中考数学-2015年广西玉林市、防城港市中考数学真题试卷.docx

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2015年广西玉林市、防城港市中考数学真题试卷
一.选择题（每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的）
1.（2015•玉林）的相反数是（　　）
A.                                          B.                                          C. -2                                         D. 2
2.（2015•玉林）计算：cos245°+sin245°=（　　）
A.                                          B. 1                                         C.                                          D. 
3.（2015•玉林）下列运算中，正确的是（　　）
A. 3a+2b=5ab                 B. 2a3+3a2=5a5                 C. 3a2b﹣3ba2=0                 D. 5a2﹣4a2=1
4.（2015•玉林）下面角的图示中，能与30°角互补的是（　　）
A. ​                       B.                        C. ​                       D. ​
5.（2015•玉林）如图是由七个棱长为1的正方体组成的一个几何体，其俯视图的面积是（　　）

A. 3                                           B. 4                                           C. 5                                           D. 6
6.（2015•玉林）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（　　）

A. AD=AE                           B. DB=EC                           C. ∠ADE=∠C                           D. DE=BC
7.（2015•玉林）学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘制成了条形统计图，则30名学生参加活动的平均次数是（　　）
​
A. 2                                         B. 2.8                                         C. 3                                         D. 3.3
8.（2015•玉林）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（　　）

A. AC=AB                        B. ∠C=∠BOD                          C. ∠C=∠B                        D. ∠A=∠BOD
9.（2015•玉林）如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是14，则DM等于（　　）
​
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
10.（2015•玉林）某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度为xkm/h，则列方程是（　　）
A.                       B.                       C.                       D. 
11.（2015•玉林）如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（　　）

A.                                         B. 2                                        C. 1.5                                        D. 
12.（2015•玉林）如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（　　）

A. a=b+2k                            B. a=b﹣2k                            C. k＜b＜0                            D. a＜k＜0
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13.（2015•玉林）计算：3﹣（﹣1）= ________．
14.（2015•玉林）将太阳半径696000km这个数值用科学记数法表示是 ________km．
15.（2015•玉林）分解因式：2x2+4x+2= ________．
16.（2015•玉林）某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，并根据此次调查结果绘制了一个不完整的扇形统计图，其中“其他”部分所对应的圆心角是36°，则“步行”部分所占百分比是 ________．

17.（2015•玉林）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC= ________．

18.（2015•玉林）计算：（﹣3）0×6﹣+|π﹣2|
19.（2015•玉林）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 ________．

三.解答题（共8小题，满分66分）
20.（2015•玉林）解不等式组：， 并把解集在数轴上表示出来．

21.（2015•玉林）根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：                  ， 然后证明你的结论（不要求写已知、求证）

22.（2015•玉林）现有三张反面朝上的扑克牌：红桃2、红桃3、黑桃x（1≤x≤13且x为奇数或偶数）．把牌洗匀后第一次抽取一张，记好花色和数字后将牌放回，重新洗匀第二次再抽取一张．
(1)求两次抽得相同花色的概率；
(2)当甲选择x为奇数，乙选择x为偶数时，他们两次抽得的数字和是奇数的可能性大小一样吗？请说明理由．（提示：三张扑克牌可以分别简记为红2、红3、黑x）
23.（2015•玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB．

(1)求证：四边形BCDE是平行四边形；
(2)已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．
24.（2015•玉林）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．

(1)求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
(2)应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？
25.（2015•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．

(1)当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
(2)取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．
26.（2015•玉林）已知：一次函数y=﹣2x+10的图象与反比例函数（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．

(1)当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；
(2)在1的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若，求△ABC的面积．

