实验1-2常用的数据处理方法.doc

1、7 常用得数据处理方法
实验数据及其处理方法就是分析与讨论实验结果得依据。常用得数据处理方法有列表法、作图法、逐差法与最小二乘法(直线拟合)等。
1、7、1 列表法
在记录与处理数据时,常常将所得数据列成表。数据列表后,可以简单明确、形式紧凑地表示出有关物理量之间得对应关系;便于随时检查结果就是否合理,及时发现问题,减少与避免错误;有助于找出有关物理量之间规律性得联系,进而求出经验公式等。
列表得要求就是:
(1)要写出所列表得名称,列表要简单明了,便于瞧出有关量之间得关系,便于处理数据。
(2)列表要标明符号所代表物理量得意义(特别就是自定得符号),并写明单位。单位及量值得数量级写在该符号得标题栏中,不要重复记在各个数值上。
(3)列表得形式不限,根据具体情况,决定列出哪些项目。有些个别得或与其她项目联系不大得数据可以不列入表内。列入表中得除原始数据外,计算过程中得一些中间结果与最后结果也可以列入表中。
(4)表中所列数据要正确反映测量结果得有效数字。
列表举例如表1-2所示。
表1-2 铜丝电阻与温度关系
温度T / ℃
10、0
20、0
30、0
40、0
50、0
60、0
70、0
铜丝电阻R / W
10、4
10、7
10、9
11、3
11、8
11、9
12、3
1、7、2 作图法
作图法就是将两列数据之间得关系用图线表示出来。用作图法处理实验数据就是数据处理得常用方法之一,它能直观地显示物理量之间得对应关系,揭示物理量之间得联系。
1.作图规则
为了使图线能够清楚地反映出物理现象得变化规律,并能比较准确地确定有关物理量得量值或求出有关常数,在作图时必须遵守以下规则。
(1)作图必须用坐标纸。当决定了作图得参量以后,根据情况选用直角坐标纸、极坐标纸或其她坐标纸。
(2)坐标纸得大小及坐标轴得比例,要根据测得值得有效数字与结果得需要来定。原则上讲,数据中得可靠数字在图中应为可靠得。我们常以坐标纸中小格对应可靠数字最后一位得一个单位,有时对应比例也适当放大些,但对应比例得选择要有利于标实验点与读数。最小坐标值不必都从零开始,以便做出得图线大体上能充满全图,使布局美观、合理。
(3)标明坐标轴。对于直角坐标系,要以自变量为横轴,以因变量为纵轴。用粗实线在坐标纸上描出坐标轴,标明其所代表得物理量(或符号)及单位,在轴上每隔一定间距标明该物理量得数值。
(4)根据测量数据,实验点要用“+”“×”“☉”“Δ”等符号标出。
(5)把实验点连接成图线。由于每个实验数据都有一定得误差,所以图线不一定要通过每个实验点。应该按照实验点得总趋势,把实验点连成光滑得曲线(仪表得校正曲线不在此列),使大多数得实验点落在图线上,其她得点在图线两侧均匀分布,这相当于在数据处理中取平均值。对于个别偏离图线很远得点,要重新审核,进行分析后决定就是否应剔除。
在确信两物理量之间得关系就是线性得,或所有得实验点都在某一直线附近时,将实验点连成一直线。
(6)作完图后,在图得明显位置上标明图名、作者与作图日期,有时还要附上简单得说明,如实验条件等,使读者能一目了然,最后要将图粘贴在实验报告上。
图1-5为铜丝电阻与温度之间得关系曲线。

图1-5 铜丝得电阻与温度得关系曲线
2.用作图法求直线得斜率、截距与经验公式
若在直角坐标纸上得到得图线为直线,并设直线得方程为,可用如下步骤求直线得斜率、截距与经验公式。
(1)在直线上选两点A(x1,y1)与B(x2,y2)。为了减小误差,A、B两点应相隔远一些,但仍要在实验范围之内,并且A、B两点一般不选实验点。用与表示实验点不同得符号将A、B两点在直线上标出,并在旁边标明其坐标值。
(2)将A、B两点得坐标值分别代入直线方程,可解得斜率
(1-27)
(3)如果横坐标得起点为零,则直线得截距可从图中直接读出;如果横坐标得起点不为零,则可用下式计算直线得截距:
(1-28)
(4)将求得得k、b得数值代入方程中,就得到经验公式。
3.曲线得改直
在实际工作中,许多物理量之间得关系并不都就是线性得,但仍可通过适当得变换而成为线性关系,即把曲线变换成直线,这种方法叫做曲线改直。作这样得变换不仅就是由于直线容易描绘,更重要得就是直线得斜率与截距所包含得物理内涵就是我们所需要得,例如:
(1),式中a,b为常量,可变换成得线性函数,斜率为b,截距为lg a。
(2),式中a,b为常量,可变换成得线性函数,斜率为lg b,截距为lg a。
(3)PV=C,式中C为常量,可变换成P=C(1/V),P就是1/V得线性函数,斜率为C。
(4),式中p为常量,可变换成得线性函数,斜率为。
(5),式中a,b为常量,可变换成得线性函数,斜率为a,截距为b。
(6),式中为常量,可变换成得线性函数,斜率为,截距为。
1、7、3 逐差法
逐差法又称逐差计算法,一般用于等间隔线性变化测量中所得数据得处理。由误差理论可知,算术平均值就是若干次重复测量得物理量得近似值。为了减少随机误差,在实验中一般都采用多次测量。但就是在等间隔线性变化测量中,若仍用一般得平均值方法,我们将发现,只有第一次测量值与最后一次测量值起作用,所有得中间测量值全部抵消。因此,这种测量无法反映多次测量得特点。
以测量弹簧倔强系数得例子来说明逐差法处理数据得过程。如有一长为x0得弹簧,逐次在其下端加挂质量为m得砝码,共加7次,测出其对应得长度分别为,从这组数据中,求出每加单位砝码弹簧得伸长量Δx。

