利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题.pdf

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题导数结合洛必达法则巧解高考压轴题法则法则 1 1若函数若函数 f(x)f(x)和和 g(x)g(x)满足下列条件：满足下列条件：(1)(1)lim fx 0及及limgx 0；(2)(2)在点在点xaxaa a 的的 去去 心心 邻邻 域域 内内，f(x)f(x)与与 g(x)g(x)可可 导导 且且 g g(x)0(x)0；(3)(3)limxaf x l，那那 么么gxf x=limlim l。xagxxagx法则法则2 2若函数若函数f(x)f(x)和和g(x)g(x)满足下列条件：满足下列条件：(1)(1)lim fx 0及及limgx 0；(2)(2)A f 0，xxfxf xf(x)f(x)和和 g(x)g(x)在在,A与与A,上上可可导导，且且 g g(x)0(x)0；(3)(3)lim l，那那么么xgxf x=limlim l。xgxxgx法则法则 3 3若函数若函数 f(x)f(x)和和 g(x)g(x)满足下列条件：满足下列条件：(1)(1)lim fx 及及limgx；(2)(2)在点在点xaxafxf xa a 的的 去去 心心 邻邻 域域 内内，f(x)f(x)与与 g(x)g(x)可可 导导 且且 g g(x)0(x)0；(3)(3)lim l，那那 么么xagxlimxafxgx=limxaf x l。gx利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.1.将上面公将上面公式中的式中的 xa，x换成xa，x换成 xx+，x，x-，x a，x a洛必达法则也成立。洛必达法则也成立。0002.2.洛必达法则可处理洛必达法则可处理，0，1，0，型。型。00003.3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足在着手求极限以前，首先要检查是否满足，0，1，0，型定型定0式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。4.4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。用，直到求出极限为止。1二高考题处理二高考题处理1.(20101.(2010 年全国新课标理年全国新课标理)设函数设函数f(x)ex1 xax2。（1 1）若若a 0，求求f(x)的单调区间；的单调区间；（2 2）若当若当x 0时时f(x)0，求，求a的取值范围的取值范围解解:（II）当x 0时，f(x)0，对任意实数 a,均在f(x)0；当x 0时，f(x)0等价于a ex x 1x2令令xgxex x 1x2(x0),(x0),x则则xg(x)xe 2e x 2xxxx3，令令hx xe2e x 2x 0，则hx xee1，hx xe 0，知hx在0,上为增函数，hx h0 0；知hx在0,上为增函数，xhx h0 0；gx 0，g(x)在0,上 为 增 函 数。由 洛 必 达 法 则 知，limx0ex x 1x211 1limelime，故a 综上，知 a 的取值范围为,。222x02xx02xx2 2（20112011 年年全全国国新新课课标标理理）已已知知函函数数，曲曲线线y f(x)在在点点(1,f(1)处处的的切切线线方方程程为为x2y3 0。（）求（）求a、b的值；的值；（）如果当（）如果当x 0，且，且x 1时，时，f(x)取值范围。取值范围。2xln x1恒成立。21 xx21ln x x212xln x令令 g g(x)=，1(x 0,x 1),则gx 22221 x1 xlnxk，求，求k的的x1x解：解：（II）由题设可得，当x 0,x 1时，kh1=0hx在0,上为增函数Qh1=0当x(0,1)时，hx 0，当 x（1，+）时，hx 0当x(0,1)时，gx 0，当 x（1，+）时，gx 0gx在0,1上为减函数，在1,上为增函数2洛必达法则知limgx 2limx1x1xln x1 ln x1 1 21 21 0lim22x1 x2x1k 0，即k 的取值范围为（-，03.3.