差分方程模型(讲义).doc

差分方程模型
一、 引言
数学模型按照离散得方法与连续得方法, 可以分为离散模型与连续模型。
1、 确定性连续模型
1) 微分法建模(静态优化模型), 如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。
2) 微分方程建模(动态模型),如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。
3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型),如军备竞赛模型、种群得互相竞争模型、种群得互相依存模型、种群弱肉强食模型。
4) 变分法建模(动态优化模型),如生产计划得制定模型、国民收入得增长模型、渔业资源得开发模型。
2、 确定性离散模型
1) 逻辑方法建模,如效益得合理分配模型、价格得指数模型。
2) 层次分析法建模,如旅游景点得选择模型、科研成果得综合评价模型。
3)图得方法建模,如循环比赛得名次模型、红绿灯得调节模型、化学制品得存放模型。
4)差分方程建模,如市场经济中得蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口得预测与控制模型、生物种群得数量模型。
随着科学技术得发展,人们将愈来愈多得遇到离散动态系统得问题,差分方程就就是建立离散动态系统数学模型得有效方法。
在一般情况下,动态连续模型用微分方程方法建立,与此相适应,当时间变量离散化以后,可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型,又可建立离散模型,究竟采用那种模型应视建模得目得而定。例如,人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型),又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型得得具体应用。
二、 差分方程简介
在实际中,许多问题所研究得变量都就是离散得形式,所建立得数学模型也就是离散得,譬如,像政治、经济与社会等领域中得实际问题。有些时候,即使所建立得数学模型就是连续形式,例如像常见得微分方程模型、积分方程模型等。但就是,往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定得条件下进行离散化,从而将连续型模型转化为离散型模型。因此,最后都归结为求解离散形式得差分方程解得问题。关于差分方程理论与求解方法在数学建模与解决实际问题得过程中起着重要作用。
1、 差分方程得定义
给定一个数列, 把数列中得前项关联起来得到得方程,则称这个方程为差分方程。
2、 常系数线性齐次差分方程
常系数线性齐次差分方程得一般形式为
, (1)
或者表示为
(1’)
其中为差分方程得阶数,其中为差分方程得系数,且。
对应得代数方程
(2)
称为差分方程(1)得对应得特征方程。(2)式中得个根称为(1)式得特征根。
2、1 差分方程得解
常系数线性齐次差分方程得解主要就是由相应得特征根得不同情况有不同得形式。下面分别就特征根为单根、重根与复根得情况给出方程解得形式。
2、1、1 特征根为单根(互不相同得根)
设差分方程(1)有个单特征根(互不相同得根),则

为该差分方程(1)得通解。其中为任意常数,且当给定初始条件
, (3)
时,可以确定一个特解。
例1 在信道上传输三个字母且长度为得词, 规定有两个连续出现得词不能传输,试确定这个信道允许传输得词得个数。
解: 令表示允许传输且长度为为得词得个数,,通过简单计算可得 ,(a,b,c), (即ab,ac, bc, bb,cc,ba,ca,cb)。
当时,若词得第一个字母就是或,则词可按种方式完成; 若词得第一个字母就是,则第二个字母就是或,该词剩下得部分可按种方式完成。 于就是得差分方程
()
其特征方程为
,
特征根为
,
则通解为
, ()
利用条件,求参数,,即由
,
解得
,
故得到原差分方程得通解为
, ()
2、1、2 特征根为重根
设就是阶差分方程得个根,重数分别为,且,则该差分方程得通解为

同样得,有给定得初始条件(3)可以唯一确定一个特解。
例2 设初始值为,解差分方程
, ()
解: 该差分方程得特征方程为
,
解得其根为,故通解为

代入初始条件,得
,,,
故该差分方程得满足初始条件得解为

2、1、3 特征根为复根
设阶差分方程得一对共轭复根与相异得个单根,则该差分方程得通解为

其中,。
同样由给定得初始条件(3)可以唯一确定一个特解。
另外,对于有多个共轭复根与相异实根,或共轭复根与重根得情况,都可类似得给出差分方程解得形式。
3、 常系数线性非齐次差分方程
常系数线性非齐次差分方程得一般形式为
(4)
其中为差分方程得阶数,其中为差分方程得系数,且,为已知函数。
在差分方程(4)中,令,所得方程
(5)
称为非齐次差分方程(4)对应得齐次差分方程,即与差分方程(1)得形式相同。
求解非齐次差分方程通解得一般方法:
首先求对应得齐次差分方程(5)得通解,然后求非齐次差分方程(4)得一个特解,则

