高中数学-导数的应用一——证明不等式（wg）.docx

导数题型一：证明不等式
不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开研究,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷,操作性强,易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些不等式。
一．构造形似函数型
例1．求证下列不等式
（1） （相减）

（2） （相除两边同除以x得）

（3）

（4）已知：，求证；（换元：设）

（5）已知函数，，证明：

巩固练习：
1.证明时，不等式
2.，证明：
3.时，求证：
4.证明:
5.证明: ，.

赞同

二、需要多次求导
例2.当时,证明:

例3.求证:x＞0时,

例4.设函数f(x)＝ln x＋x2－(a＋1)x(a>0，a为常数)．若a＝1，证明：当x>1时，f(x)< x2－－.

三、作辅助函数型
例5.已知：a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba.

例6.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
(i)求函数f(x)的最大值；
(ii)设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

巩固练习
6、证明 (1)
(2),证明
（3）若,证明:

四、同增与不同增
例7.证明：对任意.

例8.已知函数证明：.

五、极值点偏移（理科）
例9.已知函数．如果且证明．

例10.已知函数，其中是自然对数的底数.若，且，求证：

六、放缩法
例11.已知：，求证：。

例12.当且时，证明：.

例13.求证：（）．

巩固练习
7.证明:对任意的正整数,不等式…都成立.
8.已知且，求证: .
9.求证：×…×<(n≥2，n∈N*)．
10.证明：对任意的 ，有.

七、综合题型
例13.已知函数.
（Ⅱ）证明： .

例14.为实数，函数
（1）求的单调区间
（2）求证：当且时，有

例15.已知函数（且）.
（1）当时，求证:在上单调递增；
（2）当且时,求证:.