答案解析部分
一.选择题（每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的）
1.【答案】A
【考点】相反数
【解析】【解答】解：的相反数是﹣．
故选A．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．
2.【答案】B
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos45°=sin45°=，
∴cos245°+sin245°
=
=
=1．
故选：B．
【分析】首先根据cos45°=sin45°=，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．
3.【答案】C
【考点】同类项、合并同类项
【解析】【解答】解：A、3a和2b不是同类项，不能合并，A错误；
B、2a3+和3a2不是同类项，不能合并，B错误；
C、3a2b﹣3ba2=0，C正确；
D、5a2﹣4a2=a2 ， D错误，
故选：C．
【分析】先根据同类项的概念进行判断是否是同类项，然后根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变计算进行判断．
4.【答案】D
【考点】余角和补角
【解析】【解答】解：30°角的补角=180°﹣30°=150°，是钝角，
结合各图形，只有选项D是钝角，
所以，能与30°角互补的是选项D．
故选：D．
【分析】先求出30°的补角为150°，再测量度数等于150°的角即可求解．
5.【答案】C
【考点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由七个棱长为1的正方体组成的一个几何体，其俯视图如图所示；
∴其俯视图的面积=5，
故选C．

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，根据题意画出图形即可求解．
6.【答案】D
【考点】平行线的性质，等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴，∠ADE=∠B，
∵AB=AC，
∴AD=AE，DB=EC，∠B=∠C，
∴∠ADE=∠C，
而DE不一定等于BC，
故选D．
【分析】由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项．
7.【答案】C
【考点】条形统计图，加权平均数
【解析】【解答】解：（3×1+5×2+11×3+11×4）÷30
=（3+10+33+44）÷30
=90÷30
=3．
故30名学生参加活动的平均次数是3．
故选：C．
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．注意本题不是求3，5，11，11这四个数的平均数．
8.【答案】B
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【解答】解：A、根据垂径定理不能推出AC=AB，故A选项错误；
B、∵直径CD⊥弦AB，
∴=，
∵对的圆周角是∠C，对的圆心角是∠BOD，
∴∠BOD=2∠C，故B选项正确；
C、不能推出∠C=∠B，故C选项错误；
D、不能推出∠A=∠BOD，故D选项错误；
故选：B
【分析】根据垂径定理得出=， =​，根据以上结论判断即可．
9.【答案】C
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM=∠CBM，
∵AB∥CD，
∴∠ABM=∠BMC，
∴∠BMC=∠CBM，
∴BC=MC=2，
∵▱ABCD的周长是14，
∴BC+CD=7，
∴CD=5，
则DM=CD﹣MC=3，
故选：C．
【分析】根据BM是∠ABC的平分线和AB∥CD，求出BC=MC=2，根据▱ABCD的周长是14，求出CD=5，得到DM的长．
10.【答案】A
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【解析】【解答】解：列车提速前行驶skm用的时间是小时，
列车提速后行驶s+50km用的时间是小时，
因为列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，
所以列方程是=．
故选：A．
【分析】首先根据行程问题中速度、时间、路程的关系：时间=路程÷速度，用列车提速前行驶的路程除以提速前的速度，求出列车提速前行驶skm用的时间是多少；然后用列车提速后行驶的路程除以提速后的速度，求出列车提速后行驶s+50km用的时间是多少；最后根据列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，列出方程即可．
11.【答案】B
【考点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠B=90°，
∵翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，
∴AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90°，
∴AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC，
∴∠CAB=30°，
∴∠ACB=60°，
∴∠BCE=，
∴BE=
∵AB∥CD，
∴∠OAE=∠FCO，
在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴EF与AC互相垂直平分，
∴四边形AECF为菱形，
∴AE=CE，
∴BE=，
∴，
故选：B．
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，得到AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90°，从而AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC，得到∠CAB=30°，∠ACB=60°，进一步得到∠BCE=，所以BE=，再证明△AOE≌△COF，得到OE=OF，所以四边形AECF为菱形，所以AE=CE，得到BE=，即可解答．
12.【答案】D
【考点】二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m），
∴﹣=﹣，即b=a，∴m==﹣，
∴顶点（﹣，﹣），
把x=﹣，y=﹣代入反比例解析式得：k=，
由图象知：抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∴a＜k＜0，
故选D．
【分析】把（﹣，m）代入y=ax2+bx图象的顶点坐标公式得到顶点（﹣，﹣），再把（﹣，﹣）代入得到k=，由图象的特征即可得到结论．
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13.【答案】4
【考点】有理数的减法
【解析】【解答】解：3﹣（﹣1）=3+1=4，
故答案为4．
【分析】先根据有理数减法法则，把减法变成加法，再根据加法法则求出结果．
14.【答案】6.96×105
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：696000=6.96×105 ，
故答案为：6.96×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
15.【答案】2（x+1）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式=2（x2+2x+1）=2（x+1）2 ，
故答案为：2（x+1）2 ．
【分析】根据提公因式，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
16.【答案】40%
【考点】扇形统计图
【解析】【解答】解：∵“其他”部分所对应的圆心角是36°，
∴“其他”部分所对应的百分比为：36360×100%=10%，
∴“步行”部分所占百分比为：100%﹣10%﹣15%﹣35%=40%，
故答案为：40%．
【分析】先根据“其他”部分所对应的圆心角是36°，算出“其他”所占的百分比，再计算“步行”部分所占百分比，即可解答．
17.【答案】105°
【考点】旋转的性质，等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接OQ，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠B=45°，
由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，
∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，
∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，
∴∠OQC=45°，
∵BO：OA=1：，
设BO=1，OA=，
∴AQ=，则tan∠AQO==，
∴∠AQO=60°，
∴∠AQC=105°．
​
18.【答案】【解答】解：原式=1×6﹣4+π﹣2=π．
【考点】实数的运算，零指数幂
【解析】【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用算术平方根定义计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
19.【答案】
【考点】正方形的性质，轴对称-最短路线问题
【解析】【解答】解：如图1所示
，
作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，
∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，
∴AA′=6，AE′=4．
∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，
∴DQ是△AA′E′的中位线，
∴DQ=AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，
∵BP∥AA′，
∴△BE′P∽△AE′A′，
∴，即，BP=，CP=BC﹣BP=3﹣=，
S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣AD•DQ﹣CQ•CP﹣BE•BP
=9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×=，
故答案为：．
【分析】根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积．
三.解答题（共8小题，满分66分）
20.【答案】【解答】解：，
由①得：x≥1，
由②得：x＜4，
则不等式组的解集为1≤x＜4，

