【福建省厦门市】2017届高三一模数学(文科)试卷-答案.pdf

1/14 福建省福建省厦门市厦门市 2017 届届高高三三一一模模数学（文科）试卷数学（文科）试卷 答答 案案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 15ADACA 610BDBCA 1112CB 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13102 1430 155152 165 三、解答题：本大题共 5 小题，每小题分数见旁注，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17解：（）函数()sin()(0,0,|)2f xMxM的图象与 x 轴的两个相邻交点是 A（0，0），B（6，0），sin0，0，且12622T，6，()sin()6f xMx C 是函数 f（x）图象的一个最高点，a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，满足()(sinsin)()sinacCAabB，()()()ac caab b，整理可得222122abcab，即1cos2C ，23C 由题意可得CACB，6A，设 AB 的中点为 D，则 CDAB，且点 D（3，0），点 C（3，M），根据3tantan633CDMAAD，3M，()3sin()6f xx（）将函数()3sin()6f xx的图象向左平移 1 个单位后，纵坐标不变，可得3sin(1)3sin()666yxx的图象；再把横坐标伸长为原来的3倍，得到函数31()3sin()3sin()6626g xxx的图象 令32 2 2262xkk，求得284 4 33kxk，故函数 g（x）的单调递减区间为284,4 33kk，kZ 2/14 18 解：（）估 计 本 市 一 个18岁 以 上 青 年 人 每 月 骑 车 的 平 均 次 数 为(20 540 1540 25200 35200 45300 55)(204040200200300)42.75；（）列联表：骑行爱好者 非骑行爱好者 总计 青年人 700 100 800 非青年人 800 200 1 000 总计 1 500 300 1 800 221800(100 800700 200)187.8791500 300 800 1000K，能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关 19证明：（）连结 BD，记ACBDO，取 DE 的中点 G，连结 OG、FG，点 O、G 分别是 BD 和 ED 的中点，12OGBE，又12AFBE，OG AF，四边形 AOGF 是平行四边形，AOFG，即ACFG，又ACDEF面，FGDEF平面，ACDEF平面 解：（）在面 ABEF 中，过 F 作FHAB，交 BE 于点 H，由已知条件知，在梯形 ABEF 中，2ABFH，3EF，1EH，222FHEFEH，即 FEEB，从而 FEAF，ACDEF平面，点 C 到平面 DEF 的距离为2 1 1AFBH，90AFE，11313222AEFSAFEF 三棱锥 CDEF 的体积113323323C DEFA DEFD AEFAEFVVVSAD 20解：（）2()(2)1exfxxa x，令2(2)10(*)xa x，3/14 （1）2(2)40a，即0a 或4a 时，方程（*）有 2 根，21242aaax，22242aaax，函数 f（x）在（，x1），（x2，+）递增，在（x1，x2）递减；（2）0 时，即04a时，()0fx在 R 上恒成立，函数 f（x）在 R 递增，综上，0a 或4a 时，函数 f（x）在（，x1），（x2，+）递增，在（x1，x2）递减；04a时，函数 f（x）在 R 递增；（）()0fx有 2 根 x1，x2且0a，4a 且121221xxax x，10 x，221()0exf xmx 恒成立等价于2222211()1exf xxaxamxx恒成立，即22221mxx恒成立，令2(2)tat，则22242aaax，令24()2ttg t，2t 时，函数24()2ttg t递增，()(2)1g tg，21x，222212xx，故 m 的范围是2，+）21解：（）由题意的 A、B 两点关于 y 轴对称，3Bx，圆心 E 到 AB 的距离为 1，12By，1(3,)2B，代入椭圆方程得23114a，解得24a，3e=2（）设 M（x1，y1），N（x2，y2），N（x2，y2）圆 E 交 y 轴负半轴于点1(0,)2D，4/14 当直线 MN 斜率存在时，设其方程为：12ykx，221214ykxxy消去 y 得22(1 4)430kxkx 122414kxxk，122314x xk，直线 MN的方程121112()yyyyxxxx，依据椭圆的对称性，若直线 MN过定点，定点一定在 y 轴上，令0 x，1221112122 11211212121211()()()212222x kxx kxx yyx yy xkx xyyxxxxxxxx 当直线 MN 斜率不存在时，直线 MN的方程为0 x，显然过点（0，2）直线 MN过定点（0，2）选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22解：（）依题意得，曲线 C1的普通方程为22(2)7xy，曲线 C1的极坐标方程为24 cos30，直线 l 的直角坐标方程为3yx（）曲线 C2的直角坐标方程为22(4)16xy，由题意设1(,)3A，2(,)3B，则2114cos30，即211230，得13或11（舍），28cos43，则12|1AB，C2（4，0）到 l 的距离为|4 3|2 34d 以 AB 为底边的PAB 的高的最大值为42 3 则PAB 的面积的最大值为11(42 3)232 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23解：（）1m，21,1()1,121,xmxf xmxmxmxm，5/14 作出函数 f（x）的图象，如图所示：由()4f x 的解集为0|4x xx或及函数图象，可得2 0+142414mm ，得3m（）由（）得42,1()2,1324,3x xf xxxx，f（x）的最小值为 2 关于 x 的不等式2()4f