广东省实验中学高一下学期期末考试数学试卷(含参考答案).pdf

1 广东省实验中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U=R，若集合M=0，1，N=y|y=cosx，xM，则 M 与 N 的关系用韦恩（Venn）图可以表示为（）ABCD2若干人站成一排，其中为互斥事件的是（）A“甲站排头”与“乙站排头”B“甲站排头”与“乙站排尾”C“甲站排头”与“乙不站排头”D“甲不站排头”与“乙不站排头”3在长为3m 的线段 AB 上任取一点P，则点 P与线段两端点A、B 的距离都大于1m 的概率是（）ABCD4已知数列 an 是等差数列，且a1+a7+a13=，则 sina7=（）ABCD5如果关于x 的方程 2x+1a=0 有实数根，则a 的取值范围是（）A 2，+）B（1，2 C（2，1 D （0，+）6若数列 an 满足：a1=2，=（n2），则 a4等于（）AB1 CD7函数 f（x）=，则 y=f（x+1）的图象大致是（）ABCD8已知函数，下面四个结论中正确的是（）A函数 f（x）的最小正周期为22 B函数 f（x）的图象关于直线对称C函数 f（x）的图象是由y=2cos2x 的图象向左平移个单位得到D函数是奇函数9某程序框图如图所示，该程序运行输出的k 值是（）A4 B5 C6 D7 10在数列 an中，a1=1，a2=2，且 an+2 an=1+（1）n（n N*），则 S100=（）A2100 B2600 C2800 D 3100 11如图已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角 A、B 分别为 60 和 45，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为（）ABCD12已知函数f（t）是奇函数且是R 上的增函数，若x，y 满足不等式f（x22x）f（y22y），则 x2+y2的最大值是（）AB C8 D12 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13若回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是14某服装加工厂某月生产A、B、C 三种产品共4000 件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中 A、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，则 C 的产品数量是产品类别A B C 产品数量（件）2300 3 样本容量（件）230 15如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分，则剩余分数的方差为16如图所示，在ABC 中，AD=DB，F 在线段 CD 上，设=，=，=，则的最小值为三、解答题：本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17为了推进身体健康知识宣传，有关单位举行了有关知识有奖问答活动，随机对市民1565 岁的人群抽样 n 人，回答问题统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率频率正确直方图第 1 组 15，25）5 0.5 第 2 组 25，35）a 0.9 第 3 组 35，45）27 x 第 4 组 45，55）9 0.36 第 5 组 55，65）3 0.2（1）分别求出n，a，x 的值；（2）请用统计方法估计参与该项知识有奖问答活动的n 人的平均年龄（保留一位小数）18连掷两次骰子得到点数分别为m 和 n，记向量=（m，n），向量=（1，1）（1）记为事件 A，求事件A 发生的概率；（2）若与的夹角为，记 （0，）为事件 B，求事件B 发生的概率4 19在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且（）求的值；（）若，求 ABC 面积的最大值20已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且（a1）Sn=a（an1）（a0）（nN*）（）求证数列 an 是等比数列，并求an；（）已知集合A=x|x2+a（a+1）x，问是否存在实数a，使得对于任意的nN*都有 SnA？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由21已知二次函数f（x）=x24x+a+3，（1）若函数y=f（x）在 1，1 上存在零点，求实数a 的取值范围；（2）若函数y=f（x），x t，4 的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D 的长度为72t？