【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
21.【答案】【解答】解：结论：OM平分∠BOA，
证明：由作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM，
在△COM和△DOM中，
​，
∴△COM≌△DOM，
∴∠COM=∠DOM，
∴OM平分∠BOA．
【考点】全等三角形的判定与性质，作图—基本作图
【解析】【分析】根据图中尺规作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM，根据全等三角形的判定和性质得到答案．
22.【答案】（1）【解答】解：如图，所有可能的结果有9种，两次抽得相同花色的可能性有5种，
∴P（相同花色）=59，
∴两次抽得相同花色的概率为：59；
（2）他们两次抽得的数字和是奇数的可能性大小一样，
∵x为奇数，两次抽得的数字和是奇数的可能性有4种，
∴P（甲）=49，
∵x为偶数，两次抽得的数字和是奇数的可能性有4种，
∴P（乙）=49，
∴P（甲）=P（乙） ，
∴他们两次抽得的数字和是奇数的可能性大小一样．

【考点】列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）如图，根据树状图求出所有可能的结果有9种，两次抽得相同花色的可能性有5种，即可得到结果；
（2）根据树状图求出两次抽得的数字和是奇数的可能性再分别求出他们两次抽得的数字和是奇数的概率比较即可．
23.【答案】（1）【解答】解：∵∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴=，
∵E为的中点，
∴，
∴DE∥AB，OD⊥BE，
即DE∥BC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形；
（2）连接OE，由1知，，
∴∠BOE=120°，
∵阴影部分面积为6π，
∴=6π，
∴r=6．