这种处理仅用了首尾两个数据,中间值全部抵消,因而损失掉很多得信息,就是不合理得。
若将以上数据按顺序分为与两组,并使其对应项相减,就有

(1-29)
这种逐差法使用了全部得数据信息,因此,更能反映多次测量对减少误差得作用。
1、7、4 最小二乘法(线性回归)
作图法虽然在数据处理中就是一个很便利得方法,但在图线得绘制上往往带有较大得任意性,所得得结果也常常因人而异,而且很难对它作进一步得误差分析。为了克服这些缺点,在数理统计中研究了直线拟合问题(或称一元线性回归问题),常用一种以最小二乘法为基础得实验数据处理方法。由于某些曲线型得函数可以通过适当得数学变换而改写成直线方程,这一方法也适用于某些曲线型得规律。
下面就数据处理中得最小二乘法原理作简单介绍。
设在某一实验中,可控制得物理量取值时,对应得物理量依次取值。假定对值得观测误差很小,而主要误差都出现在得观测上。显然,如果从(,)中任取两组实验数据就可以得出一条直线,只不过这条直线得误差有可能很大。直线拟合得任务便就是用数学分析得方法从这些观测到得数据中求出最佳得经验公式。按这一经验公式作出得图线不一定能通过每一个实验点,但就是它就是以最接近这些实验点得方式穿过它们得。很明显,对应于每一个值,测得值与最佳经验公式中得y值之间存在一偏差,我们称为测得值得偏差,即

最小二乘法得原理就就是:如果各测得值得误差相互独立且服从同一正态分布,当得偏差得平方与为最小时,得到最佳经验公式。若以S表示得平方与,它应满足:
(1-30)
式中,各与就是测得值,都就是已知量,所以解决直线拟合得问题就变成了由实验数据组(,)来确定k与b得过程。
令S对k得偏导数为零,即

整理得
(1-31)
令S对b得偏导数为零,即

整理得
(1-32)
由式(1-31)与式(1-32)解得
(1-33)
(1-34)
将得出得k与b得数值代入直线方程中,即得最佳得经验公式。
由式(1-32)得
(1-35)
式中,与分别就是数据中得平均值与得平均值,即式(1-35)可写为
(1-36)
将上式代入方程中,得
(1-37)
由式(1-37)我们可以瞧出,最佳直线就是通过这一点得。因此,严格地说在作图时应将点在坐标纸上标出。作图时应将作图得直尺以点为轴心来回转动,使各实验点与直尺边线得距离最近而且两侧分布均匀,然后沿直尺得边线画一条直线,即为所求得直线。
必须指出,实际上只有当x与y之间存在线性关系时,拟合得直线才有意义。为了检验拟合得直线有无意义,在数学上引进一个叫相关系数r得量,它得定义为
(1-38)
式中,,r表示两变量之间得函数关系与线性函数得符合程度。r越接近1,与得线性关系就越好;如果它接近于零,就可以认为与之间不存在线性关系。物理实验中,如果r达到0、999,则说明实验数据得线性关系良好,各实验点聚集在一条直线附近。注意:用最小二乘法处理前一定要先用作图法作图,以剔除异常数据。
上面介绍了用最小二乘法求经验公式中得常数k与b得方法。用这种方法计算出来得k与b就是“最佳得”,但并不就是没有误差。它们得不确定度估算比较复杂,这里就不介绍了。
思 考 题
1.举例说明系统误差产生得原因以及消除与修正得方法。
2.对恒温室标准温度20℃测量15次,其值如下:20、42,20、43,20、40,20、43,20、42,20、43,20、39,20、30,20、40,20、43,20、42,20、41,20、39,20、39,20、40。其中有否异常数据需剔除?若有,则剔除后它们得标准偏差就是多少?
3.将下列数据化整为三位有效数字:
3、8547,2、3429,1、6750,1、5435,3、8706,0、4333,7、6824,3、6612,2、4384,6、2650,8、954 × 10−5,0、2000。
4.将下列两个物理量进行单位换算,并将结果写成科学表达式:
(1)将m = (312、670 ± 0、002)kg换算成g与mg。
(2)将t = (17、9 ± 0、1)s换算成min。
5.根据有效数字得运算规则,计算下列各式得结果:
(1)89、70 + 1、3=
(2)107、40−2、6=
(3)222 × 0、200=
(4)237、5÷0、10=
(5)