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由（注：区间 p，q 的长度为qp）22已知数列 an满足条件：对任意的n N*，点（1，n2）在函数f（x）=a1x+a2x2+a3x3+anxn（nN*）的图象上，g（x）=，数列 bn满足 b1=，bn+1=g（bn），nN*，（1）求数列 an 与 bn的通项公式；（2）试比较f（）与bn的大小（其中nN*）5 广东省实验中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U=R，若集合M=0，1，N=y|y=cosx，xM，则 M 与 N 的关系用韦恩（Venn）图可以表示为（）AB C D【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【分析】求出集合 N，判断两个集合元素之间的关系进行判断即可【解答】解：N=y|y=cosx，x M=y|y=1 或 y=cos1 或 y=0=0，1，cos1，则 M N=0，1，故选：A2若干人站成一排，其中为互斥事件的是（）A“甲站排头”与“乙站排头”B“甲站排头”与“乙站排尾”C“甲站排头”与“乙不站排头”D“甲不站排头”与“乙不站排头”【考点】互斥事件与对立事件【分析】根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断【解答】解：根据互斥事件不能同时发生，判断A 是互斥事件；B、C、D 中两事件能同时发生，故不是互斥事件；故选 A3在长为3m 的线段 AB 上任取一点P，则点 P与线段两端点A、B 的距离都大于1m 的概率是（）ABCD【考点】几何概型【分析】由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为3，基本事件的区域长度为 1，代入几何概率公式可求【解答】解：设“长为 3m 的线段 AB”对应区间 0，3“与线段两端点A、B 的距离都大于1m”为事件A，则满足A 的区间为 1，2根据几何概率的计算公式可得，故选：B 4已知数列 an 是等差数列，且a1+a7+a13=，则 sina7=（）6 ABCD【考点】等差数列的通项公式【分析】由等差数列通项公式求出，由此能求出sina7【解答】解：数列 an 是等差数列，且a1+a7+a13=，a1+a7+a13=3a7=，解得，sina7=sin（）=sin=故选：C5如果关于x 的方程 2x+1a=0 有实数根，则a 的取值范围是（）A 2，+）B（1，2 C（2，1 D （0，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由方程 2x+1a=0 变形为：a=2x+1，利用指数函数的单调性与值域即可得出【解答】解：由方程2x+1a=0 变形为：a=2x+1，2x+1 0，a0故选：D6若数列 an 满足：a1=2，=（n2），则 a4等于（）AB1 CD【考点】数列递推式【分析】由数列递推式利用累积法求出数列的通项公式，则a4可求【解答】解：由 a1=2，=（n2），得=故选：C7函数 f（x）=，则 y=f（x+1）的图象大致是（）7 ABCD【考点】函数的图象【分析】作出函数f（x）的图象，然后向左平移一个单位即可得到y=f（x+1）的图象【解答】解：函数f（x）的图象如图：将函数 f（x）向左平移一个单位即可得到y=f（x+1）的图象即选 B8已知函数，下面四个结论中正确的是（）A函数 f（x）的最小正周期为2B函数 f（x）的图象关于直线对称C函数 f（x）的图象是由y=2cos2x 的图象向左平移个单位得到D函数是奇函数【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性；余弦函数的对称性【分析】由 f（x）=2cos（2x+）可求得周期T=，从而可判断A 的正误；将代入 f（x）=2cos（2x+）可得 f（）的值，看是否为最大值或最小值，即可判断B 的正误；y=2cos2x 的图象向左平移个单位得到y=2cos2（x+）=2cos（2x+），显然 C 不对；8 f（x+）=2cos（2x+）=2sinx，可判断 D 的正误【解答】解：f（x）=2cos（2x+），故周期 T=，可排除A；将代入 f（x）=2cos（2x+）可得：f（）=2cos=0 2，故可排除B；y=2cos2x 的图象向左平移个单位得到y=2cos2（x+）=2cos（2x+），故可排除C；f（x+）=2cos（2x+）=2sinx，显然为奇函数，故D 