全国中学生物理竞赛——纯电阻电路的简化和等效变换.doc

例析物理竞赛中纯电阻电路得简化与等效变换
李进
山东省邹平县第一中学
计算一个电路得电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路得串并联关系。实际电路中，电阻得联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观得串并联电路。本节主要介绍几种常用得计算复杂电路等效电阻得方法。
1、等势节点得断接法
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称得点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间得导线或电阻或不含电源得支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源得支路将等电势节点连接起来，且不影响电路得等效性。
这种方法得关键在于找到等势点，然后分析元件间得串并联关系。常用于由等值电阻组成得结构对称得电路。
【例题1】在图8-4甲所示得电路中，R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，试求A、B两端得等效电阻RAB 。
模型分析：这就是一个基本得等势缩点得事例，用到得就是物理常识就是：导线就是等势体，用导线相连得点可以缩为一点。将图8-4甲图中得A、D缩为一点A后，成为图8-4乙图。

答案：RAB = R 。
【例题2】在图8-5甲所示得电路中，R1 = 1Ω ，R2 = 4Ω ，R3 = 3Ω ，R4 = 12Ω ，R5 = 10Ω ，试求A、B两端得等效电阻RAB 。
模型分析：这就就是所谓得桥式电路，这里先介绍简单得情形：将A、B两端接入电源，并假设R5不存在，C、D两点得电势相等。
因此，将C、D缩为一点C后，电路等效为图8-5乙

对于图8-5得乙图，求RAB就是非常容易得。事实上，只要满足=得关系，该桥式电路平衡。
答案：RAB = Ω 。
【例题3】在如图所示得有限网络中，每一小段导体得电阻均为R ，试求A、B两点之间得等效电阻RAB 。

A

B

D

C

【例题4】用导线连接成如图所示得框架，ABCD就是正四面体，每段导线得电阻都就是1。求AB间得总电阻。
2、电流分布法
设有电流I从A点流入、B点流出，应用电流分流得思想与网络中两点间不同路径等电压得思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路得电流为未知量得方程组，解出各支路电流与总电流I得关系，然后经任一路径计算A、B两点间得电压，再由即可求出等效电阻。
A
B
【例题1】7根电阻均为r得电阻丝接成如图所示得网络，试求出A、B两点之间得等效电阻。
【例题2】10根电阻均为r得电阻丝接成如图所示得网络，试求出A、B两点之间得等效电阻。
C
D
A
B
【例题3】8根电阻均为r得电阻丝接成如图所示得网络，C、D之间就是两根电阻丝并联而成，试求出A、B两点之间得等效电阻。
电流叠加原理：直流电路中，任何一条支路得电流都可以瞧成就是由电路中各个电源分别作用时，在此支路中产生得电流得代数与。所谓电路中只有一个电源单独作用，就就是假设将其余电源均除去，但就是它们得内阻仍应计及。
【例题4】“田”字形电阻网络如图，每小段电阻为R，求A、B间等效电阻。
B
A

3、Y—△变换法
在某些复杂得电路中往往会遇到电阻得Y型或△，如图所示，有时把Y型联接代换成等效得△型联接，或把△型联接代换成等效得Y型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求Y型联接三个端纽得电压及流过得电流与△型联接得三个端纽相同。
⑴将Y型网络变换到△型电路中得变换式：

⑵将△型电路变换到Y型电路得变换式：

以上两套公式得记忆方法：
△→Y：分母为三个电阻得与，分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。
Y→△：分子为电阻两两相乘再相加，分母为待求电阻对面得电阻。
当Y形联接得三个电阻相等时，与之等效得△形联接得三个电阻相等，且等于原来得三倍；同样，当△联接得三个电阻相等时，与之等效得Y形联接得三个电阻相等，且等于原来得1/3。
【例题1】对不平衡得桥式电路，求等效电阻RAB 。
提示：法一：“Δ→Y”变换；
法二：基尔霍夫定律
【例题2】试求如图所示电路中得电流I。（分别应用两种变换方式计算）
【课堂练习】分别求下图中AB、CD间等效电阻。( 答案：0、5R; RPQ=4Ω)

4、无限网络
若 （a＞0）
在求x值时，注意到x就是由无限多个组成，所以去掉左边第一个对x值毫无影响，即剩余部分仍为x，这样，就可以将原式等效变换为，即。所以

这就就是物理学中解决无限网络问题得基本思路，那就就是：无穷大与有限数得与仍为无穷大。
⑴一维无限网络
【例题1】在图示无限网络中，每个电阻得阻值均为R ，试求A、B两点间得电阻RAB 。