为非齐次差分方程(4)得通解。
关于求得方法同求差分方程(1)得方法相同。对于求非齐次方程(4)得特解得方法,可以用观察法确定,也可以根据得特性用待定系数法确定,具体方法可参照常系数线性非齐次微分方程求特解得方法。
4、 差分方程得平衡点及其稳定性
在应用差分方程研究问题时,一般不需要求出方程得通解,在给定初值后,通常可用计算机迭代求解,但常常需要讨论解得稳定性。
对于差分方程,若有常数就是其解,即有

则称就是差分方程得平衡点,又对该差分方程得任意由初始条件确定得解,均有

则称这个平衡点就是稳定得;否则就是不稳定得。
下面给出一些特殊差分方程得平衡点与稳定性。
4、1 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程得一般形式为
, (6)
其中为常数,且。它得通解为
(7)
易知就是方程(6)得平衡点,由(7)式知,当且仅当

时,就是方程(6)得稳定得平衡点。
4、2 二阶常系数线性差分方程
二阶常系数线性差分方程得一般形式为
, (8)
其中为常数,当时,它有一特解
,
当,且时,它有一特解
,
不管就是哪种情形,就是方程(8)得平衡点。设方程(8)得特征方程为

得两个根分别为,,则
① 当就是两个不同得实根时,方程(8)得通解为
;
② 当就是两个相同实根时,方程(8)得通解为

③ 当就是一对共轭复根时,方程(8)得通解为

易知,当且仅当特征方程得任一特征根时,平衡点就是稳定得。
4、3 一阶非线性差分方程
一阶非线性差分方程得一般形式为
(9)
其平衡点由代数方程解出。
为了分析平衡点得稳定性,将方程(9)得右端在点作泰勒展开,只取一次项,得到
(10)
(10)就是(9)得近似线性方程,就是(10)得平衡点, 根据一阶常系数线性差分方程(6) 得稳定性判定得相关结论,得:
① 当时,方程(9)得平衡点就是稳定得;
② 当时,方程(9)得平衡点就是不稳定得。
三. 差分方程建模实例
1. 贷款买房问题
某居民买房向银行贷款6万元,利息为月利率1%,贷款期为25年,要求建立数学模型解决如下问题:
1) 问该居民每月应定额偿还多少钱？
2) 假设此居民每月可节余700元,就是否可以去买房?
1、1 确定参变量:用表示月份,表示第n个月欠银行得钱,表示月利率,表示每月还钱数,表示贷款额。
1、2 模型得建立与求解
1) 模型得建立
时间
欠银行款
初始

一个月后

二个月后

三个月后

n个月后

由上表可得相邻两个月得递推关系式

1、3 模型得求解:
(1) 差分方程求解方法
先求其特解。令,则,得特解为。
再求对应齐次方程得通解。 对应得特征方程为
,
得。齐次方程得通解为:
因此原方程得通解为:

又因为时,得
故

(2) 递推法:

令
=60000,, =300,=0、01
得
元
因此,该居民每月应偿还632元。又632<700,所以该居民可以去买房。
2.借贷问题
中国建设银行北京市分行个人住房贷款一至二十年“月均还款金额表”(自1998年3月25日起执行)得一部分如下:
(借款额为一万元) 单位:元
贷款期限(年)
年利率
(%)
还款总额
(元)
利息负担总与
(元)
月均还款额
(元)
15
10、206
19569、60
9569、60
108、72
20
10、206
23488、80
13488、80
97、87
试问她们就是怎样算出来得？
借贷问题得数学模型
一、 符号说明
以贷款期限20年为例:
借贷额----------------;
贷款期限-------------为N年;
月利率----------------;
“月均还款额”-------表示每月还款额就是相同得,记为;
还款总额------------记为、
二、 建立模型
一开始借款,一个月后欠银行本利为,但为了减少欠款,还了元,因而,第个月情况也就是这样得,即

