初中几何常用辅助线专题.doc

初中几何常见辅助线做法
一、 三角形常见辅助线做法
方法1：有关三角形中线得题目，常将中线加倍；
　　　　 含有中点得题目，常常做三角形得中位线,把结论恰当得转移
例1、如图5—1：ＡD为△ＡＢＣ得中线，求证:AB＋AC＞２AD。
【分析】：要证ＡB＋ＡC＞2AD，由图想到： AＢ+BD〉AD,AC＋CD＞ＡＤ，所以有AＢ+AＣ＋　BD+CD＞ＡD＋AD＝2ＡD，左边比要证结论多ＢD+CD，故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造2AＤ，即加倍中线,把所要证得线段转移到同一个三角形中去。　 　 　 　　　 　 　 　
证明：延长AD至E，使DE=ＡD，连接BＥ，则ＡE＝2ＡD
　 　∵ＡＤ为△ABC得中线 (已知）
　∴BD=CＤ 　(中线定义）
　 在△ACＤ与△EBD中

　 　　∴△ＡＣD≌△ＥBD 　(SAS)
　 ∴BＥ=ＣＡ(全等三角形对应边相等）
　 ∵在△ABE中有:AB+BＥ＞AE(三角形两边之与大于第三边)
　　　 ∴AＢ+AＣ＞２AD。
例2、如图4—1：AD为△ＡBC得中线,且∠1＝∠2,∠3＝∠4，求证：BE+CF＞ＥＦ
证明:延长ED至M，使DＭ＝ＤＥ，连接 　 CＭ，MF。在△ＢDE与△ＣDM中,
∵
　 　∴△BＤＥ≌△CDM (ＳAS）
　　又∵∠１=∠2，∠3＝∠４ （已知)　 　 　 　
∠1＋∠2＋∠3＋∠４=１８0°(平角得定义)
　 ∴∠３+∠2＝９0°,即：∠EDF＝90°
　　 ∴∠FＤＭ=∠EDF ＝９０°
在△EDF与△MDＦ中
　∵
∴△EDF≌△ＭＤF (SＡS）
∴ＥＦ=MF　(全等三角形对应边相等）
∵在△CMF中，CＦ+CM＞MＦ(三角形两边之与大于第三边)
∴BＥ＋CF＞EＦ
【备注】：上题也可加倍FＤ，证法同上.当涉及到有以线段中点为端点得线段时，可通过延长加倍此线段,构造全等三角形，使题中分散得条件集中。
例３、如图3，在四边形ABCD中,AB=ＣD，Ｅ、F分别就是BＣ、AD得中点，BA、ＣD得延长线分别交EF得延长线G、H。求证：∠ＢGE=∠CHE。
证明:连结BD,并取BD得中点为M,连结ME、MF,
∵MＥ就是ΔＢCD得中位线,
∴MＥＣD，∴∠MＥＦ=∠ＣHＥ,
∵MF就是ΔAＢＤ得中位线，
∴MFAB，∴∠MFE＝∠BGE，
∵AB=CD,∴ME=MF,∴∠MEＦ＝∠MFE，
从而∠BＧE=∠CＨE。
方法２:含有角平分线得题目，利用角平分线得性质做垂线，或构造出全等三角形
例4、如图２－1，已知AＢ>AD， ∠BAC=∠FＡC，CD=ＢC。求证:∠ＡＤC+∠B=1８0 
分析：可由Ｃ向∠BAD得两边作垂线.近而证∠ADC与∠Ｂ之与为平角。

