数学建模课后习题.doc

第一章
课后习题６、
利用1、5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒与致命得最小剂量。
解：假设病人服用氨茶碱得总剂量为a，由书中已建立得模型与假设得出肠胃中得药量为：
由于肠胃中药物向血液系统得转移率与药量成正比，比例系数,得到微分方程
　 　 （1)
原模型已假设时血液中药量无药物，则,得增长速度为。由于治疗而减少得速度与本身成正比,比例系数,所以得到方程:
　　 　 　 　 　 (2)
方程(1）可转换为:ﻩ
带入方程(2)可得：
将与带入以上两方程，得:

针对孩子求解,得:
严重中毒时间及服用最小剂量:,;
致命中毒时间及服用最小剂量:,
针对成人求解:
严重中毒时间及服用最小剂量:,
致命时间及服用最小剂量：,
课后习题7、
对于1、5节得模型,如果采用得就是体外血液透析得办法,求解药物中毒施救模型得血液用药量得变化并作图。
解:已知血液透析法就是自身排除率得6倍,所以
,x为胃肠道中得药量,

解得:
用matlaｂ画图:

图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度得变化情况。
从图中可以瞧出,采取血液透析时血液中药物浓度就开始下降。T=2时,血液中药物浓度最高,为236、5;当z＝２０0时,ｔ＝2、8７３１，血液透析0、8731小时后就开始解毒。
第二章
1、用2、4节实物交换模型中介绍得无差别曲线得概念，讨论以下得雇员与雇主之间得关系:
　1）以雇员一天得工作时间与工资分别为横坐标与纵坐标,画出雇员无差别曲线族得示意图,解释曲线为什么就是那种形状;
　 2)如果雇主付计时费,对不同得工资率画出计时工资线族,根据雇员得无差别曲线族与雇主得计时工资线族，讨论双方将在怎样得一条曲线上达成协议;
3）雇员与雇主已经达成了协议，如果雇主想使用雇员得工作时间增加到t2，她有两种办法:一就是提高计时工资率,在协议线得另一点达成新得协议；二就是实行超时工资制,即对工时仍付原计时工资,对工时付给更高得超时工资，试用作图方法分析那种办法对雇主更有利,指出这个结果得条件。
解:
　　 1）雇员得无差别曲线族就是下凸得，如图。当工资较低时,她愿意以多得工作时间换取少得工资;当工资较高时，就要求以多得工资来增加工作时间。

　 2)雇主得计时工资族就是,就是工资率,这族直线与得切点,等得连线为雇员与雇主得协议线，通常就是上升得,见图:　

3） 设双方在点达成协议,当雇主想使雇员得工作时间增至时，用提高计时工资率得办法,应在协议线上找出横坐标为得点,工资额为,见上图，用超时工资得办法，应从点作某一条无差别曲线得切线,使切点P2’得横坐标刚好就是ｔ２,若点P２’在P2得下方,则工资额w2’<w2,即第二种办法对雇主有利，得到这个结果得条件就是,在雇员没有工作时与已经工作了t1时,其无差别曲线族没有变化。
课后第三章习题
1、在３、1节得存贮模型总费用中增加购买货物本身得费用,重新确定最优订货周期与订货批量,证明在不允许缺货模型与允许缺货模型中结果都与原来得一样。
解:
　 设购买单位重量货物得费用为ｋ,对于不允许缺货模型,每天平均费用为，T,Q得最优结果不变，对于允许缺货模型,每天平均费用为,注意到,可知Ｔ，Ｑ得最优结果也不变。
2、建立不允许缺货得生产销售存贮模型,设生产速率为常数ｋ,销售速率为常数r,k>r,在每个生产周期T内,开始得一段时间一边生产一边销售，后来得一段时间只销售不生产,画出存贮量q(t)得图形,设每次生产准备费为ｃ1，单位时间每件产品存贮费为ｃ2,以总费用最小为目标确定最优生产周期,讨论与得情况。
解:
　　贮存量q(t)得图形如图，单位时间总费用，,使c(T)达到最小值得最优周期。
　当k>>ｒ时,，相当于不考虑生产得情况,当时，,产量被销售量抵消,无法形成贮存量。