正确故选 D9某程序框图如图所示，该程序运行输出的k 值是（）A4 B5 C6 D7【考点】循环结构【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算 S，k 值并输出 k，模拟程序的运行过程，即可得到答案【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S k 是否继续循环循环前100 0/第一圈 100201 是第二圈 10020212 是第六圈 10020212223 24250 6 是则输出的结果为7故选 C10在数列 an中，a1=1，a2=2，且 an+2 an=1+（1）n（n N*），则 S100=（）A2100 B2600 C2800 D 3100【考点】数列递推式；数列的求和9【分析】由数列递推式得到数列的所有奇数项相等都等于a1，所有偶数项构成以a2为首项，以2 为公差的等差数列，则S100可求【解答】解：由 an+2an=1+（1）n，当 n=1 时，得 a3a1=0，即 a3=a1；当 n=2 时，得 a4a2=2，由此可得，当 n 为奇数时，an=a1；当 n 为偶数时，S100=a1+a2+a100=（a1+a3+a99）+（a2+a4+a100）=50a1+a2+（a2+2）+（a2+4）+（a2+98）=50+50a2+（2+4+98）=150+=150+50 49=150+2450=2600故选：B11如图已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角 A、B 分别为 60 和 45，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】根据正弦定理求出相应的边长，利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角 A、B 分别为 60 和 45，根据正弦定理可知，即 AC=2RsinB=2，BC=2RsinA=，sinC=sin=sin（60+45）=，ABC 的面积 S=25（3+），则圆的面积为 102=100，10 根据几何概型的概率公式可知豆子落在三角形ABC 内的概率为，故选：B12已知函数f（t）是奇函数且是R 上的增函数，若x，y 满足不等式f（x22x）f（y22y），则 x2+y2的最大值是（）AB C8 D12【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义【分析】先根据函数的单调性和奇偶性把函数问题转化才二元二次不等式，设点P 的坐标为（x，y），进而根据不等式的形式判断点P是以（1，1）为圆心，为半径的圆上及以内的点，进而根据图象可知的最大值为圆的直径，进而求得x2+y2的最大值【解答】解：f（x22x）f（y22y），f（x22x）f（y2+2y），f（x）是增函数x22x y2+2y，整理得（x1）2+（y1）22 设点 P 的坐标为（x，y）则点 P 是以（1，1）为圆心，为半径的圆上及以内的点，而此圆过原点则为点 P到原点的距离，圆过原点，的最大值为圆的直径2x2+y2的最大值为8 故选 C 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13若回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是=1.23x+0.08【考点】线性回归方程【分析】由已知中数据中心点坐标，根据回归直线一定经过样本数据中心点，求出值，可得回归直线方程【解答】解：由条件知，设回归直线方程为，则故回归直线的方程是=1.23x+0.08 故答案为：=1.23x+0.08 14某服装加工厂某月生产A、B、C 三种产品共4000 件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中 A、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，则 C 的产品数量是800产品类别A B C 11 产品数量（件）2300 样本容量（件）230【考点】分层抽样方法【分析】在分层抽样中每个个体被抽到的概率相等，由B 产品知比为，A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，得 C 产品的样本容量为80，算出 C 产品的样本容量，根据每个个体被抽到的概率，算出产品数【解答】解：分层抽样是按比抽取，由 B 产品知比为=，共抽取样本容量是4000=400，A 产品容量比C 产品的样本容量多10，4002302x10=0 