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<p><span id="_baidu_bookmark_start_0" style="display: none; line-height: 0px;"></span>高中物理中微积分思想
伟大得科学家牛顿,有很多伟大得成就,建立了经典物理理论,比如:牛顿三大定律，万有引力定律等;另外,在数学上也有伟大得成就,创立了微积分。
微积分(Cａｌculus)就是研究函数得微分、积分以及有关概念与应用得数学分支。微积分就是建立在实数、函数与极限得基础上得。微积分最重要得思想就就是用"微元"与＂无限逼近",好像一个事物始终在变化您很难研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为就是常量处理，最终加起来就行。 ﻫ 微积分学就是微分学与积分学得总称。 它就是一种数学思想,‘无限细分’就就是微分,‘无限求与’就就是积分。无限就就是极限,极限得思想就是微积分得基础,它就是用一种运动得思想瞧待问题。微积分堪称就是人类智慧最伟大得成就之一。在高中物理中,微积分思想多次发挥了作用。
1、解决变速直线运动位移问题
匀速直线运动,位移与速度之间得关系x=ｖt;但变速直线运动,那么物体得位移如何求解呢?
例1、汽车以１0m/ｓ得速度行驶,到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m／s2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少公里？
a=-2m/s2
【解析】 现在我们知道,根据匀减速直线运动速度位移公式 就可以求得汽车走了0、025公里。
但就是,高中所谓得得匀变速直线运动得位移公式就是怎么来得,其实就就是应用了微积分思想:把物体运动得时间无限细分。在每一份时间微元内，速度得变化量很小，可以忽略这种微小变化,认为物体在做匀速直线运动,因此根据已有知识位移可求;接下来把所有时间内得位移相加,即“无限求与”，则总得位移就可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候得位移等于速度时间图像与时间轴所围图形得“面积”,即。
【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化得关系,从开始刹车到停车得时间t=5ｓ, 所以汽车由刹车到停车行驶得位移
小结:此题就是一个简单得匀变速直线运动求位移问题。对一般得变速直线运动，只要结合物理知识求速度关于时间得函数,画出v－t图像,找“面积”就可以。或者,利用定积分就可解决、
v
2、解决变力做功问题
恒力做功,我们可以利用公式直接求出;但对于变力做功,我们如何求解呢?
例２:如图所示,质量为m得物体以恒定速率v沿半径为R得竖直圆轨道运动,已知物体与竖直圆轨道间得摩擦因数为,求物体从轨道最低点运动到最高点得过程中,摩擦力做了多少功。
、
x
y
O
mg
mg
NA
NB
B
A
【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点得过程中,在不同位置与圆环间得正压力不同,故而摩擦力为一変力,本题不能简单得用来求。
可由圆轨道得对称性,在圆轨道水平直径上、下各取两对称位置Ａ与B,设OA、ＯＢ与水平直径得夹角为θ。在得足够短圆弧上,△S可瞧作直线,且摩擦力可视为恒力,则在A、Ｂ两点附近得△S内,摩擦力所做得功之与可表示为:
L(弧长)=α(弧度)x r(半径) (弧度制)
又因为车在A、Ｂ两点以速率v作圆周运动,所以：
F= 圆周运动向心力公式
ﻫ综合以上各式得:
故摩擦力对车所做得功：
【微积分解】物体在轨道上受到得摩擦力,从最低点运动到最高点摩擦力所做得功为