xaa有解，则224aa，即260aa，即(3)(2)0aa，3a，或2a，实数 a 的取值范围3,|2 a aa或 6/14 福建省福建省厦门市厦门市 2017 届届高高三三一一模模数学（文科）试卷数学（文科）试卷 解解 析析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1【考点】交集及其运算【分析】解不等式求出集合 A，求定义域得出 B，再根据交集的定义写出 AB【解答】解：集合 A=x|x23x+20=x|1x2，B=x|y=lg（3x）=x|3x0=x|x3，则 AB=x|1x2 故选：A 2【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的渐近线方程得到 a，b 的关系，再根据离心率公式计算即可【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线为，=，双曲线的离心率为 e=故选：D 3【考点】函数的图象【分析】由已知中函数的图象，求出 f（1），f（3）的值，可得答案【解答】解：由已知中的函数 f（x）的图象可得：f（1）=2，f（3）=1，故 f（1）+f（3）=3，故选：A 4【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】利用古典概率计算公式计算即可【解答】解：P（恰有 1 个英语翻译，1 个俄语翻译）=，故选：C 5【考点】任意角的三角函数的定义【分析】利用任意角的三角函数的定义求得 tan 的值，再利用两角差的正切公式求得 tan（）的值 【解答】解：角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点（，2），7/14 tan=，则 tan（）=3，故选：A 6【考点】程序框图【分析】由题意，S 表示莞高，T 表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，即可得出结论【解答】解：由题意，S 表示莞高，T 表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故处应填 S2T？故选 B 7【考点】简单线性规划【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出 z 的最大值即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得 A（3，4），由 z=4x+3y 得：y=x+z，结合图象得直线过 A（3，4）时，z 最大，z 的最大值是 24，故选：D 8【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平行四边形的性质，利用平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出答案【解答】解：如图所示，平行四边形 ABCD 中，AB=3，AD=2，8/14 =，=，=+=，=+=若=12，则=（）（）=+=32+22+32cosBAD=12，cosBAD=，BAD=故选：B 9【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据函数的对称性得到函数 f（x）是偶函数，根据 f（2）=f（2）=0，问题转化为|2m|2，求出 m 的范围即可【解答】解：函数 y=f（x1）的图象关于直线 x=1 对称，即函数 y=f（x）的图象关于 y 轴对称，函数 f（x）是偶函数，而 f（2）=0，故 x2 时，f（x）0，x2 时，f（x）0，故 f（2m）0，即|2m|2，解得：m4 或 m0，故选：C 10【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据四棱锥的三视图知该四棱锥底面为矩形，高为的四棱锥；还原出长方体，设该四棱锥的外接球球心为 O，求出外接球的半径，计算外接球的表面积【解答】解：根据四棱锥的三视图，知该四棱锥底面为矩形，高为的四棱锥；且侧面 PAB底面 ABCD，如图所示；还原出长方体是长为 2，宽为 1，高为 9/14 设该四棱锥的外接球球心为 O，则 过 O 作 OM平面 PAB，M 为PAB 的外心，作 ON平面 ABCD，则 N 为矩形 ABCD 对角线的交点；OM=，ON=；外接球的半径满足 R2=ON2+AN2=+=，外接球的表面积为 S=4R2=4=故选：A 11【考点】抛物线的简单性质【分析】先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得 2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=a2+b22abcos，再根据的最小值为 1，即可得到答案【解答】解：如右图：过 A、B 分别作准线的垂线 AQ、BP，垂足分别是 Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接 AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形 ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b 由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos，的最小值为 1，a2+b22abcos，=时，不等式恒成立 故选：C 10/14 12【考点】直线与圆的位置关系【分析】由已知得到关于数列an的递推式，进一步得到Sn+2是以 a1+2 为首项，2 为公比的等比数列求出数列an的前 n 项和为 Sn，进一步求得数列an的通项，然后利用错位相减法求得 a1+2a2+3a3+nan，代入 a1+2a2+3a3+nanan2+2，分离参数，求出得最大值得答案【解答】解：圆心 O（0，0）到直线 y=x2，即 xy2=0 的距离 d=2，由 d2+=r2，且，得 22+Sn=2an+2，4+Sn=2（SnSn1）+2，即 Sn+2=2（Sn1+2）且 n2；Sn+2是以 a1+2 为首项，2 为公比的等比数列 由 22+Sn=2an+2，取 n=1，解得 a1=2，Sn+2=（a1+2）2n1，则 