得 C 产品的样本容量为80，C 产品共有 80=800，故答案为：800 15如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分，则剩余分数的方差为【考点】茎叶图；极差、方差与标准差【分析】根据茎叶图知去掉一个最高分和一个最低分以后知选手的得分，根据分数写出求平均数的公式，解出平均数，再代入方差的公式，得到这组数据的方差【解答】解：由茎叶图知去掉一个最高分和一个最低分以后，选手的得分是84，84，84，86，87 该选手的平均分是=85 该选手的成绩的方差是（1+1+1+1+4）=故答案为：16如图所示，在ABC 中，AD=DB，F 在线段 CD 上，设=，=，=，则的最小值为12【考点】向量的线性运算性质及几何意义；基本不等式【分析】可由条件得出，进而便可得出2x+y=1，并且 x，y（0，1），从而便可得出，然后化简，根据基本不等式即可求出原式的最小值【解答】解：根据条件，；C，F，D 三点共线，且F在线段 CD 上；2x+y=1，且 x，y（0，1）；=，当且仅当，即时取“=”；的最小值为故答案为：三、解答题：本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17为了推进身体健康知识宣传，有关单位举行了有关知识有奖问答活动，随机对市民1565 岁的人群抽样 n 人，回答问题统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率频率正确直方图第 1 组 15，25）5 0.5 第 2 组 25，35）a 0.9 第 3 组 35，45）27 x 第 4 组 45，55）9 0.36 第 5 组 55，65）3 0.2（1）分别求出n，a，x 的值；（2）请用统计方法估计参与该项知识有奖问答活动的n 人的平均年龄（保留一位小数）【考点】频率分布直方图【分析】（1）由频率表中的数据，求出样本容量n 与数据 a、x 的值；（2）根据频率分布直方图，计算对应数据的平均值即可【解答】解：（1）由频率表中第4 组数据可知，第4 组总人数为=25，再结合频率分布直方图可知n=100，a=100 0.02100.9=18，又第三组总人数为1000.0310=30，x=0.9；（2）根据频率分布直方图，得13 参与该项知识有奖问答活动的n人的平均年龄为=200.01010+300.020 10+40 0.03010+500.02510+600.01510=41.518连掷两次骰子得到点数分别为m 和 n，记向量=（m，n），向量=（1，1）（1）记为事件 A，求事件A 发生的概率；（2）若与的夹角为，记 （0，）为事件 B，求事件B 发生的概率【考点】几何概型【分析】（1）根据向量=（m，n），向量=（1，1），求出?=mn，时 m=n，算出事件个数，运用古典概率公式求解（2）（0，），?0，判断出mn，算出事件个数，运用古典概率公式求解【解答】解：（1）连掷两次骰子得到点数分别为m 和 n，向量=（m，n），向量=（1，1），?=mn=0，总共的事件有36 个，符合题意的有6 个，P（A）=；（2）（0，），?0，即 mn0，mn，m，n 1，6 的整数总共的事件有36 个，符合题意的有15 个，根据古典概率公式得：=19在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且（）求的值；（）若，求 ABC 面积的最大值【考点】余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦定理【分析】（）通过求出，利用二倍角以及三角形的内角和化简，即可求出它的值；（）利用，结合余弦定理，求出a，c 的关系，通过基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面积最大值【解答】（本小题满分13 分）解：（I）因为，所以又=+=14（II）由已知得，又因为，所以 又因为，所以 ac6，当且仅当时，ac 取得最大值此时所以 ABC 的面积的最大值为20已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且（a1）Sn=a（an1）（a0）（nN*）（）求证数列 an 是等比数列，并求an；（）已知集合A=x|x2+a（a+1）x，问是否存在实数a，使得对于任意的nN*都有 SnA？