【广东省广州市】2017届高考二模文科数学试卷-答案.pdf

-1-/15 广东广东省省广州市广州市 2017 届届高考二模文科数学试卷高考二模文科数学试卷 答答 案案 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 15CDBAA 610CCDCB 1112CB 二、填空题 1363 14122n 1523 161(,1,)5 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12 分）解：（）因为cossinbCbCa，由正弦定理sinsinsinabcABC得，sin cossin sinsinBCBCA 因为ABC，所以sin cossin sinsin()BCBCBC 即sin cossin sinsin coscos sinBCBCBCBC 因为sin0C，所以sincosBB 因为cos0B，所以tan1B 因为(0,)B，所以4B （）设 BC 边上的高线为 AD，则14ADa 因为4B，则14BDADa，34CDa 所以22104ACADDCa，24ABa 由余弦定理得2225cos25ABACBCAABAC -2-/15 所以5cos5A 18（12 分）解：（）这 50 名学生身高的频率分布直方图如下图所示：（）由题意可估计这 50 名学生的平均身高为150 8 160 20 170 16 180 616450 x 所以估计这 50 名学生身高的方差为222228(150 164)20(160 164)16(170 164)6(180 164)8050s 所以估计这 50 名学生身高的方差为 80（）记身高在175,185的 4 名男生为 a，b，c，d，2 名女生为 A，B 从这 6 名学生中随机抽取 3 名学生的情况有：,a b c，,a b d，,a c d，,b c d，,a b A，,a b B，,a c A，,a c B，,a d A，,a d B，,b c A，,b c B，,b d A，,b d B，,c d A，,c d B，,a A B，,b A B，,c A B，,d A B共 20 个基本事件 其中至少抽到 1 名女生的情况有：,a b A，,a b B，,a c A，,a c B，,a d A，,a d B，,b c A，,b c B，,b d A，,b d B，,c d A，,c d B，,a A B，,b A B，,c A B，,d A B共 16 个基本事件 所以至少抽到 1 名女生的概率为164205 19（12 分）证明：（）连接 BD，因为 ABCD 是正方形，所以ACBD 因为FDABCD平面，ACABCD平面，所以ACFD 因为=BDFD D，所以ACBDF平面 因为EBABCD平面，FDABCD平面，所以EBFD 所以 B，D，F，E 四点共面 因为EFBDFE平面，所以EFAC -3-/15 解：（）设=ACBD O，连接 EO，FO 由（）知，ACBDFE平面，所以ACFEO平面 因为平面 FEO 将三棱锥EFAC分为两个三棱锥AFEO和CFEO，所以=+E FACA FEOC FEOVVV 因为正方形 ABCD 的边长为 a，22EBFDa，所以22FOFDODa，22102EOEBOBa 取 BE 的中点 G，连接 DG，则22102FEDGDBBGa 所以等腰三角形 FEO 的面积为22211013()()2224FEOSaaaa 所以231111322333344E FACA FEOC FEOFEOFEOFEOVVVSAOSCOSACaaa 所以三棱锥EFAC的体积为324a 20（12 分）解：（）设点 M 到直线 l 的距离为 d，依题意MFD 设(,)M x y，则有22(1)1xyy 化简得24xy 所以点 M 的轨迹 C 的方程为24xy（）设:1ABlykx，代入24xy中，得2440 xkx 设11(,)A x y，22(,)B xy，则124xxk，124xx -4-/15 所以221214(1)ABkxxk 因为2:4C xy，即24xy，所以2xy 所以直线1l的斜率为112xk，直线2l的斜率为222xk 因为121214x xk k ，所以PAPB，即PAB为直角三角形 所以PAB的外接圆的圆心为线段 AB 的中点，线段 AB 是直径 因为24(1)ABk，所以当0k 时线段 AB 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为4 21（12 分）解：（）因为函数21()ln2f xa xx，所以其定义域为(0,)所以2()axafxxxx 当0a时，()0fx，函数()f x在区间(0,)上单调递减 当0a时，()()()xaxafxx 当xa时，()0fx，函数()f x在区间(,)a 上单调递减 当0 xa 时，()0fx，函数()f x在区间(0,)a上单调递增 综上可知，当0a时，函数()f x的单调递减区间为(0,)；当0a时，函数()f x的单调递增区间为(0,)a，单调递减区间为(,)a （）因为21()()4ln42g xf xxa xxx，所以24()4axxag xxxx（0 x）因为函数()g x存在极小值点，所以()g x在(0,)上存在两个零点1x，2x，且120 xx 即方程240 xxa的两个根为1x，2x，且120 xx，所以12121640400axxx xa ，解得40a -5-/15 则212()()4()xxxxxxag xxx 当10 xx 或2xx时，()0g x，当12xxx 时，()0g x，所以函数()g x的单调递减区间为1(0,)x与2(,)x，单调递增区间为12(,)x x 所以1xx为函数()g x的极小值点0 x 由20040 xxa，得024xa 由于2001()202g xxa等价于2000ln420a xxxa 由20040 xxa，得2004xxa，所以0ln0a xa.