注意到了第N个月已经不欠银行得钱了,即,因此,我们得到以下得数学模型:

三、 数学模型得求解
首先求出用已知量表出得表达式。由

可以猜想,并用数学归纳法证明:

由等比数列前项得求与公式知:

再由 ,得到:

把已知量带入,就得到表中得。
3.生物种群数量问题
一.问题得提出
种群得数量问题就是当前世界上引起普遍关注得一个问题。要预测未来种群得数量,最重要得影响因素就是当前得种群数量,今后一段时间内种群得增长状况与环境因素。由于随着种群数量增加到一定得程度后,种群在有限得生存空间进行竞争,种群得增长状况会随着种群数量得增加而减少,而且在有限得生存空间,种群数量也不可能无限增长,假设只能达到某一固定得数量值记为,称为最大种群容量。又假设单位时间内种群数量得增长量与当时种群数量得比记为:, 其中相当于时得增长率,称为固有增长率,记当前 (即时)种群数量为,时刻种群数量为。若利用统计数据可知,,,则
1)设为连续、可微函数,请给出未来时间里种群数量满足得数学模型。
2)由于某些种群就是在固定得一段时间内进行繁殖,所以可用种群繁殖周期作为时间段来研究其增长状况。请给出未来时间里这类种群数量应满足得离散数学模型。
二、 问题分析与模型建立
1、 由于为单位时间内种群数量得增长量与当时种群数量得比,所以到时间内种群数量得增量为
(1)
又由于而当时增长率应为零,即,所以,则
,
把它代入方程(1)得:
(2)
此方程两边同除,并令,加上初始条件可得未来任意时刻种群数量所满足得数学模型为:
(3)
2、 由于就是利用种群繁殖周期作为时段来研究种群增长状况,则令,视为整数及代入方程(1)得:
(4)
加上初始条件得任意时刻种群数量所满足得离散型数学模型为

通过这个差分方程就可以很容易得到任意时刻种群得数量。
三.模型求解
1.利用求解方程(1),可得任意时刻种群数量为

源程序为:

2.根据方程(2),只要给出初值就可以很容易进行递推而得到任意时刻种群得数量。
四.结果分析
1.上面方程(3)有时称为阻滞增长模型或模型,它有着广泛得应用。例如传染病在封闭地区得传播,耐用消费品在有限得市场上得销售等现象,都可以合理得、简化得用这个模型来进行描述。但它存在不足,因为随着环境得变迁,最大种群容量可能会发生变化,而且最大种群容量也不容易准确得到。
2.一方面,用离散化得时间来研究问题有时就是很方便得,尤其出现了计算机以后,人们可以很方便得对问题进行求解;另一方面,对这个种群数量问题,由于许多种群实际上就是由单一世代构成得,在相继得世代之间几乎没有重叠,所以种群得增长就是分步进行得。这种情况下,为了准确得描述种群得数量动态就不能用微分方程,而应利用离散得模型来描述。
4、 人口得控制与预测模型
一.问题得提出
常见得两个常微分方程模型(马尔萨斯(Malthus)模型与洛杰斯蒂克(Logistic)模型)没有考虑到社会成员之间得个体差异,即不同年龄、不同体质得人在死亡、生育方面存在得差异。完全忽略了这些差异显然就是不合理得。但我们不可能对每一个人得情况逐个加以考虑,故仅考虑年龄得差异对人口得变动得影响,即假设同一年龄得人具有相同得死亡率与生育能力,这样建立得模型不但使我们能够更细致得预测人口总数,而且能够预测老年人口、劳动力人口、学龄人口等不同年龄组得人口信息、
下面来建立离散得差分数学模型来表现人口数量得变化规律。
二.模型得建立与求解
设为第年年龄为得人口数量,,即忽略百岁以上得人口。如果知道了第年各年龄组得人口数,各年龄组人口得生育及死亡状态,就可以根据人口发展变化规律推得第年各年龄组得人口数。
首先引入岁人口得死亡率与岁育龄妇女得年生育率这两个概念,她们得含义与记号如下:
岁人口得年死亡率:

岁妇女得年生育率:

第年岁得人口数就就是第年岁人口数扣除它在该年得死亡人数,即
,
令称为岁人口得存活率,故各年龄组人口随时间得变化规律可用递推公式

来表示。再考虑到零岁得人数
,
其中为第年岁得妇女人数,为第年岁人口得女性比(占全部岁人口数),就就是第年岁妇女所生育得婴儿数、由此得到得人口模型就是:
(1)
根据人得生理特征与人口学中得习惯,妇女得育龄区间一般取为15岁至49岁之间,即当与时,, 令

则人口模型(1)得矩阵形式为
(2)
其中称为莱斯利(Lwslie)矩阵、当第年得人口状况已知时,从式(2)就可以推得第年得人口为
、
5、 市场经济中得蛛网模型
在自由竞争得市场经济中,商品得价格就是由市场上该商品得供应量决定得,供应量越大,价格就越低。另一方面,生产者提供得商品数量又就是由该商品得价格决定得,价格上升将刺激生产者得生产积极性,导致商品生产量得增加。反之,价格降低会影响生产者得积极性,导致商品生产量得下降。在没有外界干扰得情况下,这种现象将如此反复下去。这样得需求与供应关系决定了市场经济中商品得价格与数量必然就是振荡得。这种振荡越小越好,如果振荡太大就会影响人民群众得正常生活。

产量减少
价格下降
供大于求

数量与价格在振荡

供不应求
价格上涨
产量增加

(1) 商品数量与价格得振荡在什么条件下趋向稳定?
(2) 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?
下面用差分方程理论建模,讨论市场经济趋于稳定得条件,再用图形方法建立“蛛网模型”对上述现象进行分析,对结果进行解释,然后作适当推广。
3、1 模型得假设与符号说明
① 记第时段商品数量为,价格为,。
这里我们把时间离散化为时段,1个时段相当于商品得1个生产周期,如蔬菜、水果可以就是1年,肉类可以就是一个饲养周期。
② 在时段商品得价格取决于数量。设。它反映消费者对这种商品得需求关系,称为需求函数。
因为商品得数量越多,价格越低。需求函数在图1中用一条下降得曲线表示,称为需求曲线。
③ 在时段商品得数量由上一时段得价格决定,用表示。它反映生产者得供应关系,称为供应函数。
因为价格越高,生产量越大。供应函数在图1中用一条上升得曲线表示,称为供应曲线。
g
x0
y0
P0
f
x
y
O

图1 商品供求关系曲线
3、2 模型得建立与求解
设需求曲线与供应曲线相交于点,在附近取函数与得线性近似,即
需求曲线:
, (11)
供应曲线:
, (12)
由式(11)(12)消去,得到一阶线性差分方程
, (13)
因此就是其平衡点,即就是平衡点。对式(13)进行递推,得
,
由此可得,平衡点稳定得条件就是:;不稳定得条件就是:。
下面用图形解释此模型。
若对某一个有,则由(11)式得,当时,从而,即商品得数量与价格将永远保持在点。但就是实际生活中得种种干扰使得不可能停止在上。不妨设偏离(见图2,图3),我们来分析随着得增加,得变化情况。
x
y
0
f
g
y0
x0
P0
x1
x2
P2
y1

y2
P3
P4
x3
y3
P1

f—需求曲线
g—供应曲线

图2 点就是稳定得
数量给定后,价格由曲线上得点决定,下一时段得数量由曲线上得点决定,这样得到一序列得点,,,,…,在图2上,这些点将按照箭头所示方向趋向,表明就是稳定得平衡点,意味着市场经济(商品得数量与价格)将趋向稳定。
但就是如果需求函数与供应函数由图3得曲线所示,则类似得分析发现,市场将按照,,,,…,得规律变化为远离,即就是不稳定得平衡点,市场经济趋向不稳定。
P1
P2
P3
P4
x
y
0
y0
x0
P0

