函数单调性讲义提高.doc

函数单调性
1单调性定义
（1）单调性定义：设函数得定义域为A，区间。
如果对于任意，I，当时，都有，那么就说在区间I上就是单调减函数．区间I叫做得单调减区间；
如果对于任意，I，当时，都有，那么就说在区间I上就是单调增函数．区间I叫做得单调增区间；
单调增区间或单调减区间统称为单调区间。
（2）函数得单调性通常也可以以下列形式表达： 单调递增 单调递减
例1定义在上得函数对任意两个不相等实数，总有成立，则必有（ ）
A、函数就是先增加后减少 B、函数就是先减少后增加
C、在上就是增函数 D、在上就是减函数
（3）增函数、减函数得定义及图形表示
x
y
0
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x
y
0
x1
x2
;
f(x1)
f(x2)

增函数: 减函数:
注意：对于函数单调性定义得理解，要注意以下两点
①函数得单调性就是对某一个区间而言得．f(x)在区间A与B上都就是增(或减)函数，在A∪B上不一定单调．
②单调性就是函数在某一区间上得性质，因此定义中得x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替．
③在研究函数得单调性时，应先确定函数得定义域
x
y
1
2
3
4
5
-2
-4
-1
-3
-5
1
2
3
－1
－2
－3
O
例1下图就是定义在区间[-5，5]上得函数，根据图象说出函数得单调区间，以及在每个区间上，它就是增函数还就是减函数？
例2已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（ ）
A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有唯一得实根
例3已知函数就是定义在上得增函数,且,求得取值范围、
例4已知函数f(x)＝x－1，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a得取值范围就是________
．(－∞，－1)∪(3,5)
[解析]　由题意，得或或∴a<－1或3<a<5、
2函数单调性得证明方法
（1）定义法：
任取x1，x2∈D，且x1<x2；
作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常就是因式分解与配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)得正负）；
下结论（指出函数f(x)在给定得区间D上得单调性）．
（2）图象法(从图象上瞧升降)
例1判断函数在上得单调性,并用定义证明、
例2试讨论函数在区间上得单调性．
、解： 设，且．