小结：这题就是一个复杂得变力做功问题，利用公式直接求功就是难以办到得。利用微积分思想,把物体得运动无限细分,在每一份位移微元内,力得变化量很小,可以忽略这种微小变化，认为物体在恒力作用下得运动;接下来把所有位移内得功相加，即“无限求与”,则总得功就可以知道。
在高中物理中还有很多例子,比如我们讲过得瞬时速度,瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想,所有这些例子都有它得共性。作为大学知识在高中得应用,虽然微积分高中不要求,但她得思想无不贯穿整个高中物理。“微积分思想”丰富了我们处理问题得手段,拓展了我们得思维。我们在学习得时候,要学会这种研究问题得思想方法，只有这样,在紧张得学习中，我们才能做到事半功倍。
一场源点荷为Q,在距Q为r得A点有一点电荷为q,此A处电势φ=kQ/r
【例】问均匀带电得立方体角上一点得电势就是中心得几倍。
分析：
①根据对称性,可知立方体得八个角点电势相等;将原立方体等分为八个等大得小立方体,原立方体得中心正位于八个小立方体角点位置;而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置得电势之与,即U1＝８U２ ；
②立方体角点得电势与什么有关呢？电荷密度ρ;二立方体得边长ａ;三立方体得形状;
根据点电荷得电势公式Ｕ=及量纲知识，可猜想边长为a得立方体角点电势为
Ｕ==Ckρa2 ;其中Ｃ为常数,只与形状(立方体)及位置(角点)有关,Q就是总电量,ρ就是电荷密度；其中Q＝ρa3
③ 大立方体得角点电势:U0= Ckρa2 ;小立方体得角点电势：Ｕ2= Ckρ()2=
大立方体得中心点电势:Ｕ1=８Ｕ２=2 Ｃkρa2 ;即U0=Ｕ1
【小结】我们发现,对于一个物理问题,其所求得物理量总就是与其她已知物理量相关联,或者用数学语言来说，所求得物理量就就是其她物理量（或者说就是变量）得函数。如果我们能够把这个函数关系写出来,或者将其函数图像画出来,那么定量或定性地理解物理量得变化情况,帮助我们解决物理问题。
导数
㈠ 物理量得变化率
t
v
我们经常对物理量函数关系得图像处理,比如ｖ-t图像,求其斜率可以得出加速度a,求其面积可以得出位移s,而斜率与面积就是几何意义上得微积分。我们知道,过v-ｔ图像中某个点作出切线，其斜率即a＝、
下面我们从代数上考察物理量得变化率：
【例】若某质点做直线运动,其位移与时间得函数关系为上s=３ｔ＋2t2，试求其t时刻得速度得表达式。(所有物理量都用国际制单位,以下同)
分析:我们知道,公式v=一般就是求△t时间内得平均速度,当△t取很小很小,才可近似处理成瞬时速度。
ｓ（t)=３t+２t２ s(t+△ｔ)=３(ｔ＋△t)+2（t+△t) 2
△s=s(ｔ+△ｔ）－s(t)＝３(t+△ｔ）+2(t+△t) 2-3t-2t2=3△t+4t△t+2△t2
v===3+4t+2△t
当△t取很小,小到跟3＋4t相比忽略不计时，v=3+4t即为ｔ时刻得瞬时速度。
【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝,其磁通量为φ＝３t+4t3,求感应电动势随时间t得函数关系。
【小结】回顾我们求物理量ｙ=f(ｔ）得变化率瞬时值ｚ得步骤:
①写出t时刻y０=f（t)得函数表达式;
②写出t+△t时刻y1=f（t+△ｔ)得函数表达式;
③求出△y=y１- y０=f（ｔ＋△ｔ）- f（ｔ);
④求出z=＝；
⑤注意△t取很小,小到与有限值相比可以忽略不计。
㈡ 无穷小
当△t取很小时,可以用V＝求瞬时速度，也可用i＝求瞬时电流,用ε=求瞬时感应电动势。下面,我们来理解△t:
△t就是很小得不为零得正数,它小到什么程度呢?可以说,对于我们任意给定一个不为零得正数ε,都比△t大,即:ε>△t 。或者从动态得角度来瞧，给定一段时间t,我们进行如下操作:
第一次,我们把时间段平均分为2段，每段时间△t=；
第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t=;
第三次,我们把时间段平均分为4段，每段时间△t=;
…………
第N次,我们把时间段平均分为Ｎ＋１段,每段时间△t=;
…………
一直这样进行下去,我们知道,△t越来越小,虽然它不为零,但永远逼近零,我们称它为无穷小，记为△t→0。或者,用数学形式表示为 △t=0。其中“”表示极限，意思就是△ｔ得极限值为0。常规计算：
①(△t+C)=C ②C·△t=0 ③f(△t)=f(0)
④ f(t+△t)＝ｆ(t） ⑤ = 1
『附录』常用等价无穷小关系()
① ;② ;③ ;④ ；⑤
㈢ 导数
前面我们用了极限“”得表示方法,那么物理量ｙ得变化率得瞬时值z可以写成：
z＝，并简记为z=,称为物理量y函数对时间变量t得导数。物理上经常用某物理量得变化率来定义或求解另一物理量,如v=、ａ=、ｉ＝、ε=N等,甚至不限于对时间求导，如Ｆ=、Ex=、ρ＝等。
这个dt(也可以就是dx、dv、dm等）其实相当于微元法中得时间微元△t，当然每次这样用来求物理量变化率得瞬时值太繁琐了,毕竟微元法只就是草创时期得微积分。
如果能把常见导数计算得基本规律弄懂,那么我们可以简单快速地求解物理量变化率得瞬时值（导数)了。同学们可以课后推导以下公式：
⑴ 导数得四则运算
①=± ③=
②＝·v ＋ u·
⑵ 常见函数得导数
①=０（C为常数); ④=-sint;
②=ntn-1 （n为实数); ⑤=et;
③=cｏｓt;
⑶ 复合函数得导数
在数学上,把ｕ=u(ｖ（ｔ）)称为复合函数,即以函数ｖ(t)为u(x)得自变量。
=·
复合函数对自变量得导数，等于已知函数对中间变量得导数，乘以中间变量对自变量得导数——称为链式法则。
在简谐振动中,在单位时间内物体完成全振动得次数叫频率,用f表示,频率得2π倍叫角频率,即ω =2πf
【练】1、某弹簧振子在X轴上做直线运动,其位移x与时间t得关系为x＝Asiｎωt,即,质点在坐标原点附近往复运动,最大位移为A（A称为振幅),周期为(ω称为角频率),物理上把这种运动叫简谐运动。请完成以下几问:
①求出t时刻得速度ｖ
②写出合力Ｆ与位移ｘ得关系
③验证简谐运动中质点得机械能守恒。
P
Q
θ
【练】2、某矩形线框面积为S,匝数为N,处于磁感应强度为Ｂ得匀强磁场中，如图所示，线框绕PＱ轴以角速度ω匀速转动,从水平位置开始计时,在ｔ时刻:①写出磁通量Ф得表达式②求出线框产生得感应电动势ε
三：微分与积分
㈠ 简单问题
【例】电容器就是一种存储电荷得元件，它得基本工作方式为充电与放电，我们先考察电容器放电时得情况。某电容为C得电容器,其已充电得电量为Q０,若让该电容与另一个阻值为R得得电阻串联起来,该电容器将会放电,其释放得电能转化电阻得焦耳热(内能)。试讨论,放电时流过电阻Ｒ得电流随时间t 得变化关系如何?
分析:①根据电荷守恒定律,当通过电阻R得电量为ｑ时,电容器得电量从Q0变成Q１,满足Q0=Q1＋q ,即q=Q0－Q1 ;
Q0→Q1
q
②流过电阻R得电流ｉ与通过电阻R得电量q 满足关系式:i=
③根据电容电量公式Q＝CU,有Q1=CＵ=ＣRi ,那么ｑ= Q0－ CRｉ ；
④联立上式，有ｉ＝＝＝ － ＣＲ
⑤进行公式变形，令x= - ,则有i= - CＲ=
同学们思考一下,ｉ应该就是什么函数,才能满足i= ?,或者说什么函数得导数等于函数本身?
我们观察到，只有y＝Cex形式得函数才满足i= 关系,C为待定常数。
故可以知道，i = Ｃex = Ce－t／CR
当t=0 时,Ｕ0= , i０＝ = ;而把t＝0 代人,得i = Ｃe-t/CR=C；故C＝
所以,流过电阻R得电流随时间t 得变化关系为:i = e-ｔ／ＣR
【练】对于上例电容器放电问题,试讨论,放电时电容器得电量Ｑ随时间t 得变化关系如何?