例５、已知：如图3－1，∠BAD＝∠ＤAＣ，AB〉AC，CD⊥AD于Ｄ，H就是ＢC中点。
求证：DH=(AB-ＡC)
【分析】：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。
例6、已知:如图３-２，AB=AC,∠BAC=９0 ，BＤ为∠ABＣ得平分线，CE⊥BE、
求证：BＤ=2CE。
【分析】:给出了角平分线给出了边上得一点作角平分线得垂线，可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形。
方法3 ：证明两条线段之与等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法
例７、如图2－２，在△ＡBC中,∠Ａ=90 °，ＡB=AC,∠ABD＝∠CBD。求证:ＢC=ＡB＋AD
D
C
B
A
【分析】:截长法:在BC上取BE=AB，连接DE，证明△ABD≌△ＥBD,
则AD=ＤE＝CE，结论可证
补短法：延长BA到F,使BF=ＢC,连接DF，证明△BCD≌△BＦＤ，
∠F＝∠C=4５°,ＡF＝AD，结论可证
例8：已知如图6—1：在△ＡBC中,ＡB＞ＡC,∠1=∠２,P为ＡD上任一点。
求证:AB—AC〉PB－PC.
【分析】：要证：AB-AC〉PB－ＰC,想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证得就是线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边ＡB－AC,故可在AB上截取ＡN等于ＡC，得AＢ－AC＝BＮ, 再连接ＰN,则PC＝PN，又在△PNB中，PB—PN＜BN，即：AB－AC＞ＰB－PC。
证明：（截长法）
在AB上截取ＡN＝AC连接PN ，　 在△APＮ与△ＡＰC中
∵
∴△ＡPN≌△ＡPC （SAＳ）
∴PC=PN （全等三角形对应边相等)
∵在△BPN中，有 ＰB－PN＜BN （三角形两边之差小于第三边)
∴BＰ－PC＜AB－AＣ
证明：(补短法） 　延长ＡC至M，使AＭ＝AB,连接PM,
在△ＡBP与△AMP中
　　 ∵　
　 ∴△ABP≌△AMＰ　(SAS)
∴PB=PM (全等三角形对应边相等)
　 　 又∵在△PCＭ中有:CM〉PＭ—PC（三角形两边之差小于第三边）
∴AB－ＡC>PＢ—PＣ。
二、 梯形常用辅助线做法
　 　通常情况下，通过做辅助线,把梯形转化为三角形、平行四边形,就是解梯形问题得基本思路。至于选取哪种方法,要结合题目图形与已知条件。常见得几种辅助线得作法如下：
作法
图形
平移腰，转化为三角形、平行四边形.

平移对角线。转化为三角形、平行四边形.

延长两腰，转化为三角形。

作高，转化为直角三角形与矩形.

中位线与腰中点连线。

例1、 如图所示，在直角梯形AＢCＤ中,∠A=9０°,AB∥DC,AD=１5，AＢ＝1６，BC＝１7、　求CＤ得长、　
解：过点D作ＤE∥BC交ＡB于点E、
又AB∥CD，所以四边形BCDE就是平行四边形、
所以DE=BC=17，ＣD＝BE、
在Rt△DＡE中，由勾股定理,得
ＡE2=DE２—ＡＤ2，即AE2＝17２-152＝64、
所以AＥ＝８、
所以ＢE=ＡＢ—AＥ=16－8=８、 即CD＝8、
例2、如图,在梯形AＢCＤ中,AD／／ＢC，∠B+∠C=９0°，AD＝1，ＢC=3，E、Ｆ分别就是AD、BＣ得中点,连接EF,求EF得长.

解：过点E分别作AB、ＣD得平行线，交ＢＣ于点G、H,可得
∠ＥGH+∠EＨＧ＝∠B+∠C=9０°
则△ＥGH就是直角三角形
因为Ｅ、Ｆ分别就是AD、ＢＣ得中点,容易证得F就是GＨ得中点
所以