因为40a ，所以有0ln1 0 x ，即01ex 因为024xa，所以124ea 解得241eea 所以实数 a 的取值范围为241(,0)ee 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修 4-4：坐标系与参数方程 22（10 分）解：（1）根据题意，曲线 C 的参数方程为2 3cos2sinxy，则其普通方程为：221124xy，将直线20 xy代入221124xy可得：230 xx，解可得0 x 或 3，故2121 13 2ABxx；（2）要求在椭圆221124xy上求一点 P，使PAB的面积最大，则 P 到直线 l 的距离最大；设 P 的坐标为(2 3cos,2sin)，其中0,2)，则 P 到直线 l 的距离224cos()22 3cos2sin26211d，又由0,2)，则13666，-6-/15 所以当6，即56时，d 取得最大值，且max3 2d，此时(3,1)P，PAB的最大面积192SABd 选修 4-5：不等式选讲 23（I）证明：由柯西不等式可得2222(1 1 1)(1)(1)(1)(111)abcabc ，1abc，22216(1)(1)(1)3abc；（）解：当12a 时，不等式即1223x，显然不能任意实数 x 均成立 当12a时，31,1211,2131,2xaxaxxaxaxaxax，此时，根据函数21yxxa的单调性可得 y 的最小值为1312a 不等式212xxa对任意实数 x 均成立，131 22a ，解得52a 当12a时，131,21211,231,xaxxxaxaaxxaxa ，此时，根据函数21yxxa的单调性可得 y 的最小值为112a 不等式212xxa对任意实数 x 均成立，11 22a，解得32a 综上可得，实数 a 的取值范围是35(,)22 -7-/15 广东广东省省广州市广州市 2017 届届高考二模文科数学试卷高考二模文科数学试卷 解解 析析 1【考点】1E：交集及其运算【分析】化简集合 B，根据交集的定义写出 AB【解答】解：集合 A=1，0，1，2，3，4，5，B=b|b=n21，nZ=1，0，3，8，15，AB=1，0，3【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题 2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：（34i+z）i=2+i，则 34i+z=2i+1 z=2+2i【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3【考点】2E：复合命题的真假【分析】利用不等式的解法化简命题 p，q，再利用复合命题的判定方法即可得出【解答】解：命题 p：=a24a2=3a20，因此 xR，x2+ax+a20（aR），是真命题 命题 q：由 2x210，解得x，因此不存在 x0N*，使得，是假命题 则下列命题中为真命题的是 pq【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 4【考点】EF：程序框图【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 -8-/15【解答】解：s=0，i=2，s=2，i=3，s=1i=4，s=3，i=5，s=2，i=6，s=4，i=76，结束循环，输出 s=4，【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题 5【考点】3O：函数的图象【分析】化简 f（x），利用导数判断 f（x）的单调性即可得出正确答案【解答】解：f（x）的定义域为x|x1 或 x1 f（x）=，f（x）=，当 x1 时，f（x）0，当 x2 时，f（x）0，当2x1 时，f（x）0，f（x）在（，2）上单调递增，在（2，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增【点评】本题考查了函数图象的判断，函数单调性的判断，属于中档题 6【考点】CF：几何概型【分析】根据根与系数之间的关系，求出 a 的取值范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可【解答】解：若方程 x22ax+4a3=0 有两个正根，则满足，-9-/15 即，得a1 或 a3，1a5 则对应的概率 P=+=+=，【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据根与系数之间的关系求出 