2016年四川省高考理科数学真题及答案解析.pdf

2016四川省高考理科数学试题解析四川省高考理科数学试题解析本试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）.第卷 1至2页，第卷 3至4页，共4页，满分 150分，考试时间 120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设集合 A x|2 x 2，Z为整数集，则集合 A Z 中元素的个数是（）A 3B4 C5 D6 2.设 i 为虚数单位，则6(x i)的展开式中含4x 的项为（）A415xB415xC420ixD420ix3.为了得到函数sin 23yx的图象，只需把函数 y sin 2x 的图象上所有的点（）A向左平行移动B向右平行移动C向左平行移动3 个单位长度6 个单位长度D向右平行移动3 个单位长度6 个单位长度4.）用数字 1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A 24 B 48 C60D72 5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015年全年投入研发资金 130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12 0.05，lg1.3 0.11，lg 2 0.30）A 2018年B 2019年C2020年D 2021年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n，x的值分别为 3，2.则输出 v的值为（）A 9C20B 18 D 35 7.设p：实数 x，y满足22(x 1)(y 1)2，q：实数 x，y满足1,1 x,1,y xyy则p是q的（）A必要不充分条件C充要条件B充分不必要条件D既不充分也不必要条件8.设O为坐标原点，P是以 F为焦点的抛物线22(0)ypx p上任意一点，M是线段 PF上的点，且|2|PMMF，则直线 OM斜率的最大值为（）A33B23C22D1 9.设直线1l，2l分别是函数ln,01,()ln,1,xxf xx x图象上点1P，2P处的切线，1l与2l垂直相交于点 P，且1l，2l分别与 y轴相交于点 A，B，则PAB的面积的取值范围是（）A0,1B(0,2)C(0,)D(1,)10.在平面内，定点 A，B，C，D满足|=|=|DADBDC，2DA DBDBDCDCDA，动点 P，M满足|=1AP，PMMC，则2|BM的最大值是（）A434B494C376 34D372 334第卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题 5分，共 25分11.22cossin=88_12.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 _13.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_14.已知函数()f x是定义在 R上的周期为 2的奇函数，当01x时，()4xf x，则5(1)2ff_.15.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，当(,)P x y不 是 原 点 时，定 义P的“伴 随 点”为2222,yxPxyxy；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C 定义为曲线C 的“伴随曲线”，现有下列命题：若点A的“伴随点”是点A，则点A的“伴随点”是点A；单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线”C 关于y轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_（写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共 75分解答应写出文字说明，证明过程或步骤16.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5)分成 9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中 a的值；（II）设该市有 30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（III）若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x（吨），估计 x的值，并说明理由.a0.520.400.160.120.080.044.543.532.521.510.50月均用水量（吨）组距频率17.（本小题满分12分）在ABC中，角 A，B，C所对的边分别是a，b，c，且coscossinABCabc.（I）证明：sinsinsinABC；（II）若22265bcabc，求tan B.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD 中，/ADBC，90ADCPAB，12BCCDAD，E为棱 AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.（I）在平面 PAB内找一点 M，使得直线/CM平面 PBE，并说明理由；（II）若二面角PCDA的大小为 45，求直线 PA与平面 PCE所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）已知数列 na的首项为 1，nS为数列na的前 n项和，11nnSqS，其中0q，*nN.（I）若2322,2aa a成等差数列，求na 的通项公式；（II）设双曲线2221nyxa的离心率为ne，且253e，证明：121433nnnneee.PAEDCB20.