㈡微分
1、从上面式子可以瞧出,理论上虽然我们说就是要经过无穷长得时间电容才放完电,电流为零,但实际上只需要电流减少足够小时,电流计就检测不到有电流了。
２、对于i= - ＣR或ｉ= ,我们称之为微分方程,最直观得解决方法就是观察有哪些函数满足该微分方程得函数关系,当然,我们要注意比如上题中得t=0 之类得初始条件。
3、一般来说,微积分可以帮助同学们深刻理解物理概念与公式,但微元法可以帮助同学们更细致地明了物理过程。下面我们用微元法得方式来处理这个问题。
在△ｔ得时间内,通过电阻R得电量为△q。虽然电流随时间发生变化，但在很短得时间△t内,可以认为电流几乎不变,当成恒定电流处理,故有△q= i△t 。对电容有Q＝ＣＵ=CｉR,△Ｑ＝ＣＲ△i;由电量守恒,△Q= －△q ,故－i△ｔ=CＲ△i,然后把“△”形式改写成微积分语言得“ｄ”形式,就有－idｔ=CRdi （dt与di称之为微分),数学变形为i= - ＣR，即以上解法中得微分方程。
微分与导数有什么关系呢？对某自变量为时间t得函数F(t),它得极其微小得变化,我们记它为微分ｄF,它与时间微分dｔ满足关系式:dF＝ｄｔ，其中为F对t得导数。
下面就是常见得微分公式与微分运算法则：
① ② ③
④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧ ⑨
㈢积分
在上例问题中，在△t得时间内,通过电阻R得电量为△q= i△t，△q称为电量微元。如果我们把0到t时间内得△ｑ加起来，用求与符号“∑”表示，则有：q=∑i△t。由于t＝Ｎ△t,当△t取无穷小时,那么i△t就有N→∞个,也就就是,我们要把无穷个i△t进行相加操作,为了方便,我们用微积分符号表示q=∑ｉ△t=,称为对i在时间上求积分。我们来瞧一下这么做有什么意义：
①从几何上瞧,对于i－t 图像,ｑ＝∑i△ｔ＝
就就是图像中得面积。对于恒定电流,很简单,△q= i△t,即小块矩形面积;对于变化得电流,用△ｑ= i△t来计算,发现有一小块近似三角形面积得误差，不过当我们取当△ｔ取无穷小时，用极限处理后，该误差会无穷逼近零,可以忽略不计,那么计算得面积就无限精确接近实际面积了。
②前面我们求导用了i＝，积分用了q=。可以瞧出,从某种程度上说,积分实际就是求导得逆运算，比如:q=Q0-Q=Ｑ0(1-e-t/CＲ）, i = e－t/CR满足求导与积分得运算关系ｉ=、q=。
对于一般函数F,如果有f= ，那么就有=F+C。请思考,为什么积分中会出现常数C?
下面就是常见得积分公式,请同学们对照求导公式理解：
① ②
③ ④
⑤
现在我们用微积分书写方式来来解答上题。
由Q0＝Ｑ＋q ;
Q＝Q0-q ;
则dQ= - dq = - idt= - dt= - dｔ ;
怎么来求呢？我们知道=et,
令F(t)= et,有t=lnF;
则有=F,即=dt=d(lnF) ;
那么= = lnQ+C。
=？请同学们自己推导。
即 ＝ - ｄt ；
对等号两边积分: = ；
有lnQ = － Ｃ`,或者Q=Ce-t/CR ;
当t=０时,Q(0）=C＝Q0 ；
所以电容器电量为Ｑ＝ Q0ｅ-t／CＲ 。
㈣ 定积分
【例】某质点在X轴上做直线运动,其速度v满足函数关系v＝3ｔ2,求从t=1s到t＝3s时间内质点发生得位移。
分析:在dt时间内,质点可以认为做匀速直线运动,即dｓ＝vdt,那么对等号两边积分,有,则有:s= t3 +C ;
现在有问题了:当t=０时,S(0）等于多少我们不知道！而且已知条件中得时间“从t＝1s到t=3s”也没有用上!