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由【考点】数列与函数的综合；数列递推式【分析】（）先由条件构造等式（a1）Sn1=a（an11）与已知条件作差求出数列 an 的递推公式，再对数列 an 的递推公式变形即可证数列an是等比数列，再代入等比数列的通项公式即可求出an；（）先对 a 分情况讨论分别求出对应的集合A 和 Sn，再分别看是否满足对于任意的n N*都有 SnA 进而求出 a 的取值范围【解答】解：（）当n=1 时，（a1）S1=a（a11），a1=a（a0）n2 时，由（a1）Sn=a（an1）（a0）得（a1）Sn1=a（an11）（a1）an=a（anan1），变形得：=a（n2）故 an 是以 a1=a 为首项，公比为a 的等比数列，an=an（）（1）当 a=1 时，A=1，Sn=n，只有 n=1 时 SnA，a=1 不适合题意（2）a1 时，A=x|1xa，S2=a+a2a，S2?A，即当 a 1 时，不存在满足条件的实数a（3）当 0a1 时，A=x|ax1而 Sn=a+a2+an=因此对任意的nN*，要使 SnA，只需 0a1，解得 0 a综上得实数a 的范围是（0，21已知二次函数f（x）=x24x+a+3，（1）若函数y=f（x）在 1，1 上存在零点，求实数a 的取值范围；15（2）若函数y=f（x），x t，4 的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D 的长度为72t？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由（注：区间 p，q 的长度为qp）【考点】二次函数的性质【分析】（1）由题意可得a3=x24x 在 1，1 上有解，求得y=x24x 在 1，1 的最值，即可得到所求 a 的范围；（2）对 t 讨论，分t 2，t=0，0 t2，t0，运用二次函数的单调性，可得最值，结合区间的长度，解方程即可得到所求t 的值【解答】解：（1）函数 y=f（x）在 1，1 上存在零点，可得：x24x+a+3=0 即 a3=x24x 在 1，1 上有解，由 y=x24x 在 1，1 上递减，可得最小值为3，最大值为5即有 3 a35，解得 8a 0；（2）函数 y=f（x），x t，4，当 t2 时，区间 t，4 为增区间，即有函数的值域为 t24t+a+3，a+3，由 a+3（t24t+a+3）=72t，解得 t=3+（3舍去）；当 t=0 时，f（x）在 0，2 递减，（2，4 递增，可得最小值为1，最大值为33（1）=472t；当 t0 时，f（t）f（4），f（x）在 t，4 的最小值为a 1，最大值为f（t）=t24t+a+3，由 t24t+a+3a+1=72t，即 t22t3=0，解得 t=1（3 舍去）；当 0 t2 时，f（t）f（4），f（x）在 t，4 的最小值为a1，最大值为f（4）=a+3，由a+3a+1=72t，即72t4=0，解得t=综上可得，存在常数t=3+，1 或，使区间D 的长度为7 2t22已知数列 an满足条件：对任意的n N*，点（1，n2）在函数f（x）=a1x+a2x2+a3x3+anxn（nN*）的图象上，g（x）=，数列 bn满足 b1=，bn+1=g（bn），nN*，（1）求数列 an 与 bn的通项公式；（2）试比较f（）与 bn的大小（其中nN*）【考点】数列与函数的综合【分析】（1）将点（1，n2）代入函数解析式，求得Sn=n2，n2 时，由 an=SnSn1，即可求得an=2n1，验证当n=1成立，由题意可知bn+1=，构造等比数列，根据等比数列通项公式即可求得bn 的通项公式；（2）将 x=代入 f（x）的解析式，利用“错位相减法”求得 f（）的解析式，与（1）所求的bn的通项公式，当 n=1 时，比较大小，当n2，分别求得f（）与 bn的极限值，即可比较大小【解答】解：（1）设数列 an的前 n 项和为 Sn，则 Sn=a1+a2+a3+an=f（1）=n2，当 n=1 时，a1=S1=1，16 当 n 2 时，an=Sn Sn1=n2（n1）22n1，n2 时，an=2n1 对于 n=1 也同样适用，an=2n1，nN*bn+1=g（bn）=，1=（1），1=数列 1是以为首项，为公比的等比数列，1=（）n，bn=，数列 an 通项公式为an=2n1，bn 的通项公式bn=；（2）f（）=+3+5+（2n1），两边都乘以，可得f（）=（）2+3（）3+5（）4+（2n1）（）n+1，两式相减，得f（）=（）+2（）2+2（）3+2（）n（2n 1）（）n+1，=+（2n1）（）n+1，=（2n+3）（）n+1，则f（）=3（2n+3）（）n，nN*bn=1，nN*，当 n=1 时，f（）=，b1=，f（）bn，当 n 2，随着 n 的增加 f（）逐渐趋于3，即f（）=3，bn趋近于 1，bn=1，f（）bn，17 综上可知：当n=1 时，f（）bn，当 n 2 时，f（）bn