPOCOA，AEPOtME，四边形AEMF是正方形，45MAEBOA，AMOB，四边形OAMN是平行四边形，4MNOA。（3）MEAB，PADPEM，ADAPMEEP，即44ADtt，214ADtt，22114()444BDABADtttt ，MNOA，ABOA，MNAB，四边形BNDM的面积2211114(4)(2)62242SMNBDttt，S是t的二次函数，120，S有最小值，当2t 时，S的值最小；12/12 当2t 时，四边形BNDM的面积最小。【解析】（1）作MEx轴于E，则90MEP，先证出PMECPO，再证明MPEPCO，得出MEPOt，4EPOC，求出OE，即可得出点M的坐标。（2）连接AM，先证明四边形AEMF是正方形，得出45MAEBOA，AMOB，证出四边形OAMN是平行四边形，即可得出4MNOA。（3）先证明PADPEM，得出比例式ADAPMEEP，得出AD，求出BD，求出四边形BNDM的面积S是关于t的二次函数，即可得出结果。【提示】本题是四边形综合题目，运用了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四边形面积的计算以及二次函数的最值等知识；综合性强，特别是（2）（3）中，需要证明四边形是正方形、平行四边形、三角形相似以及运用二次函数才能得出结果。【考点】四边形综合题