a 的取值范围是解决本题的关键 7【考点】IG：直线的一般式方程【分析】三条直线若两两相交围成一个三角形，则斜率必不相同；否则，只要有两条直线平行，或三点共线时不能构成三角形【解答】解：三条直线不能围成一个三角形，（1）l1l3，此时 m=；l2l3，此时 m=；（2）三点共线时也不能围成一个三角形 2x3y+1=0 与 4x+3y+5=0 交点是（1，）代入 mxy1=0，则 m=【点评】本题考查两直线平行的条件，当斜率相等且截距不相等时两直线平行属于基础题 8【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】设 C（x，2x2），得出关于 x 的函数，根据函数性质求出最小值【解答】解：设 C（x，2x2），则=（4，4），=（x+1，2x21），=4（x+1）+4（2x21）=8x2+4x=8（x+）2 当 x=时取得最小值【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，函数最值得计算，属于中档题 9 -10-/15【考点】LA：平行投影及平行投影作图法【分析】由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，取 AA1的中点 N，可知截面为等腰梯形，利用题中数据可求【解答】解：取 AA1的中点 N，连接 MN，NB，MC1，BC1，由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且 MN=BC1=，MC1=BN，=，梯形的高为，梯形的面积为（）=，【点评】本题的考点是棱柱的结构特征，主要考查几何体的截面问题，关键利用正方体图形特征，从而确定截面为梯形 10【考点】8H：数列递推式【分析】数列an满足 a2=2，an+2+（1）n+1an=1+（1）n（nN*），n=2k（kN*）时，a2k+2a2k=2，因此数列a2k为等差数列，首项为 2，公差为 2 n=2k1（kN*）时，a2k+1+a2k1=0 通过分组求和，利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解：数列an满足 a2=2，an+2+（1）n+1an=1+（1）n（nN*），n=2k（kN*）时，a2k+2a2k=2，因此数列a2k为等差数列，首项为 2，公差为 2 n=2k1（kN*）时，a2k+1+a2k1=0 S100=（a1+a3+a97+a99）+（a2+a4+a100）=0+250+=2550【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、分类讨论方法、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 11 -11-/15【考点】H2：正弦函数的图象【分析】根据区间0，1上，求出 x+的范围，由于在区间0，1上恰有 3 个最高点，建立不等式关系，求解即可【解答】解：函数 f（x）=2sin（x+）（0），x0，1上，x+，图象在区间0，1上恰有 3 个最高点，+，解得：【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键属于中档题 12【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】根据三视图可知三棱锥倒立放置，从而得出棱锥的高，根据俯视图找出三棱锥的底面，得出底面积，从而可求出棱锥的体积【解答】解：由主视图和侧视图可知三棱锥倒立放置，棱锥的底面水平放置，故三棱锥的高为h=4，主视图为直角三角形，棱锥的一个侧面与底面垂直，结合俯视图可知三棱锥的底面为俯视图中的左上三角形，S底=4，V=【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，根据三视图的特征找出棱锥的底面是关键，属于中档题 13【考点】KB：双曲线的标准方程【分析】求得双曲线的 b2=2，由 c=和 e=，解关于 a 的方程，即可得到所求值 -12-/15【解答】解：由双曲线（a0）得到 b2=2，则 c=，所以=2，解得 a=故答案是：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用离心率公式和基本量 a，b，c 的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题 14【考点】8H：数列递推式【分析】设等比数列an的公比为 q0，由 a1=2，可得+=4，化简解出 q，再利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为 q0，a1=2，+=4，化为：q44q2+4=0，解得 q2=2，q0，解得 q=则数列an的通项公式 an=故答案为：【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 15【考点】F4：进行简单的合情推理【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3 和 5 整除；第二个数能同时被 3 和 7 整除；第三个数能同时被 