【考点】平行四边形的判定，切线的性质，扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由∠BOD=60°E为的中点，得到， 于是得到DE∥BC，根据CD是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四边形；
（2）连接OE，由（1）知，​，得到∠BOE=120°，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．
24.【答案】（1）【解答】解：设y=kx+b，由图象可知，
20k+b=2030k+b=0，
解之，得：k=-2b=60，
∴y=﹣2x+60；
（2）p=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣2x+60）
=﹣2x2+80x﹣600，
∵a=﹣2＜0，
∴p有最大值，
当x=-80-2×2=20时，p最大值=200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数的应用
【解析】【分析】（1）由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式；
（2）每天利润=每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
25.【答案】（1）【解答】解：∵△CDQ≌△CPQ，
∴DQ=PQ，PC=DC，
∵AB=DC=5，AD=BC=3，
∴PC=5，
在Rt△PBC中，PB==4，
∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，
设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x，
在Rt△PAQ中，（3﹣x）2=x2+12 ，
解得x=，
∴AQ=．
（2）如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，
∵MD⊥MP，
∴∠PMD=90°，
∴∠PME+∠DMF=90°，
∵∠FDM+∠DMF=90°，
∴∠MDF=∠PME，
∵M是QC的中点，
根据直角三角形直线的性质求得DM=PM=QC，
在△MDF和△PME中，
，
∴△MDF≌△PME（AAS），
∴ME=DF，PE=MF，
∵EF⊥CD，AD⊥CD，
∴EF∥AD，
∵QM=MC，
∴DF=CF=DC=，
∴ME=，
∵ME是梯形ABCQ的中位线，
∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，
∴AQ=2．

【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求得DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股定理即可求得；
（2）过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，先证得△MDF≌△PME，求得ME=DF=，然后根据梯形的中位线的性质定理即可求得．
26.【答案】（1）【解答】解：把A（4，2）代入，得k=4×2=8．
∴反比例函数的解析式为．
解方程组，得
或，
∴点B的坐标为（1，8）；
（2）①若∠BAP=90°，
过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，
对于y=﹣2x+10，
当y=0时，﹣2x+10=0，解得x=5，
∴点E（5，0），OE=5．
∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，
∴HE=5﹣4=1．
∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．
又∵∠BAP=90°，
∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，
∴∠MAH=∠AEM，
∴△AHM∽△EHA，
∴，
∴，
∴MH=4，
∴M（0，0），
可设直线AP的解析式为y=mx
则有4m=2，解得m=，
∴直线AP的解析式为y=x，
解方程组，得
或，
∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．
②若∠ABP=90°，
同理可得：点P的坐标为（﹣16，）．
综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；

（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，
则有BS∥CT，
∴△CTD∽△BSD，
∴．
∵，
∴．
∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），
∴C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，
∴=，即b=a．
∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数的图象上，
∴a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），
∴a（﹣2a+10）=a（﹣2×a+10）．
∵a≠0，
∴﹣2a+10=（﹣2×a+10），
解得：a=3．
∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．
设直线BC的解析式为y=px+q，
则有，
解得：，
∴直线BC的解析式为y=2x+2．
当x=0时，y=2，则点D（0，2），OD=2，
∴S△COB=S△ODC+S△ODB
=OD•CT+OD•BS
=×2×3+×2×2=5．
∵OA=OC，
∴S△AOB=S△COB ，
∴S△ABC=2S△COB=10．

【考点】待定系数法求一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的应用，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）只需把点A的坐标代入反比例函数的解析式，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；
（2）△PAB是以AB为直角边的直角三角形，可分两种情况讨论：①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，易得OE=5，OH=4，AH=2，HE=1．易证△AHM∽△EHA，根据相似三角形的性质可求出MH，从而得到点M的坐标，然后用待定系数法求出直线AP的解析式，再解直线AP与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标；②若∠ABP=90°，同理即可得到点P的坐标；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，易证△CTD∽△BSD，根据相似三角形的性质可得．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），可得C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，即可得到=，即b=a．由A、B都在反比例函数的图象上可得a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），把b=a代入即可求出a的值，从而得到点A、B、C的坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，从而得到点D的坐标及OD的值，然后运用割补法可求出S△COB ， 再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB ， 问题得以解决．
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