解法一：在此模型中，我们可以将“并联一个R再串联一个R”作为电路得一级，总电路就是这样无穷级得叠加。在图8-11乙图中，虚线部分右边可以瞧成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即
RAB∥R + R = RAB
解这个方程就得出了RAB得值。
答案：RAB = R 。
解法二：可以，在A端注入电流I后，设第一级得并联电阻分流为I1 ，则结合基尔霍夫第一定律与应有得比例关系，可以得出相应得电流值如图8-12所示
对图中得中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有
(I − I1)R + (I − I1)R − I1R = 0
解得 I1 = I
很显然 UA − IR − I1R = UB
即 UAB = IR + IR = IR
最后，RAB = = R 。
【例题2】如图所示，由已知电阻r1、r2与r3组成得无穷长梯形网络，求a、b间得等效电阻Rab．（开端形）
【例题3】如图所示，由已知电阻r1、r2与r3组成得无穷长梯形网络，求a、b间得等效电阻Rab．（闭端形）
⑵双边一维无限网络
【例题4】如图所示，两头都就是无穷长，唯独中间网孔上缺掉一个电阻r2，求e、f之间得等效电阻。（中间缺口形）
【例题5】如图所示，两头都就是无穷长，唯独旁边缺一个电阻r2，求f、g之间得等效电阻、（旁边缺口形）
【例题6】如图所示，求g、f间得等效电阻。（完整形）

小结：一维无限网络利用网络得重复性。
⑶二维无限网络
【例题7】图为一个网格为正方形得平面无穷网络，网络得每一个节点都有四个电阻与上下左右四个节点分别相联，每个电阻大小均为R，由此，按左右、上下一直延伸到无穷远处．A与B为网络中任意两个相邻节点，试求A、B间得等效电阻RAB．
模型分析：如图，设有一电流I从A点流入，从无穷远处流出．由于网络无穷大，故网络对于A点就是对称得，电流I将在联接A点得四个电阻上平均分配．这时，电阻R（指A、B两节点间得电阻）上得电流为I/4，方向由A指向B．
同理，再设一电流I从无穷远处流处，从节点B流出．由于网络无穷大，B也就是网络得对称点，因此在电阻R上分得得电流也为I/4，方向也就是由A指向B．
将上述两种情况叠加，其结果将等效为一个从节点A流入网络，又从节点B流出网络得稳恒电流I，在无穷远处既不流入也不流出．每个支路上得电流也就是上述两种情况下各支路电流得叠加．因此，R电阻上得电流为I/2．所以A、B两节点间得电势差为：

【例题8】对图示无限网络，求A、B两点间得电阻RAB 。
【例题9】有一个无限平面导体网络，它由大小相同得正六边形网眼组成，如图所示。所有六边形每边得电阻为，求：
（1）结点a、b间得电阻。
（2）如果有电流I由a点流入网络，由g点流出网络，那么流过de段电阻得电流 Ide为多大。
解： （1）设有电流I自a点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有电流由a流向c，有电流由c流向b。再假设有电流I 由四面八方汇集b点流出，那么必有电流由a流向c，有电流由c流向b。
将以上两种情况综合，即有电流I由a点流入，自b点流出，由电流叠加原理可知
（由a流向c）
（由c流向b）
因此，a、b两点间等效电阻

（2）假如有电流I从a点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设

应该有
因为b、d两点关于a点对称，所以

同理，假如有电流I从四面八方汇集到g点流出，应该有

最后，根据电流得叠加原理可知

⑷三维无限网络
【例题10】假设如图有一个无限大NaCl晶格，每一个键电阻为r，求相邻两个Na与Cl原子间得电阻。
【例题11】在图示得三维无限网络中，每两个节点之间得导体电阻均为R ，试求A、B两点间得等效电阻RAB 。
当A、B两端接入电源时，根据“对称等势”得思想可知，C、D、E…各点得电势就是彼此相等得，电势相等得点可以缩为一点，它们之间得电阻也可以瞧成不存在。这里取后一中思想，将CD间得导体、DE间得导体…取走后，电路可以等效为图8-13乙所示得二维无限网络。
【答案】RAB = R