Sn=2n+12；（n2）a1=2 适合上式，令 Tn=a1+2a2+3a3+nan=12+222+323+（n1）2n1+n2n，两式作差可得：=（1n）2n+12，由 a1+2a2+3a3+nanan2+2 对任意 nN*恒成立，可得（n1）2n+1+222n+2 对任意 nN*恒成立，即 对任意 nN*恒成立，当 n=1 时，=0；由，知，n=2 时，=0，11/14 当 n=2、3 时，最大为 的取值范围为：故选：B 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：z（1+i）=2i（i 为虚数单位），z（1+i）（1i）=（2i）（1i），2z=13i，则 z=，|z|=故答案为：14【考点】等差数列的前 n 项和【分析】设等差数列an的公差为 d，根据 a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，可得 3d=15，3a1+6d=15，解得 d，a1令 an0，解得 n，进而得出【解答】解：设等差数列an的公差为 d，a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，3d=15，3a1+6d=15，解得 d=5，a1=15 an=155（n1）=205n，令 an=205n0，解得 n4 则 Sn的最大值为 S4=S3=315+=30 故答案为：30 15直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC=90，BC=2，CC1=1，直线 BC1与平面 A1ABB1所成角等于 60，则三棱柱 ABCA1B1C1的侧面积为为_【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】由题意，BC1=，A1BC1=60，求出底面的边长，即可求出三棱柱 ABCA1B1C1的侧面积【解答】解：由题意，BC1=，A1BC1=60，A1C1=，A1B=，12/14 AB=，三棱柱 ABCA1B1C1的侧面积为（2+）1=，故答案为 16【考点】特称命题【分析】根据题意得出 k，设 f（x）=，其中 x2；利用导数求出 f（x）在 x2 的最小值，即可求出正整数 k 的最小值【解答】解：x0（2，+），x020，k（x02）x0（lnx0+1）可化为 k，设 f（x）=，其中 x2；则 f（x）=；令 f（x）=0，得 x42lnx=0，设 g（x）=x42lnx，其中 x2；则 g（x）=1=，当 x2 时，g（x）0，g（x）是单调增函数，g（x）g（2）；且 g（2）=242ln2=220.69310，g（5）=542ln5=121.60940，g（8）=842ln8=46ln2=460.69310，g（9）=942ln9=54ln3=541.09860；g（x）在（8，9）内有零点，且在零点处 f（x）取得最小值 m；f（8）=（3ln2+1）=（30.6931+1）4.1m，f（9）=（2ln3+1）=（21.0986+1）4.1m；k4.1；即正整数 k 的最小值为 5 故答案为：5 13/14 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换；由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】（）由函数 y=Asin（x+）的部分图象求解析式，由周期求出，由特殊点的坐标求出 的值，解直角三角形求出 A，可得 f（x）的解析式（）利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律求得 g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）的单调递减区间 18【考点】独立性检验的应用【分析】（）利用组中值，即可估计本市一个 18 岁以上青年人每月骑车的平均次数；（）根据条件中所给的数据，列出列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论 19【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（）连结 BD，记 ACBD=O，取 DE 的中点 G，连结 OG、FG，推导出四边形 AOGF 是平行四边形，从而 ACFG，由此能证明 AC平面 DEF（）在面 ABEF 中，过 F 作 FHAB，交 BE 于点 H，推导出 FEEB，从而 FEAF，三棱锥 CDEF的体积 VCDEF=VADEF=VDAEF，由此能求出三棱锥 CDEF 的体积 20【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（）问题等价于 m=恒成立，即 m+2x2+1 恒成立，令 t=a2（t2），则 x2=，令 g（t）=，根据函数的单调性求出 g（t）的最小值，从而求出 m 的范围即可 21【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（）由题意的 A、B 两点关于 y 轴对称，圆心 E 到 AB 的距离为 1，求出 B 坐标代入椭圆方程得a 即可（）设 M（x1，y1），N（x2，y2），N（x2，y2）圆 E 交 y 轴负半轴于点 D（0，），当直线 MN 斜率存在时，设其方程为：y=kx，直线 MN的方程，依据椭圆的对称性，若直线MN 过 定 点，定 点 一 定 在y轴 上，令x=0，=选修 4-4：坐标系与参数方程 22【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 14/14 【分析】（）利用参数方程与普通方程转化，求得 C1的普通方程，将 l 的极坐标方程为转化成曲线 C1的极坐标方程；（）由 C2的直角坐标方程为（x4）2+y2=16，求得 12213=0，代入求得 1，2，求得丨 AB 丨，AB为底边的PAB 的高的最大值为 4+2利用三角形的面积公式，即可求得PAB 面积的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（）作出 f（x）的图象，结合题意可得，由此求得 m 的值（）求得 f（x）的最小值为 2，可得 2a2+a4，由此求得 a 的范围