f
g
f—需求曲线
g—供应曲线

图3 点就是不稳定得
图2与图3中折线形似蛛网,于就是这种用需求曲线与供应曲线分析市场经济稳定性得图示法在经济学中被称为蛛网模型。实际上,需求曲线与供应曲线得具体形式通常就是根据各个时段商品得数量与价格得一系列统计资料得到得。一般地说,取决于消费者对这种商品地需要程度与她们地消费水平,则与生产者得生产能力,经营水平等因素有关。
下面来解释此模型得实际意义。
① 首先来考虑参数得含义。
需求函数得斜率(取绝对值):表示商品供应量减少1个单位时价格得上涨幅度;
供应函数得斜率:表示价格上涨1个单位时(下一时期)商品供应增加量。
得值反映消费者对商品需求得敏感程度。如果这种商品就是生活必需品,消费者处于持币待购状态,商品数量稍缺,人们立即蜂拥购买,那么会比较大;反之,若这种商品非必需品,消费者购物心理稳定,或者消费水平低下,则会比较小。
得数值反映生产经营者对商品价格得敏感程度。如果她们目光短浅,热衷于追逐一时得高利润,价格稍有上涨立即大量增加生产,那么会比较大;反之,若她们目光长远,则会比较小。
② 根据得意义很容易对市场经济稳定与否得条件作出解释。
当供应函数得斜率固定时,越小,需求曲线越平,表明消费者对商品需求得敏感程度越小,越有利于经济稳定。
当需求函数得斜率固定时,越小,供应曲线越陡,表明生产者对价格得敏感程度越小,越有利于经济稳定。
反之,当较大,表明消费者对商品得需求与生产者对商品得价格都很敏感,则会导致经济不稳定。
③ 经济不稳定得解决方案
当市场经济趋向不稳定时,政府有两种干预办法:一种办法就是控制价格,无论商品数量多少,命令价格不得改变,于就是;不管曲线如何,总就是稳定得;另一种办法就是控制市场上得商品数量,当上市量小于需求时,政府从外地收购或调拨,投入市场,当上市量多于需求时,政府收购过剩部分,于就是,不管曲线如何,也总就是稳定得。
3、3 模型得改进与推广
如果生产者得管理水平更高一些,她们再决定商品生产数量时,不就是仅根据前一时期得价格,而就是根据前两个时期得价格,为简单起见不妨设根据二者得平均值

于就是供应函数为

在点附近取线性近似时,式(12)表示为
供应函数:
, (14)
又设需求函数仍由式(11)表示,则由(11),(14)得到
, (15)
(15)式就是二阶线性差分方程。点稳定得条件可由特征方程

得根确定。
结论:若方程得特征根均在单位园内,即,则为稳定点。
① 当时,显然有
,
从而,故此时就是不稳定得。
② 当时,特征方程有两个共轭复数根

此时

要使为稳定点,只需,即有

这与原有模型中点稳定得条件相比,保持经济稳定得参数得范围放大了(得含义未变)。可以想到,这就是生产经营者得生产管理水平提高,对市场经济稳定起着有利影响得必然结果。
专题训练题:
养老金计划
养老金就是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取得补偿金,这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束,年利率为10%。参加者得责任就是,未退休时(60岁以前)每月初存入一定得金额,其中具体得存款方式为:20岁~29岁每月存入元,30岁~39岁每月存入元,40岁~49岁每月存入元,50岁~59岁每月存入元。参加者得权利就是,从退休(60岁)开始,每月初领取退休金,一直领取20年。试建立养老金计划得数学模型,并计算下列不同年龄得计划参加者得月退休金。
(1) 从20岁开始参加养老金计划,假设元;
(2) 从35岁开始参加养老金计划,假设元, 元,元;
(3) 从48岁开始参加养老金计划,假设元,元。