已知函数已知函数 f(x)=f(x)=x x(1+a)lnx(1+a)lnx 在在 x=1x=1 时，存在极值。时，存在极值。（1 1）求实数）求实数 a a 的值；的值；（2 2）若）若 x1x1，f（x)-1mlnxmlnx成立成立,求正实数求正实数 m m 的取值范围的取值范围x-1解：mln x xln x1xln x1(x1)ln x11 m=g（x）x1(x1)ln x(x1)ln x(x1)ln xln xx1-11g(x)(lnx）+（x-1),则g(x)-221xln x221(x1)2=x(ln x)2(x1)2,x(x1)(lnx)2令h(x)=x(ln x)(x1)h(x)(ln x)2ln x2x2,令r(x)h(x），则r(x)M（x）=r(x)，2ln x22x，令x x)=M（不存2-2x0,则，r(x)为减，且r(1)=0,则 h（x）为减，且h(1)=0,则 g(x)为减，这样，g(x)0），分xx2x2子 r(x)=e(x x1)1,(x0,)，扩展定义域，求导r(x)e(x 3x）0，可知，r(x)x2为定义域内增函数，而 r（x）r(0)=0.所以h(x)0.为增函数。则 ah(0)-不存在，罗比达法则可得为 1练习练习1.1.20062006 年全国年全国 2 2 理理设函数设函数 f f(x x)(x x1)ln(1)ln(x x1)1)，若对所有的，若对所有的 x x00，都有，都有 f f(x x)axax 成立，求实数成立，求实数 a a 的取值范围的取值范围32.2.20062006 全国全国 1 1 理理已知函数已知函数fx1 x1 xeax.（）设（）设a 0，讨论，讨论y fx的单调性；的单调性；（）若对任意（）若对任意x0,1恒有恒有fx1，求，求a的取值范围的取值范围.3.3.20072007 全国全国 1 1 理理4.4.设函数设函数f(x)exex（）证明：（）证明：f(x)的导数的导数f(x)2；（）若对所有（）若对所有x0都有都有f(x)ax，求，求a的取值范围的取值范围5.5.20082008 全国全国 2 2 理理设函数设函数f(x)sin x2cosx（）求（）求f(x)的单调区间；的单调区间；（）如果对任何（）如果对任何x0，都有，都有f(x)ax，求，求a的取值范围的取值范围解：解：（）f(x)(2cosx)cos xsin x(sin x)2cos x1(2cosx)2(2cosx)2当2k223 x 2k3（kZ Z）时，cosx 12，即f(x)0；当2k243 x 2k3（kZ Z）时，cosx 12，即f(x)0因 此f(x)在 每 一 个 区 间2k23，2k2 3（kZ Z）是 增 函 数，2k23，2k4 3（kZ Z）是减函数解：解：（）略（）应用洛必达法则和导数应用洛必达法则和导数f(x)sin x2cosx ax若x 0，则aR；若x 0，则sin xsin x2cosx ax等价于a x(2cosx)，即g(x)sin xx(2cosx)则g(x)2xcosx2sin xsin xcosx xx2(2cosx)2.4f(x)在 每 一 个 区 间记h(x)2xcosx2sin xsin xcosx x，h(x)2cos x2xsinx2cos xcos2x1 2xsinxcos2x1 2sin x2xsinx 2sin x(sinx x)而limg(x)limx0 x02sin xcosx1 lim.x(2cosx)x02+cos x xsin x3sin x1111，因此a x(2cosx)x33另一方面，当x,)时，g(x)6.6.20082008 辽宁理辽宁理设函数设函数f(x)ln xln xln(x1).1 x求求f(x)的单调区间和极值的单调区间和极值;是否存在实数是否存在实数a,使得关于使得关于x的不等式的不等式f(x)a的解集为的解集为(0,)?若存在若存在,求求a的取值范围的取值范围;若不存在若不存在,试说明理由试说明理由.7 720102010 新课标理新课标理设函数f(x)=e 1 xax.（）若a 0，求f(x)的单调区间;（）若当 x0 时f(x)0，求 a 的取值范围.8 8.2010.2010 新课标文新课标文已知函数f(x)x(e 1)ax.（）若f(x)在x 1时有极值，求函数f(x)的解析式；（）当x 0时，f(x)0，求a的取值范围.