【湖南省岳阳县第一中学年】2017届高三上学年期开学年考试理科数学年试题.pdf

-1-/16 湖南省岳阳市湖南省岳阳市 2017 年高考一模数学年高考一模数学(文科文科)试卷试卷 答答 案案 15CBDAD 610DBCBC 1112AB 132 2 144 153 16（45，41）17解：（1）函数 sincos23f xxx=cosx1(2cosx32sin)x=11cos231sin22222xx=1 131cos2sin22 224xx=11sin 2264x，函数 f x的最小正周期为22=。（2）将函数yf x（）=11sin 2264x的图象向下平移14个单位，可得y1sin 226x的图象。再将图象上各点的纵坐标伸长为原来的 4 倍（横坐标不变），得到函数 2sin 26yg xx的图象。在0,3上，52,666x，故当2x62时，()g x取得最大值为 2。18解：（1）证明：PO 平面ABCD，且AD平面ABCD，POAD，45ADC且1ADAC，45ACD，90DAC，ADAC，AC 平面PAC，PO平面PAC，且ACPOO，由直线和平面垂直的判定定理知 AD平面 PAC。（2）解：取 DO 中点 N，连接 MN，AN，由 PO平面 ABCD，得 MN平面 ABCD，-2-/16 MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角，M 为 PD 的中点，MN/PO，且 MN=12PO=3，AN=12DO=52，在 RtANM 中，36 5552MNtan MANAN，即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为6 55。19解：（1）设 PM2.5 的 24 小时平均浓度在（50,75内的三天记为 A1，A2，A3，PM2.5 的 24 小时平均浓度在（75,100）内的两天记为 B1，B2。所以 5 天任取 2 天的情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2 共 10 种。其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2 共 6 种。所以所求的概率 P=63105。（2）由第四组的频率为：0.1 得：25a=0.1，解得：a=0.004 去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为：12.50.15+37.50.6+62.50.15+87.50.1=42.5（微克/立方米）。因为 42.535，所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进。20解：（1）由ABF2 的周长等于4 3，可得 4a=4 3，a=3。由122 2F F，得2c，2221bac。椭圆的标准方程为：2213xy；（2）设)(,PPP xy，则224PPxx。-3-/16 若两条切线中有一条切线的斜率不存在，则3Px ，1Py 。另一条切线的斜率为 0，从而 PMPN，此时1122 32 322PMNSPMPN。若两条切线的斜率均存在，则3px 。设过点 P 的椭圆的切线方程为PPyyk xx（），代入椭圆方程，消去y并整理得：22(1 36)()PPkxk ykxx2330PPykx。依题意得=0，即2223210ppppxkx y ky。设切线 PM、PN 的斜率分别为12,kk，从而221 22213133ppppyxk kxx。PMPN，则线段 MN 为圆 O 的直径，|MN|=4。22211424SPMPNPMPNMN三角形PMN。当且仅当2 2PMPN时，PMN 取最大值 4。综上，PMN 面积的最大值为 4。21解：（1）1fxlnx（），()2fe，由()f ee，函数f x（）在xe处的切线方程为2()yexe，即20 xye；（2）若存在一个0,1xe使00f xg x（）35，所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进。20【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程。【分析】（1）由已知求得,a c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设,PPP xy（），则224ppxy。若两条切线中有一条切线的斜率不存在，求出P的坐标，直接求得-13-/16 PMN 面积；若两条切线的斜率均存在，则3px 。设过点P的椭圆的切线方程为PPyyk xx（），代入椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用判别式等于 0 得到关于k的方程，再由根与系数的关系可得 PMPN，求得|MN|，写出三角形面积，利用基本不等式求得面积最大值。