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线:3lyx与椭圆 E有且只有一个公共点T.（I）求椭圆 E的方程及点 T的坐标；（II）设 O是坐标原点，直线 l 平行于 OT，与椭圆 E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点 P.证明：存在常数，使得2|PTPAPB，并求的值.21.（本小题满分14分）设函数2()lnf xaxax，其中Ra.（I）讨论()f x 的单调性；（II）确定 a的所有可能取值，使得11()exf xx在区间(1,+)内恒成立（e2.718为自然对数的底数）.2016四川省高考理科数学试题解析本试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）.第卷 1至2页，第卷 3至4页，共4页，满分 150分，考试时间 120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题 5分，共 50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设集合|22Axx，Z为整数集，则集合AZ 中元素的个数是（）A 3 B4 C5 D6【答案】C【解析】由题可知，2,1,0,1,2AZ，则 AZ 中元素的个数为5 选C 2.设i为虚数单位，则6(i)x的展开式中含4x 的项为（）A415xB415xC420ixD420ix【答案】A【解析】由题可知，含4x 的项为24 246Ci15xx选A 3.为了得到函数sin23yx的图象，只需把函数sin2yx 的图象上所有的点（）A向左平行移动3个单位长度B向右平行移动3个单位长度C向左平行移动6个单位长度D向右平行移动6个单位长度【答案】D【解析】由题可知，sin 2sin 236yxx，则只需把sin 2yx的图象向右平移6个单位选D 4.用数字 1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A 24 B48 C60 D72【答案】D【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有13C，再将剩下的 4个数字排列得到44A，则满足条件的五位数有1434CA72.选D 5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg 20.30）A 2018年B2019年C2020年D2021年【答案】B【解析】设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元由题可知，130 112%200 x，解得1.12200lg 2lg1.3log3.80130lg1.12x，因资金需超过200万，则x 取4，即 2019年选B 6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n，x的值分别为 3，2.则输出 v的值为（）A 9 B 18 C20 D 35【答案】B【解析】初始值3,2nx，程序运行过程如下表所示1v2i1224v1i4219v0i92018v1i跳出循环，输出18v选B 7.设p：实数 x，y满足22(1)(1)2xy，q：实数 x，y满足1,1,1,yxyxy则p是q的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】如图，22112xy 表示圆心为1,1，半径为2 的圆内区域所有点（包括边界）；1,1,1yxyxy 表示ABC 内部区域所有点（包括边界）.实数,x y满足 则必然满足，反之不成立.则p是q的必要不充分条件.故选 A(1,1)1y=1y=x1y=x(0,1)A(1,0)B(2,1)CyxO8.设O为坐标原点，P是以 F为焦点的抛物线22(0)ypx p上任意一点，M是线段 PF上的点，且|2|PMMF，则直线 OM斜率的最大值为（）A33B23C22D1【答案】C【解析】如图，由题可知,02pF，设P点坐标为200,2yypyxOFPM显然，当00y时，0OMk；00y时，0OMk，要求OMk最大值，不妨设00y.则2001112,3333633yypOMOFFMOFFPOFOPOFOPOFp020002223222 263OMykypyppyp，当且仅当2202yp 等号成立故选 C 9.设直线1l，2l分别是函数ln,01,()ln,1,xxf xx x图象上点1P，2P处的切线，1l与2l垂直相交于点P，且1l，2l分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是（）A0,1B(0,2)C(0,)D(1,)【答案】A【解析】方法一：设11122212(,),(,)()P xyPxyxx，易知11x，21x，121211,llkkxx，121x x则直线1l：111lnxyxx，2221:ln1lyxxx，与y轴的交点为12(0,1ln),(0,ln1)xx设21ax，则 交 点 横 坐 标 为21aa，与y轴 的 交 点 为(0,l n1),(0,l naa，则1222112PABSaaaa，故(0,1)PABS方法二：特殊值法，若121xx，可算出1PABS，1x，故1PABS，排除 BC；令121,22xx，算出1PABS，故选 A.10.在平面内，定点 A，B，C，D满足|=|=|DADBDC，2DA DBDBDCDCDA，动点 P，M满足|=1AP，PMMC，则2|BM的最大值是（）A434B494C376 34D372 334【答案】B【解析】由题意，DADBDC，所以D到,A B C 三点的距离相等，D是ABC 的外心；2DA DBDB DCDCDA0,DADBDBDCDBDADCDB CA所以 DBAC，同理可得，,DABC DCAB从而D是ABC 的垂心；ABC 的外心与垂心重合，因此ABC 是正三角形，且D是ABC 的中心；1cos222DA DBDA DBADBDA DBDA所以正三角形ABC 的边长为2 3；我们以A为原点建立直角坐标系，,B C D 三点坐标分别为3,3,3,3,BC2,0D。