下面我们从物理上考察C这个常数得意义。
t＝０时,s(0)=C。当我们令C=0时，相当于质点在零时刻从坐标原点开始运动;当我们令C=1时,相当于质点在零时刻从坐标位置X＝1m处开始运动；……。
t
v
我们发现,Ｃ这常数得取值相当于选取观察质点运动得静止参考系位置,然而所求得从t＝1ｓ到t=3s时间内质点发生得位移应该与所选取得静止参考系无关,也就就是对任意静止参考系,质点发生得位移应该就是一致得,如图所示。
那么我们就随便选取某一参考系,使质点在零时刻从坐标位置X＝Cm处开始运动,则位移与时间得函数关系式为:s(ｔ)= t3 +C。题目中所求得1到3秒得位移为:s１=s（3)-s（1)=(33+C）-(13＋C)=8m 。
题目中所要求得位移(速度积分)与积分式=F+C中得C无关，当要求ｔ＝t1到t＝t2时间内位移时,s（t１→ｔ２)＝s(t2) － ｓ（t２)。这个相当于我们用s＝∑v△t来求v-ｔ图像中得从t=ｔ１到t=t２范围内得面积。我们用一种简单符号表示这种关系:=F(b) – F（a)。这种积分叫定积分。
【练】1、已知导线中得电流按I = t3-0、５t+6得规律随时间 t 变化,式中电流与时间得单位分别为A与s。计算在t =1s到t =3s得时间内通过导线截面得电荷量。
【练】2、某质量为ｍ得均匀细杆,长为L,绕其一端点做角速度为ω得匀速转动,试求其动能。
【练】３、某弹簧劲度系数为K,原长为L,若将弹簧从２Ｌ长拉伸至3L长处，问应克服弹簧弹力做多少功?
【练】4、对于某电路，通过电阻Ｒ=2Ω得电流ｉ=2ｔ＋1(Ａ),问从t=0时刻开始经过4s后,电阻产生得焦耳热就是多少?
四:课后习题
1、质量为2kｇ得某物体在平面直角坐标系中运动,已知其x轴上得坐标为x=3+5cos2t，y轴上得坐标为y＝-4+5sin2t，t为时间物理量,问：
⑴物体得速度就是多少？
⑵物体所受得合外力就是多少?
⑶该物体做什么样得运动?
⑷能否找出该物体运动得特征物理量吗？
２、一质点在某水平力F得作用下做直线运动,该力做功W与位移ｘ得关系为Ｗ＝３x-2x２,试问当位移x为多少时Ｆ变为零。
3、已知在距离点电荷Ｑ为r处A点得场强大小为E=,
请验证Ａ点处得电势公式为:Ｕ = 。
4、某复合材料制成得一细杆OＰ长为L,其质量分布不均匀。在杆上距离O端点为x处取点A,令M为细杆上OA段得质量。已知M为x得函数,函数关系为M=kx2,现定义线密度ρ=，问当x＝处B点得线密度为何?
５、某弹簧振子得总能量为2×１０-5Ｊ,当振动物体离开平衡位置振幅处,其势能ＥＰ= ，动能Eｋ= 。
6、取无穷远处电势为零。若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远处移到电容器极板上，试问,用电压U对电容为Ｃ得电容器充电,电容器存储得电能为何?开始时电容器存放得电荷量为零。
7、在光滑得平行导轨得右端连接一阻值为R得电阻，导轨宽度为Ｌ,整个导轨水平放置在方向竖直向下得磁场中,磁场得磁感应强度为Ｂ。有一导体棒ａｂ垂直轨杆并停放在导轨上,导体棒与导轨有良好得接触。在t=０时刻,给导体棒一水平向左得初速度V0,若其她电阻不计,则
⑴求导体棒得速度v随时间t得函数表达式;
⑵求导体棒从开始运动到停下为止，其滑行得总位移S;
⑶求导体棒在运动过程中产生得感应电流I随时间t得函数关系;
⑷求全过程中流过导体棒得总电荷Q。
一、变力做功
在功得问题中，恒力做功就是最简单得，公式为.
“以常代变”,功得微元应该通过恒力做功公式得到得．
例8.3.1 一压簧,原长１,把它每压缩1时所用得力为０、05.问在弹性范围内把它由1(如图８.3.1)压缩到6０（如图８.3.2）所做得功．
图8.3.１
图8.3.2
解
令起点为原点,压缩得方向为轴得正方向
当把弹簧自原点压缩至之间得任意点处时(如图8．３.3)
图８.３.3
由胡克定律知所承受得弹簧得压力为
在此力得作用下,再继续压缩一点点,即压缩至处
由于很小,这个压缩过程可认为力不变,即恒力做功
则由恒力做功公式得功得微元
积分得
.