【解答】解：（1）由ABF2 的周长等于4 3，可得 4a=4 3，a=3。由122 2F F，得2c，2221bac。椭圆的标准方程为：2213xy；（2）设)(,PPP xy，则224PPxx。若两条切线中有一条切线的斜率不存在，则3Px ，1Py 。另一条切线的斜率为 0，从而 PMPN，此时1122 32 322PMNSPMPN。若两条切线的斜率均存在，则3px 。设过点 P 的椭圆的切线方程为PPyyk xx（），代入椭圆方程，消去y并整理得：22(1 36)()PPkxk ykxx2330PPykx。依题意得=0，即2223210ppppxkx y ky。设切线 PM、PN 的斜率分别为12,kk，从而221 22213133ppppyxk kxx。PMPN，则线段 MN 为圆 O 的直径，|MN|=4。22211424SPMPNPMPNMN三角形PMN。当且仅当2 2PMPN时，PMN 取最大值 4。综上，PMN 面积的最大值为 4。21【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题。【分析】（1）求出原函数的导函数，得到fe（），再求出f e（），代入直线方程的点斜式得答案；（2）由存在一个01,xe使00)(f xg x)成立，得00 x lnx 202ax，分离参数a，令2ln xh xx（），利用导数求其最小值得答案；-14-/16 （3）由题意得：(3)2xlnxkxk在1x时恒成立，即ln321xxxkx。构造函数ln32()1xxxF xx，得2ln21xxF xx（）。令2m xx lnx（），则1m x（）1x=1xx0在1x时恒成立。然后利用函数F x（）的单调性求其最小值 min232ln32211b bbbbbF xF bbbb(5 6)，。从而可得整数k的最大值。【解答】解：（1）1fxlnx（），()2fe，由()f ee，函数f x（）在xe处的切线方程为2()yexe，即20 xye；（2）若存在一个0,1xe使00f xg x（）（）成立，即00 x lnx 202ax，则002ln xax。令2ln()xh xx，当,)1xe时，()h x22 1 ln0 xx恒成立。因此，2ln()xh xx在1，e上单调递增，故当1x时，()0minh x。即实数a的取值范围为(0,+)；（3）由题意得：3)2xlnxkxk(在1x时恒成立，即ln321xxxkx。令ln32()1xxxF xx，则2ln21xxF xx（）。令2m xx lnx（），则1m x（）1x=1xx0在1x时恒成立。()m x在(1,+)上单调递增，且(3)1 ln30m，(4)2ln40m。在(1,+)上存在唯一实数(3 4)b b，使()m x=0，即m b（）=0。当1xb时，0m x，即 0Fx，当xb时，0m x 即 0Fx。F x（）在(1,b)上单调递减，在(b,+)上单调递增。min232ln32211b bbbbbF xF bbbb(5 6)，。故2kb，又kZ，整数k的最大值为 5。-15-/16 22【考点】简单曲线的极坐标方程。【分析】（1）曲线 C 的极坐标方程为=6sin，即 2=6sin，利用互化公式可得直角坐标方程。直线 l 的参数方程为11xatyt （t 为参数），消去参数t可得普通方程。（2）由直线l经过定点1,1P，此点在圆的内部，因此当 CPl 时，|BD|取到最小值，利用1CPlkk ，解得lk，即可得出。【解答】解：（1）曲线 C 的极坐标方程为6sin，即26 s i n，化为直角坐标方程：226xyy，配方为:2239xy（），圆心0,3C，半径r=3。直线l的参数方程为11xatyt （t为参数），消去参数t可得：10 xaya。（2）由直线l经过定点1,1P-，此点在圆的内部，因此当 CPl时，|BD|取到最小值，则CPlkk=1310 1lk，解得lk 12。112a，解得2a 。23【考点】绝对值不等式的解法。【分析】（1）通过讨论x的范围，求得33ax 再根据不等式的解集为3|2xx，可得32a ，从而求得实数a的值。（2）在（1）的条件下，21|1|f nn（），即f nfnm（）（-），即21|12|2nnm 。求得212|1|nn 的最小值为 2，可得m的范围。【解答】解：（1）函数2|f xxaa（），故不等式()6f x，即60626aaxaa，求得33ax。再根据不等式的解集为2|3xx，可得3=-2a 实数a=1。（2）在（1）的条件下，()21|1f xx，21|1|f nn（），存在实数 n 使()()f nmfn-成立，-16-/16 即f nfnm（）（-），即21|12|2nnm 。由于2 12121)(21)(2|nnnn，212|1|nn 的最小值为 2，4m，故实数m的取值范围是4,。