解：解：（）略（）应用洛必达法则和导数应用洛必达法则和导数当x 0时，f(x)0，即x(e 1)ax.当x 0时，aR；x2x2x2ex1当x 0时，x(e 1)ax等价于e 1 ax，也即a.xx2x5(x1)ex1ex1记g(x)，x(0,)，则g(x).xx记h(x)(x1)e 1，x(0,)，则h(x)xe 0，因此h(x)(x1)e 1在(0,)上单调递xxxex1h(x)增，且h(x)h(0)0，所以g(x)在(0,)上单调递增.0，从而g(x)xx由洛必达法则有ex1exlimg(x)lim lim1，即当x 0时，g(x)1x0 x0 x01x所以g(x)1，即有a 1.综上所述，当a 1，x 0时，f(x)0成立.9.9.20102010 全国大纲理全国大纲理设函数f(x)1e.（）证明：当x 1时，f(x)（）设当x 0时，f(x)xx；x1x，求a的取值范围.ax1解：解：（）略（）应用洛必达法则和导数应用洛必达法则和导数由题设x 0，此时f(x)0.1xx，则不成立；0，f(x)aax1ax1xxx当a 0时，当x 0时，f(x)，即1e；ax1ax1若x 0，则aR；当a 0时，若x 1ex1xexex1x若x 0，则1e等价于，即a.xax1xex xax1xe2x x2ex2ex1exxexex1=(ex x22ex).记g(x)，则g(x)x2x2x(xe x)(xe x)xe xxx记h(x)e x 2e，则h(x)e 2xe，h(x)e+ex2xxx2 0.因此，h(x)e 2xexx)上单调递增，且h(0)0，所以h(x)0，在(0，)上单调递增，且h(0)0，所以h(x)0.即h(x)在(0，6exh(x)0，所以g(x)在(0，因此g(x)=)上单调递增.x2(xe x)由洛必达法则有xexex1xexex xex1limg(x)lim lim lim，即当x 0时，xxxxxx0 x0 x0 x0 xe xe xe 12e xe2g(x)1111，即有g(x)，所以a.综上所述，a的取值范围是(,.222210.10.20112011新课标理新课标理已知函数f(x)aln xb，曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x2y 3 0.x1xln xk，求k的取值范围.x1x（）求a、b的值；（）如果当x 0，且x 1时，f(x)押题押题若不等式sin x xax对于x(0,解：应用洛必达法则和导数解：应用洛必达法则和导数当x(0,32)恒成立，求a的取值范围.2)时，原不等式等价于a xsin x.3x记f(x)xsin x3sin x xcosx2xf(x)，则.x3x4记g(x)3sin x xcosx2x，则g(x)2cos x xsin x2.因为g(x)xcosxsinx cosx(xtanx)，g(x)xsinx 0，所以g(x)在(0,)上单调递减，且g(x)0，2所以g(x)在(0,)上单调递减，且g(x)0.因此g(x)在(0,)上单调递减，22g(x)xsin x 0f(x)(0,)上单调递减.，因此在43xx27且g(x)0，故f(x)由洛必达法则有lim f(x)limx0 x0 xsin x1cosxsin xcosx1 lim lim lim，32x0 x0 x0 x3x6x6611，即有f(x).66即当x 0时，g(x)故a 13时，不等式sin x xax对于x(0,)恒成立.62通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：可以分离变量；用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；现“第三部分：新课标高考命题趋势及方法第三部分：新课标高考命题趋势及方法1.1.高考命题趋势高考命题趋势近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.2.2.分类讨论和假设反证分类讨论和假设反证许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路分类讨论和假设反证的方法.3.3.洛必达法则洛必达法则虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.0”型式子.00”型的式子，而这08