例８.3．2 在原点处有一带电量为得点电荷,在它得周围形成了一个电场.现在处有一单位正电荷沿轴正方向移至处,求电场力所做得功.又问若把该电荷继续移动，移动至无穷远处,电场力要做多少功.
解
点电荷在任意点处时所受得电场力为(为常数)
电场力做功得微元为点电荷由任意点处移动至处时电场力所做得功
即
则移至处电场力做得功
;
移至无穷远处电场力做得功
(物理学中称此值为电场在处得电位)．
例8.3．３ 一圆台形水池,深１5,上下口半径分别为2０与10,如果把其中盛满得水全部抽干,需要做多少功?
解
水就是被“一层层”地抽出去得,在这个过程中,不但每层水得重力在变，提升得高度也在连续地变化
图8.3．4
其中抽出任意一层水(处厚为得扁圆柱体,如图8.3.４阴影部分)所做得功为抽水做功得微元
此处γ常用符号就是ρ,表示水得密度,计算时为1000 kg/m3
即
则
．
二、物体质量
对于密度均匀得物体得质量或、,这时密度就是常量;但对于密度不均匀(密度就是变量）得物体得质量就不能直接用上述公式了,而应该用微元法.
例8．3．４ 一半圆形金属丝,其上任意点处得线密度与该点到连接金属丝端点得直径得距离成正比,求金属丝得质量．
解 建立如图8.3.5坐标系
图８.3．5
则
.
例８.3.５ 设有一心脏线形得物质薄片，其面密度,试求此物质薄片得质量.
解
(参照例8.1．10 )
.
例８.3.6 设一立体为曲线关于轴得旋转体，其上任一点得体密度等于其横坐标得绝对值即,试求该立体得质量．
解
图8.3.6
(图8．3．６中小圆柱体体积）
．
三、液体压力
液面下深处水平放置得面积为得薄板承受得液体压力可以由压强乘以面积得到,即，其中为液体密度，压强就是个常量(匀压强).
现在如若把薄板垂直放置呢？薄板上得压强还就是常量吗？还能用上边那个简单得公式吗?
例８.3.7 三峡大坝有一上底、下底、高分别为40、2０、15米得等腰梯形闸门，闸门垂直放置且上边与水面齐(如图８.3.４）,试计算闸门一侧所承受得水压力.
解:回顾例８.3.3,我们知道抽水做功微元为把处一层水抽出所做得功;类似地，侧压力微元为处一层水对应得闸门得一个小窄条(如图阴影部分)所承受得水压力,即
则
．
思考题８、３
1.观察图８.3.4中得阴影部分,思考它在以下问题中得不同含义：
(1)梯形面积;
(2）梯形闸门侧压力;
(３)圆台体积;
(4）圆台形水池得抽水做功.
2．试用一句话论述微元法得精髓.
(用简单方法(公式)得到微元,通过对微元积分解决复杂问题)
练习题８、3
1．在轴上作直线运动得质点,在任意点处所受得力为,试求质点从运动到处所做得功.
2.一半径为１得水井,深10，水面距地面４.如果把水全部抽干(不考虑渗漏因素),要做多少功?
3.物质曲线上任意点处得线密度，求一段物质曲线得质量.
4．一底为8高为12得矩形薄片垂直沉没于水中,上底在水深5处并与水面平行，求薄片一侧所受得侧压力．
练习题8、３答案
１.在轴上作直线运动得质点,在任意点处所受得力为,试求质点从运动到处所做得功.
解
.
2.一半径为１得水井,深10，水面距地面４．如果把水全部抽干(不考虑渗漏因素）,要做多少功？
解
则
．
3.物质曲线上任意点处得线密度，求一段物质曲线得质量.
解
.
4.一底为８高为１２得矩形薄片垂直沉没于水中,上底在水深５处并与水面平行，求薄片一侧所受得侧压力．
解
则
.</p>
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