中科院考研数学-06数分解答.doc

中国科学院数学与系统科学研究院2006年硕士研究生招生初试试题参考解答

数学分析

张祖锦 编写

1求a,b使下列函数在x=0处可导:

解：由于函数在x=0处可导，从而连续，由得到b=1;
又由得到a=0.即得。

2
证明: 用反证法。
由知，均为正项级数。
假设级数收敛，则，于是有，从而由正项级数的比较判别法知级数收敛，矛盾，从而得证。

3
解：从而 即得解。

4
证明：知,从而令有
从而
得证。

5
证明:

6

证明: 我们先来证明一个不等式，一般的称为Cauchy---Schwarz不等式，即
定理1

7
证明：

8 设曲线的周长和所围成的面积分别为L和S，还令，则.
证明：由对称性知

9
解：

为证明=I，我们先来证明一个定理：
定理2 设在|x|<R内收敛，若也收敛，则

回到题目，看数项级数收敛，设=，|x|<1,由定理2即知
==I.

10

解: 这是星形线，充分考虑到对称性(x=0,y=0,x=y,x=-y)，有

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