∵ x2－x1＞0，＞0，
∴ 当时，，那么．
当时，，那么．
故在区间上就是增函数，在区间上就是减函数．
例3已知函数用单调性定义证明：在上为增函数；
解设，
所以在上为增函数、
例4证明函数f(x)＝2x－在(－∞，0)上就是增函数．
设x1，x2就是区间(－∞，0)上得任意两个自变量得值，且x1<x2、
则f(x1)＝2x1－，f(x2)＝2x2－，
f(x1)－f(x2)＝－
＝2(x1－x2)＋＝(x1－x2)
由于x1<x2<0，所以x1－x2<0,2＋>0，
因此f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(－∞，0)上就是增函数．
例5函数f(x)得定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0、
(1)求f(1)得值；
(2)判断f(x)得单调性并加以证明；
(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上得值域．
解：(1)∵当x>0，y>0时，
f＝f(x)－f(y)，∴令x＝y>0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0、
(2)设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，
则f(x2)－f(x1)＝f，
∵x2>x1>0、∴>1，∴f>0、∴f(x2)>f(x1)，即f(x)在(0，＋∞)上就是增函数．
(3)由(2)知f(x)在[1,16]上就是增函数．
∴f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f(16)，∵f(4)＝2，由f＝f(x)－f(y)，知f＝f(16)－f(4)，
∴f(16)＝2f(4)＝4，∴f(x)在[1,16]上得值域为[0,4]．
例6定义在R上得函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1、
(1)试求f(0)得值；
(2)判断f(x)得单调性并证明您得结论；
解：(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，
得f(1)＝f(1)·f(0)．因为f(1)≠0，所以f(0)＝1、
(2)任取x1，x2∈R，且x1<x2、
在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m＋n＝x2，m＝x1，则已知条件可化为：f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)．
由于x2－x1>0，所以0<f(x2－x1)<1、
为比较f(x2)，f(x1)得大小，只需考虑f(x1)得正负即可．
在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝－x，
则得f(x)·f(－x)＝1、因为当x>0时，0<f(x)<1，所以当x<0时，f(x)＝>1>0、
又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意得x1∈R，均有f(x1)>0、所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0、
所以函数f(x)在R上单调递减．
3复合函数得单调性判断
（1）复合函数得概念
如果就是得函数，又就是得函数，即，，那么关于得函数称为f,g得复合函数，为中间变量。
（2）结论：设函数在区间M上有意义，函数在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。
　　有以下四种情况：
　　（1）若在M上就是增函数，在N上就是增函数，则在M上也就是增函数；
　　（2）若在M上就是增函数，在N上就是减函数，则在M上也就是减函数；
　　（3）若在M上就是减函数，在N上就是增函数，则在M上也就是减函数；
　　（4）若在M上就是减函数，在N上就是减函数，则在M上也就是增函数。
　　即：同增异减。
注意：内层函数得值域就是外层函数得定义域得子集。
（3）用表格表示，如下（实施该法则时首先应考虑函数得定义域、）
t＝g(x)
y＝f(t)
y＝f[g(x)]
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
注意：1、函数得单调区间只能就是其定义域得子区间 ,不能把单调性相同得区间与在一起写成其并集、
例1
例2求函数得递减区间。
例3求函数f(x)＝得单调区间．
解：设u＝x2＋x－6，y＝、
由x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2、
结合二次函数得图象可知，函数u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上就是递减得，在[2，＋∞)上就是递增得．
又∵函数y＝就是递增得，∴函数f(x)＝在(－∞，－3]上就是递减得，在[2，＋∞)上就是递增得．
4函数单调性得常见结论
①奇函数在其对称区间上得单调性相同；
②偶函数在其对称区间上得单调性相反；
③在公共定义域内：
增函数增函数就是增函数；减函数减函数就是减函数；
增函数减函数就是增函数；减函数增函数就是减函数
④函数在上单调递增；在上
⑤若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，
5常见函数得单调性
例1设函数就是（-∞，+∞）上得减函数，若a∈R, 则 （ ）
A、 B、 C、 D、
例2函数y=4x2-mx+5在区间上就是增函数，在区间上就是减函数，则m=________;
例3函数得递增区间依次就是（ ）
A． B． C． D
例4已知函数在区间上就是减函数，则实数得取值范围就是（ ）
A．a≤3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3
例5函数f(x)=ax2-(5a-2)x-4在上就是增函数, 则a得取值范围就是______________、
例6求函数得单调区间
例7若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都就是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上就是(　　)
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增
例8函数y＝－(x－3)|x|得递增区间就是________．
解析：y＝－(x－3)|x|
＝
作出该函数得图象，观察图象知递增区间为、
答案：
例9求函数y＝－x2＋2|x|＋1得单调区间
解：(1)由于y＝
即y＝
画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]与[0,1]，单调递减区间为[－1,0]与[1，＋∞)．
6函数得单调性得应用
例1设函数f (x)就是（－，+）上得减函数，若aR，则（ ）
A． f (a2+1)<f (a) B ．f (a2)<f (a) C ．f (a2+a)<f (a) D．f (a)>f (2a)
例2已知函数在上递增，求实数得取值范围、
解：设，由
恒成立．
即当时，恒成立．又，所以．
例3求函数在区间上得最大值、最小值、
最大值为,最小值为、
例4若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上就是增函数，则a得取值范围就是________．
解析：设x1>x2>－2，则f(x1)>f(x2)，
而f(x1)－f(x2)＝－＝＝>0，则2a－1>0、
得a>、
提高题
1已知函数在区间上为增函数，则实数得取值范围_____
2已知定义域为R得函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下式子一定成立得就是 （ ）
A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1)
C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D．f(13)＜f(－1)＜f(9)
3已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a得取值范围就是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：f(x)＝由f(x)得图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上就是单调递增函数，由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2<a<1、故选C、
4若f(x)＝在区间(－∞，1)上就是减函数，则a得取值范围就是________[答案]　a>－1