由1AP，设P点的坐标为cos,sin，其中0,2，而PMMC，即M是 PC 的中点，可以写出M的坐标为3cos3sin,22M则2223712sincos33 3sin371249622444BM当23时，2BM取得最大值494。故选 B.第卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题 5分，共 25分11.22cossin=88_【答案】22【解析】由题可知，222cossincos8842（二倍角公式）yxA(3,3)B(3,3)CP(cos,sin)D12.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 _【答案】32【解析】由题可知，在一次试验中，试验成功（即至少有一枚硬币正面向上）的概率为1131224P 2次独立试验成功次数X满足二项分布32,4XB，则33242E X13.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_【答案】33【解析】由题可知，三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得如下俯视图，且三棱锥高为1h，俯视图133则面积11132 3113323VSh14.已知函数()f x是定义在 R上的周期为 2的奇函数，当01x时，()4xf x，则5(1)2ff_.【答案】2【解析】首先，fx是周期为 2的函数，所以2fxfx；而fx 是奇函数，所以fxfx，所以：11ff，11ff，即10f又511222fff，1012时，121()422f故522f，从而5122ff15.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，当(,)P x y不 是 原 点 时，定 义P的“伴 随 点”为2222,yxPxyxy；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C 定义为曲线C 的“伴随曲线”，现有下列命题：若点A的“伴随点”是点A，则点A的“伴随点”是点A；单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C关于y轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_（写出所有真命题的序号）.【答案】正视图133【解析】设A的坐标,x y，伴随点2222,yxAxyxy，A的伴随点横坐标为22222222xxyxyxxyxy，同理可得纵坐标为y故,Axy.错误；设单位圆上的点P的坐标为cos,sin，则P的伴随点的坐标为sin,coscos,sin22P，所以P也在单位圆上，即：P点是P点延顺时针方向旋转2.正确；设曲线 C 上点A的坐标,x y，其关于 x 轴对称的点1,Axy 也在曲线 C 上所以点A的伴随点2222,yxAxyxy，点1A的伴随点12222,yxAxyxy，A与1A关于y轴对称。正确；反例：例如1y这条直线，则0,1,1,1,2,1ABC，而这三个点的伴随点分别是11121,0,2255ABC，而这三个点不在同一直线上下面给出严格证明：设点(,)P x y 在直线:0lAxByC，P点的伴随点为00,Pxy，则022022yxxyxyxy，解得0220002200yxxyxyxy.带入直线方程可知：00222200000yxABCxyxy，化简得：220000()0AyBxC xy，当0C时，2200()C xy是一个常数，P的轨迹是一条直线；当0C时，2200()C xy不是一个常数，P的轨迹不是一条直线.所以，直线“伴随曲线”不一定是一条直线.错误.三、解答题：本大题共6小题，共 75分解答应写出文字说明，证明过程或步骤16.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5)分成 9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中 a的值；（II）设该市有 30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（III）若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.a0.520.400.160.120.080.044.543.532.521.510.50月均用水量（吨）组距频率【解析】（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1 频率=(频率/组距)*组距0.50.080.160.40.520.120.080.0421a得0.3a（II）由图，不低于3吨人数所占百分比为0.50.120.080.04=12%全市月均用水量不低于3吨的人数为：3012%=3.6(万)（III）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：0.50.080.160.30.40.520.73即 73%的居民月均用水量小于2.5吨,同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故 2.53x假设月均用水量平均分布，则85%73%0.52.50.52.90.3x（吨）.注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。17.（本小题满分12分）在ABC中，角 A，B，C所对的边分别是a，b，c，且coscossinABCabc.（I）证明：sinsinsinABC；（II）若22265bcabc，求tan B.