5 和 7 整除，将这三个数分别乘以被 7、5、3 除的余数再相加即可求出答案【解答】解：我们首先需要先求出三个数：-13-/15 第一个数能同时被 3 和 5 整除，但除以 7 余 1，即 15；第二个数能同时被 3 和 7 整除，但除以 5 余 1，即 21；第三个数能同时被 5 和 7 整除，但除以 3 余 1，即 70；然后将这三个数分别乘以被 7、5、3 除的余数再相加，即：152+213+702=233 最后，再减去 3、5、7 最小公倍数的整数倍，可得：2331052=23，或者 105k+23（k 为正整数）这堆物品至少有 23，故答案为：23【点评】本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出 15、21、70这三个数是解答此题的关键，属于中档题 16【考点】5B：分段函数的应用【分析】根据条件判断函数 f（x）的奇偶性和单调性即可【解答】解：，f（x）=f（x），即函数 f（x）是偶函数，在0，+）上为增函数，则不等式 f（3a1）8f（a），等价为 f（|3a1|）f（2|a|），|3a1|2|a|，解得 a 故答案为【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键综合考查函数的性质 17【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】（）利用正弦定理求和三角形的三角的关系，以及两角和的正弦公式 sinB=cosB，即可求出 B，（）设 BC 边上的高线为 AD，运勾股定理和余弦定理，即可求得 cosB，再由正弦定理，即可求出【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查运算能力，-14-/15 属于中档题 18【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图【分析】（）由频率分布表能作出这 50 名学生身高的频率分布直方图（）由频率分布直方图能估计这 50 名学生的平均身高，并能估计这 50 名学生身高的方差（）记身高在175，185的 4 名男生为 a，b，c，d，2 名女生为 A，B利用列举法能求出从这 6 名学生中随机抽取 3 名学生，至少抽到 1 名女生的概率【点评】本题考查频率分布直方图的应用，概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用 19【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（）连接 BD，推导出 ACBD，ACFD，从而 AC平面 BDF推导出 EBFD，从而 B，D，F，E 四点共面，由此能证明 EFAC（）设 ACBD=O，连接 EO，FO，由 VEFAC=VAFEO+VCFEO，能求出三棱锥 EFAC 的体积【点评】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题 20【考点】KN：直线与抛物线的位置关系；J3：轨迹方程【分析】（）利用直接法，即可求动圆 M 的圆心轨迹 C 的方程；（）证明PAB 的外接圆的圆心为线段 AB 的中点，线段 AB 是直径得到当 k=0 时线段 AB最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 4【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 21【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（I）计算 f（x），讨论 a 判断 f（x）的符号得出 f（x）的单调区间；（II）由导数和二次函数的性质得 g（x）=0 在（0，+）上有两解列不等式组得出 a 的范围，根据得出 a 的范围，再取交集即可 -15-/15【点评】本题考查了导数与函数单调性、极值的关系，函数最值得计算，属于中档题 22【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；QL：椭圆的参数方程【分析】（1）根据题意，将曲线 C 的参数方程变形为普通方程，将直线 xy2=0 代入其中，可得 x23x=0，解可得 x 的值，由弦长公式计算可得答案；（2）分析可得要使PAB 的面积最大，则必须使 P 到直线直线 l 的距离最大，设 P 的坐标为（2cos，2sin），其中 0，2），由点到直线 l 的距离公式可得 d=，由余弦函数的性质分析可得当+=，即=时，d 取得最大值，代入点的坐标（2cos，2sin）中可得 P 的坐标，进而计算可得PAB 的最大面积，即可得答案【点评】本题考查椭圆与直线的位置关系，涉及椭圆的参数方程，关键是正确将参数方程化为普通方程 23【考点】R4：绝对值三角不等式；R6：不等式的证明【分析】（I）利用柯西不等式，即可证明；（）分：a=、a、a三种情况，分别化简不等式，根据函数 y=|2x1|+|xa|的最小值大于或等于 2，求得 a 的范围【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题