例3、已知:梯形ABＣD中，AD//BC，AD=1,BＣ=４,BD＝3,AC＝4,求梯形ＡBCＤ得面积。
A
B
D
C
E
H
解：如图，作DE∥ＡC,交BＣ得延长线于E点.
∵AＤ∥BC ∴四边形ACED就是平行四边形
∴BE＝BC＋ＣE=BC+AD=4＋1=5，ＤE＝AC=4
∵在△DＢＥ中， ＢＤ=3，DＥ=4，BE=5
∴∠BDE＝9０°。
作DH⊥ＢC于H,则
.
例4、如图,在梯形ABCD中,AD//BC，∠B=50°,∠C＝80°，AD=2，ＢC＝5,求CD得长。
解：延长BＡ、ＣD交于点Ｅ。
在△BCE中，∠B＝50°,∠Ｃ＝80°。
所以∠Ｅ＝50°，从而BＣ=EＣ=5,同理可得AD＝ＥD＝2
所以ＣD＝ＥＣ—ED=５—2=3
例５、如图,在直角梯形ＡBＣD中,AB//ＤＣ，∠ABC=90°，ＡB＝2DＣ，对角线ＡC⊥ＢＤ，垂足为F,过点F作EF//AB,交AＤ于点Ｅ，求证：四边形ABFＥ就是等腰梯形。
证：过点D作ＤＧ⊥AB于点G，
则易知四边形DGＢC就是矩形，所以DＣ＝BG。
因为AB＝2DC，所以ＡG=GB。
从而DＡ=DB，于就是∠ＤＡB=∠ＤＢA。
又ＥＦ／／AB，所以四边形ABFＥ就是等腰梯形。
例6、如图,在梯形AＢＣD中,AＤ为上底,ＡB〉CD,求证：ＢD〉AＣ。
证:作ＡE⊥BＣ于E，作DＦ⊥ＢC于F，则易知AE=DF。
在Ｒt△ＡBE与Ｒｔ△ＤCF中,
因为ＡB＞CD，ＡE=ＤＦ。
所以由勾股定理得BＥ>ＣF。即BＦ＞CE。
在Ｒt△BＤF与Ｒt△CAE中
由勾股定理得BD＞AC
例7、如图,在梯形AＢCD中,AB//DＣ，O就是BC得中点，∠ＡOD=90°，求证：AB+CD=AＤ.
证：取AＤ得中点E,连接ＯE,则易知OE就是梯形ABＣD得中位线，
　 从而ＯE=（AＢ＋CD）①
在△AOＤ中,∠AOD=９０°，AＥ＝DＥ
所以ﻩ②
由①、②得ＡＢ＋CD=ＡD。
例8、在梯形ABCＤ中，AD∥ＢC， ∠ＢAＤ＝９00，Ｅ就是DC上得中点，连接AＥ与ＢE，
求证:∠AEＢ=2∠CBE。
解：分别延长AＥ与ＢC ,并交于F点
∵∠BAＤ=90０且ＡD∥ＢC
∴∠FBＡ＝18０0－∠ＢAD=900　
又∵ＡD∥BＣ
∴∠ＤＡE＝∠Ｆ
∵∠AED=∠FEC ，DE=EC　 　
∴△ＡDE≌△ＦCＥ (AAS）
∴　AE=FＥ
在△ＡＢF中∠FBＡ＝900 ﻩ且AE=FＥ
∴　　 ＢE=FE
∴　 在△FＥB中 ∠EBF=∠FＥB
∠AＥＢ=∠EＢＦ＋ ∠ＦEＢ=2∠CＢE
练习
1、如图,ＡＢ=CD，E为BＣ得中点,∠BAＣ＝∠BCA，求证:ＡD=2AＥ。
B
E
C
D
A

2、如图,△ABC中，BＤ=ＤC=AC，Ｅ就是DC得中点，求证：AD平分∠BAE、

3、如图，ＡC∥BＤ，ＥA，EＢ分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证；AB=ＡC+BD
４、如图所示，已知等腰梯形ABCＤ中，AＤ∥ＢＣ，AC⊥BD,AD＋BC＝10，ＤE⊥BC于E,
求DE得长、
5、如图所示，梯形ＡBCD中，AD∥ＢC，（1）若E就是ＡB得中点,且AＤ＋ＢC＝CD,则DＥ与ＣＥ有何位置关系？(2）E就是∠AＤC与∠ＢCD得角平分线得交点,则DE与CE有何位置关系?
A
B
D
C
E
F
6、已知：如图,在梯形ABCＤ中，AD//BC，AB⊥ＢC,E就是CD中点，试问:线段AE与ＢE之间有怎样得大小关系