【解析】（I）证明：由正弦定理sinsinsinabcABC可知原式可以化解为coscossin1sinsinsinABCABCA和B为三角形内角,sinsin0AB则，两边同时乘以sinsinAB，可得 sincossincossinsinBAABAB由和角公式可知，sincossincossinsinsinBAABABCC原式得证。（II）由题22265bcabc,根据余弦定理可知，2223cos25bcaAbcA为为三角形内角，0,A，sin0A则234sin155A，即cos3sin4AA由（I）可知coscossin1sinsinsinABCABC，cos11sintan4BBBtan4B18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD 中，/ADBC，90ADCPAB，12BCCDAD，E为棱 AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.（I）在平面 PAB内找一点 M，使得直线/CM平面 PBE，并说明理由；（II）若二面角PCDA的大小为 45，求直线 PA与平面 PCE所成角的正弦值.【解析】（I）延长AB，交直线 CD 于点M，E为AD中点，1=2AEEDAD，1=2BCCDAD，EDBC，/ADBC即/EDBC，四边形 BCDE 为平行四边形，/BECD，ABCDM，MCD，/CMBE，BE面PBE，/CM面PBE，MAB，AB面PAB，M面PAB故在面PAB上可找到一点M使得/CM面PBE.（II）过A作 AFEC 交 EC 于点F，连结PF，过A作 AGPF 交PF于点 G，90PAB，PA与 CD 所成角为90，PAAB，PACD，=ABCDM，PAABCD，EC面ABCD，PAEC，ECAF且 AFAPA，CE面PAF，AG面PAF，AGCE，AGPF且 AGAFA，AG面 PFC，APF为所求PA与面PCE所成的角，PA面 ABCD，=90ADC即 ADDC.PDA为二面角PCDA所成的平面角,由题意可得=45PDA，而=90PAD,PAAD,PAEDCB BCCD,四边形 BCDE 是平行四边形，=90ADM，四边形 BCDE 是正方形，45BEC，=45AEFBEC，90AFE，2=2AFAE，224tan=4ADAFAPFAPAP，1sin=3APF.19.（本小题满分12分）已知数列na的首项为 1，nS为数列na的前 n项和，11nnSqS，其中0q，*nN.（I）若2322,2aa a成等差数列，求na的通项公式；（II）设双曲线2221nyxa的离心率为ne，且253e，证明：121433nnnneee.【解析】（I）111()11nnSq Sqq，111111nnSqqq，11nnqSq，当2n时，11nnnnaSSq，故2322qq，又0q，则2q，故12nna当1n时也满足，故12nna1*2,nnanN（II）证明：由双曲线的性质可知，2221=11nnnaea由（I）可得，na为首项为 1，公比为q的等比数列故22225113eaq，即43qna为首项为 1，公比为43的等比数列，通项公式为143nnanN，222214441333nnnne21123141444433.1.4333313nnnnnneeee原式得证.20.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线:3lyx与椭圆 E有且只有一个公共点T.（I）求椭圆 E的方程及点 T的坐标；（II）设 O是坐标原点，直线 l 平行于 OT，与椭圆 E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点 P.证明：存在常数，使得2|PTPAPB，并求的值.【解析】（I）设短轴一端点为(0,)Cb，左，右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)Fc(0)c则222cba.由题意，12F F C为直角三角形.2221212|F FFCF C解得22bca，2222:12xyEbb.代入:3lyx可得223121820 xxb.l 与椭圆E只有一个交点，则22=124 3(182)0b，解得2=3b.22:163xyE.由23b，解得2x，则31yx，所以T的坐标为2 1，。（II）设00(,3)P xx在 l 上，由12OTk，l 平行 OT.得 l的参数方程为0023xxtyxt代入椭圆E得.2200(2)2(3)6xtxt.整理可得220024440ttxx.设两根为At，Bt则有20(2)2ABxtt.而22222000(2)(31)2(2)PTxxx，5APAt，5BPBt.故有20555(2)2ABPAPBttx.由题意2PTPAPB.220202(2)455(2)2PTxPAPBx，故存在这样的.21.（本小题满分14分）设函数2()lnf xaxax，其中Ra.（I）讨论()f x 的单调性；（II）确定 a的所有可能取值，使得11()exf xx在区间(1,+)内恒成立（e2.718为自然对数的底数）.【解析】（I）由题意，21212,0axfxaxxxx当0a时，2210ax，0fx，fx在0,上单调递减.当0a时，11222a xxaafxx，当10,2xa时，0fx；当1,2xa时，0fx.故fx 在10,2a上单调递减，在1,2a上单调递增.（II）原不等式等价于11e0 xfxx在1,x上恒成立.一方面，令12111elnexxg xfxaxxaxx，只需g x在1,x上恒大于 0即可.又10g，故gx 在1x处必大于等于 0.令12112exF xgxaxxx，10g，可得12a.另一方面，当12a时，311123233121222e1eexxxxxFxaxxxxx1,x故320 xx，又1e0 x，故Fx在12a时恒大于 0.当12a时，F x 在1,x单调递增.1210F xFa，故g x也在1,x单调递增.10g xg，即g x在1,x上恒大于 0.综上，12a.