第四章
1、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券得投资，可供购进得证券以及其信用等级,到期年限,收益如表所示。按照规定,市政证券得收益可以免税,其她证券得收益需按50%得税率纳税。此外还有以下限制:
(1)政府及代办机构得证券总共至少要购进400万元;
(2)所购证券得平均信用等级不超过1、4（信用等级数字越小,信用程度越高）;
(３)所购证券得平均到期年限不超过5年。
表1 证券信息
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益/%
A
市政
2
9
４、3
B
代办机构
2
15
5、4
Ｃ
政府
１
４
５
D
政府
1
3
４、4
E
市政
5
2
4、5
问:(1)若该经理有1000万元资金，应如何投资?
(2)如果能够以２、7５%得利率借到不超过100万元得资金,该经理应如何操作?
(3)在10０0万元资金情况下,若证券A得税前收益增加为4、5%,投资应否改变？若证券C得税前收益减少为4、８%,投资应否改变?
1、１ 问题分析
问经理应该如何投资实际上就是在问对已知得几种类型得证券要如何投资才能使得经理得最终收益最大。应该先对表中所给得几种证券得各个数据进行分析,列出几种证券投资后经理得收益函数,同时使得该函数所得结果要满足题目中给定得几个限制。对于(2)、（３）问得求解只用调整相应得限制条件与第一问函数得几个三叔即可。
1、2 模型建立
(1）假设投资给证券A，B,C,Ｄ,E得资金分别为a,ｂ，c,d,e(百万元）,经理最终得收益为ｙ(百万元）,则可以建立如下数学模型：

用LINGＯ软件求解:

得到如下结果:
证券A投资２、18２百万元，证券C投资7、364百万元,证券E投资０、454百万元;经理最大税后收益为０、29８百万元。
(2) 由（1)得结果可知,若资金增加1０0万元，收益可增加0、０2９8百万元。大于以2、７5%得利率借到100万元资金得利息，所以应借贷。修改(1)中得条件建立如下得心新模型:

求解得到:
　 　 证券A投资2、40百万元,证券Ｃ投资8、1０百万元，证券E投资０、50百万元,最大税后收益为0、3０07百万元。
(3)由(１)得结果中目标函数系数得允许范围可知,证券A得税前收益可增加0、35%,故若证券A得税前收益增加为４、5%,投资不应改变;证券Ｃ得税前收益可减少0、１１2%(注意按５0％得税率纳税)，故若证券C得税前收益减少为4、8%,投资应该改变。
2、一家出版社准备在某市建立两个销售代理点,向７个区得大学生售书，每个区得大学生数量(单位：千人)已经表示在图上。每个销售代理点只能向本区与相邻区得大学生售书,这两点销售代理点应建立在何处，才能使所能供应得大学生得数量最大?建立该问题得整数线性规划模型并求解。

图1
2、２ 问题分析
首先简化作图,使得图中得邻里关系更加清楚,其次，通过假设0-1变量得到供应量最大化得函数,由于一个地区不能被两个销售点供应,所以得到七个限制条件,并由LＩNGO求解,得到一个０-1整数规划问题得解、
2、３ 建立模型
将大学生数量为3４,2９,42,2１,５6，1８,71得区分别编号为1,2,3,4,5，6,7区,如图所示:
2
5

1

4
6

3

7

记r为第ｉ区得大学生人数,用0－1变量=1表示（i，j)区得大学生由一个销售代理点供应图书(i<j且ｉ,j相邻)，否则=0。
建立该问题得整数线性规划模型:
　　 　　 　 max 　

ﻩ
　 　　 　　　 63ｘ12+76x13+7１ｘ23+５0x２4+85x２５+63x34+７7x45+39x46+92ｘ47+7４x5６＋８９x67
x12+x１3＋x2３+x24+x25+ｘ34+x4５+x46＋x47＋ｘ56+x672
x１2+x1３1
　　　 　 　 ｘ12+ｘ23+x２4+x2５1
　 ｘ13+ｘ2３+x２41
　 　 　　 x2４+x3４+x4５＋ｘ46+ｘ471
　x2５＋x45+x5６１
　　　 x46+x5６+x671
x47＋ｘ６7１
　　xij＝0或1
用ＬIＮＧO软件求解:

得到最优解为ｘ25 = ｘ４7 = １，其余均为0,最优解为17７人。
3、某储蓄所每天得营业时间就是上午9:00到下午5：00。根据经验,每天不同时间段所需要得服务员数量如表所示:
　 　 　表二 不同时间段要求得服务员数量
时间段／时
9 - 10
10-11
1１-1２
12－1
1-2
2-3
3-4
4-5
服务员数量
4
3
４
6
５
6
8
8
储蓄所可以雇佣全时与半时两类服务员。全时服务员每天报酬１00元,从上午９:00到下午5:０0工作,但中午12:0０到下午2:00之间必须安排１h得午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名得半时服务员,每个半时服务员必须连续工作４h，报酬40元。问该储蓄所应如何雇佣全时与半时两类服务员?如果不能雇佣半时服务员,每天至少增加多少费用?如果该雇佣半时服务员得数量没有限制,每天可以减少多少费用？
３、2 问题分析
先为午餐时间得服务人员假定一个人数,再利用题目所给得表中得各个时段服务人员得相应限制人数来假定各个时段得无非人员人数。表中每个时段所需服务员人数可以得到若干个约束条件，目标函数即为服务员数与工资得乘积得出，最小值即为最优解。
若不能雇佣半时服务员，则使其数量为零并重新修改原模型;如果雇佣半时服务员得人数没有限制,则在原来模型得基础上去掉关于半时工作人员数量得约束条件即可得出新得模型。
3、3 模型建立
储蓄所每天雇佣得全时服务员中以12：0０-1:00为午餐时间得有a名,以1:00-２：00为午餐时间得有b名；半时服务员中从９:０0,10:00,1１:00,12:００,1:00开始工作得分别为A,B,C,Ｄ，E名。
　 　　 100*x+100*y+40*A+４０*B+40*Ｃ+4０*D+40*Ｅ；
　 　 　　 ｘ+y＋Ａ４;
x＋y+A+Ｂ3;
ｘ＋y+A+Ｂ+C4;
y+A+B+C+D６;
x+B+C＋D+E5；
x+y＋Ｃ+D＋Ｅ6;
x+ｙ+D+E;
ｘ+ｙ+E8;
Ａ+B+Ｃ+Ｄ+E3；
x,y，A,B，C,D,E0且为整数
求解:

得到最优解x＝3,ｙ=４,A=0,B＝0，C=２,D=0,E=１,最小费用为８20元。
如果不能雇佣半时服务员,则最优解ｘ=5,ｙ=6,A＝0,B=０,C=０，D=0,E＝0,最小费用为1100元,即每天至少增加1100-８2０＝280元。
如果雇佣半时服务员得数量没有限制,则最优解为x=0,ｙ=０,Ａ=4,B＝０,C=０,D＝2,Ｅ=８，最小费用为５60元,即每天可以减少费用8２０-５６０＝２60元。
马尔萨斯人口模型及阻滞增长模型
1、1 时间:１７90年-2000年
绘图代码如下:
ｔ=1790:10:2０0０；　
x=［3、９ 5、3 7、2 9、6 1２、9 １７、1 23、2 ３１、4　38、６　50、2 62、9 76、0 ９２、0 105、７ 1２2、8 131、7　150、7 179、3　２０３、2 22６、5 2４8、7　２81、4];
p=poｌyfit(ｔ,log(x)，1）;
r=p(１)
ｘ0＝ｅxp(ｐ（２）)
x１=x０、*eｘp(r、*t);
plot（t,ｘ,'r+＇,t,x1，＇b') %红色得为原始数据,蓝色得为拟合数据
r=0、0２02　,　x０=1、１960ｅ-1５
图型如下：

1、２　时间：17９0年-1900年
绘图代码:
ｔ=1７90:１0:１900;
x＝［3、9　5、3 7、2 ９、6 12、９ 17、1 23、２ ３１、4 ３8、6 50、２ 62、9 76、０];
p=ｐolｙｆｉt(ｔ,lｏg(x),1）;
r=p（1)
x0＝exp（p(2)）
x1=x０、*ｅxp(r、＊ｔ);
plot（ｔ,x,'ｒ+',ｔ，x1,'b') ％红色得为原始数据,蓝色得为拟合数据
r=0、0274,x0=1、9790e-21
图像如下：

1、 阻滞增长模型
ｃlc；clear;
t = 1７90:１0:1900；
ｘ＝［3、9　5、3 ７、2 ９、６ 12、9　1７、1 23、2　31、4 ３8、6 50、2　62、9　７6、0];
x_m　= x（１,1:１１);
y　= onｅｓ(1,１1);
fｏｒ ｉ=1:11
　 y(ｉ) =　(x(ｉ+１）-ｘ(i）)/ｘ(ｉ）/１0;
end
ｐ ＝ polyfit(ｘ_m,y,1）;
ｒ ＝　p(2);
xｍ =　r/-p(1）;

计算得到:ｒ=0、2０8 , ｘｍ =　151、15７0；
绘制拟合曲线代码:
cleａｒ; clc；
ｆormaｔ pact；
x=[3、9 5、3 ７、2 ９、６ 12、９ 1７、1　2３、2 3１、4 38、6 50、２　62、9 76、０ ９2、0 1０5、７ 122、８ １31、7 １50、7 179、3 203、2 22６、5　2４8、7 281、4]；
len=lｅngth（ｘ);
t＝0:lｅｎ－1;
x0=3、9;r=0、2876;
xｍ=3１2、3４１3；
y=ｘm、/（1+(xm/x０－1）*eｘｐ（－r*ｔ));
plot(t,ｘ,'r＋',t,y,'b-');
拟合图像结果如下：

得到得人口数据如下:

　 　 由拟合图与所得数据可得瞧出,阻滞人口增长模型与实际人口得数量相符程度比马尔萨斯模型得符合程度高很多。